1、宁夏六盘山高级中学2021届高三数学一模试题 文（含解析）一、单选题（每小题5分）.1若集合Ax|ylog2（x1），Bx|x2x60，则AB（）A2，+）B1，3C（1，3D（1，+）2已知i为虚数单位，复数z满足zi12i，则z的共轭复数为（）A2iB12iC2iD2+i3“a1”是“直线axy10的倾斜角大于”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4在等比数列an中，a1+a310，a5+a7160，则a1（）A0B1C2D45当0x时，4xlogax，则a的取值范围是（）A（0，）B（，1）C（1，）D（，2）6如图程序框图的算法思路源于我国古代
2、数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a（）A0B2C4D147如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A6B9C12D188已知图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图，且其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D是其中四个圆的圆心，则（）A6B10C24D269已知函数f（x）loga（x+3）1（a0且a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+40上，其中的最小值为（）ABC2D410等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线
3、交于A，B两点，|AB|4，则C的实轴长为（）A4B2CD811已知圆C：x2+y2+4x0的圆心和圆上两点A，B构成等边三角形，则AB中点M的轨迹方程是（）A（x+2）2+（y+1）21B（x+1）2+（y+1）23C（x+1）2+y22D（x+2）2+y2312对于函数，有下列命题：过该函数图象上一点（2，f（2）的切线的斜率为；函数f（x）的最小值为；该函数图象与x轴有4个交点；函数f（x）在（，1上为减函数，在（0，1上也为减函数其中正确命题的序号是（）ABCD二、填空题（每小题5分，共20分）13曲线yx（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为 14已知实数x，y满足，则函数的最
4、小值为 15三棱锥ABCD中，AB面BCD，ABBD2，BCCD，则三棱锥ABCD的外接球表面积为 16设函数f（x）的最大值为M，最小值为m，则M+m 三、解答题（共70分）17已知函数（1）求f（x）的最小正周期及对称轴方程；（2）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A为锐角，若f（A）0，且ABC的面积是，求ABC的周长18如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点，ABAC2，AA14（1）求证：A1B平面ADC1；（2）求点A1到平面ADC1的距离19某调查组利用网站进行民意调查，数据调查显示，民生问题是百姓最关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%，
5、现从参与调查者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，第1组15，25），第2组25，35），第3组35，45），第4组45，55），第5组55，65），得到的频率分布直方图如图所示（1）求a；（2）估计参与调查者的平均年龄；（3）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，问是否有99%的把握认为是否关注民生与年龄有关？附：p（K2k0）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，na+b+c+d2
6、0已知椭圆C：1（ab0）过点A（1，），B（0，1）（1）求C的方程；（2）经过D（2，1），且斜率为k的直线l交椭圆C于P，Q两点（均异于点B），证明：直线BP与BQ的斜率之和为定值21设函数f（x）lnx（1）讨论f（x）的单调性；（2）令g（x）（f（x）+x）（12x2）当x0时，g（x）ax2，求实数a的取值范围选考题（共10分）考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分22在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为（sincos）1（1）M为曲线C1上的动点，点P在射线OM上，且满足|OM|OP|4，求点P的轨
7、迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值23已知函数f（x）|2x|+|x1|，xR（）求f（x）2的解集；（）若f（x）kx有2个不同的实数根，求实数k的取值范围参考答案一、单选题（每小题5分）1若集合Ax|ylog2（x1），Bx|x2x60，则AB（）A2，+）B1，3C（1，3D（1，+）解：集合Ax|ylog2（x1）x|x1，Bx|x2x60x|2x3，ABx|x22，+）故选：A2已知i为虚数单位，复数z满足zi12i，则z的共轭复数为（）A2iB12iC2iD2+i解：因为zi12i，所以，故故选：D3“a1”是“直线axy1
8、0的倾斜角大于”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：由直线方程为：axy10，设倾斜角为，则tana，当“直线axy10的倾斜角大于”则“a0或a1“，又“a1”是“a0或a1“的充分不必要条件，即“a1”是“直线axy10的倾斜角大于”的充分不必要条件，故选：A4在等比数列an中，a1+a310，a5+a7160，则a1（）A0B1C2D4解：在等比数列an中，a1+a310，a5+a7160，解得q24，a12故选：C5当0x时，4xlogax，则a的取值范围是（）A（0，）B（，1）C（1，）D（，2）解：0x时，14x2要使4xlogax，
9、由对数函数的性质可得0a1，数形结合可知只需2logax，即对0x时恒成立解得a1故选：B6如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a（）A0B2C4D14解：模拟执行程序框图，可得a14，b18满足条件ab，不满足条件ab，b4满足条件ab，满足条件ab，a10满足条件ab，满足条件ab，a6满足条件ab，满足条件ab，a2满足条件ab，不满足条件ab，b2不满足条件ab，输出a的值为2故选：B7如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A6B9C12D18解：该几何
10、体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V6339故选：B8已知图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图，且其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D是其中四个圆的圆心，则（）A6B10C24D26解：设方向上的单位向量为，图形中的另一个单位向量为，所以，的夹角为60，2，4，（2）（4）888+126故选：A9已知函数f（x）loga（x+3）1（a0且a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+40上，其中的最小值为（）ABC2D4解：f（x）loga（x+3）1（a0且a1）的图象恒
11、过定点A（2，1），点A在直线mx+ny+40上，2mn+40即2m+n4，mn0，m0，n0，（）（2m+n），当且仅当且2m+n4即m1，n2时取得最小值2故选：C10等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A，B两点，|AB|4，则C的实轴长为（）A4B2CD8解：设等轴双曲线C的方程为x2y2（1）抛物线y216x，2p16，p8，4抛物线的准线方程为x4设等轴双曲线与抛物线的准线x4的两个交点A（4，y），B（4，y）（y0），则|AB|y（y）|2y4，y2将x4，y2代入（1），得（4）2（2）2，4等轴双曲线C的方程为x2y24，即，C的实轴长为4
12、故选：A11已知圆C：x2+y2+4x0的圆心和圆上两点A，B构成等边三角形，则AB中点M的轨迹方程是（）A（x+2）2+（y+1）21B（x+1）2+（y+1）23C（x+1）2+y22D（x+2）2+y23解：圆C：x2+y2+4x0即（x+2）2+y24，故圆心C（2，0），半径r2，因为圆心C和圆上两点A，B构成等边三角形，故等边ABC的边长为2，又M为AB中点，所以CM，即AB中点M到定点C（2，0）的距离为定长，所以点M的轨迹是以C（2，0）为圆心，为半径的圆，故点M的轨迹方程为（x+2）2+y23故选：D12对于函数，有下列命题：过该函数图象上一点（2，f（2）的切线的斜率为；函
13、数f（x）的最小值为；该函数图象与x轴有4个交点；函数f（x）在（，1上为减函数，在（0，1上也为减函数其中正确命题的序号是（）ABCD解：函数，所以x0时，f（x）2xex，所以f（x）2（1+x）ex，f（2），即过该函数图象上一点（2，f（2）的切线斜率为，正确；又x1时，f（x）0，f（x）是单调减函数；1x0时，f（x）0，f（x）是单调增函数；所以x0时，f（x）有最小值为f（1）；又x0时，f（x）x22x+，所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）单调递增；所以x0时，f（x）有最小值为f（1）；又，所以函数f（x）的最小值为，正确；因为x0时，f（x）2xex0恒成立
14、，且f（0）0；所以函数f（x）的图象与x轴有3个交点，错误；由题意知函数f（x）在（，1上为减函数，在（0，1上也为减函数，所以正确综上知，其中正确命题的序号是故选：C二、填空题（每小题5分，共20分）13曲线yx（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y4x3解：求导函数，可得y3lnx+4，当x1时，y4，曲线yx（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y14（x1），即y4x3故答案为：y4x314已知实数x，y满足，则函数的最小值为解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），由22x3y，令t2x3y，得y，由图可知，当直线y过A时，直线在y轴上的截距最小，t有最小
15、值为4则z有最小值为故答案为：15三棱锥ABCD中，AB面BCD，ABBD2，BCCD，则三棱锥ABCD的外接球表面积为8解：三棱锥ABCD中，AB面BCD，ABBD2，BCCD，可知BCCD，三棱锥是长方体的一部分如图：长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，外接球的半径为：，所以三棱锥的外接球的表面积为：8故答案为：816设函数f（x）的最大值为M，最小值为m，则M+m2解：函数可化为f（x），令，则为奇函数，的最大值与最小值的和为0函数f（x）的最大值与最小值的和为1+1+02即M+m2故答案为：2三、解答题（共70分）17已知函数（1）求f（x）的最小正周期及对称轴方程；（2）在ABC中，
16、内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A为锐角，若f（A）0，且ABC的面积是，求ABC的周长解：（1）2sin（2x+）1，f（x）的最小正周期T，令2x+k+，kZ，解得xk+，kZ，可得函数的对称轴方程为xk+，kZ（2）f（A）2sin（2A+）10，可得sin（2A+），由A为锐角，可得2A+（，），可得2A+，可得A，又a，由余弦定理：a2b2+c22bccosA，可得2b2+c2bc，2（b+c）23bc，ABC的面积为，可得bcsinA，bc6，（b+c）22+1820，b+c2，ABC的周长为+218如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点，ABAC2，AA14
17、（1）求证：A1B平面ADC1；（2）求点A1到平面ADC1的距离【解答】（1）证明：连接A1C，交AC1于点E，则点E是A1C及AC1的中点连接DE，则DEA1B因为DE平面ADC1，所以A1B平面ADC1（2）解：由（1）知A1B平面ADC1，则点A1与B到与平面ADC1的距离相等，又点D是BC的中点，点C与B到与平面ADC1的距离相等，则C到与平面ADC1的距离即为所求ABAC2，AA14因为ABAC，点D是BC的中点，所以ADBC，又ADA1A，所以AD平面BCC1B1，平面ADC1平面BCC1B1作于CFDC1于F，则CF平面ADC1，CF即为所求距离在RtDCC1中，CF所以A1到
18、与平面ADC1的距离为19某调查组利用网站进行民意调查，数据调查显示，民生问题是百姓最关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%，现从参与调查者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，第1组15，25），第2组25，35），第3组35，45），第4组45，55），第5组55，65），得到的频率分布直方图如图所示（1）求a；（2）估计参与调查者的平均年龄；（3）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，问是否有99%的把握认为是否关注民生与年龄有关？附：p（K2k0）0.1500.1000.0500
19、.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，na+b+c+d解：（1）0.01010+0.01510+0.03010+a10+0.010101，a0.035（2）0.011020+0.0151030+0.0301040+0.0351050+0.010106041，估计参与调查者的平均年龄为：41（3）选出的200人中，各组的人数分别为：第1组：2000.0101020人，第2组：2000.0151030人，第3组：2000.0351070人，第4组：2000.0301060人，第5组：2000.0101020人，青少年组有
20、20+30+70120人，中老年组有20012080人，参与调查者中关注此问题的约占80%，有200（180%）40人不关心民生问题，选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人，22列联表如下：关注民生问题不关注民生问题合计青少年9030120中老年701080合计16040200K24.68756.635，没有99%的把握认为是否关注民生与年龄有关20已知椭圆C：1（ab0）过点A（1，），B（0，1）（1）求C的方程；（2）经过D（2，1），且斜率为k的直线l交椭圆C于P，Q两点（均异于点B），证明：直线BP与BQ的斜率之和为定值解：（1）因为椭圆C过点A（1，），B（0，1），所以b
21、1，+1，解得a23，所以椭圆的方程为+y21（2）证明：根据题意设直线l的方程为yk（x2）+1，即ykx2k+1，联立，得（1+3k2）x2+（12k2+6k）x+12k212k0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），所以x1+x2，x1x2，y1y2（kx12k+1）（kx22k+1）k2x1x2+（2k+1）k（x1+x2）+（2k+1）2k2+（2k+1）k（）+（2k+1）2，kBP+kBQ+2k+（22k）2k+（22k）121设函数f（x）lnx（1）讨论f（x）的单调性；（2）令g（x）（f（x）+x）（12x2）当x0时，g（x）ax2，求实数a的取值范围解：（1）函数f
22、（x）lnx的定义域为（0，+），f（x），令f（x）0，可得0x2，令f（x）0，可得x2，所以f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+）上单调递减（2）g（x）（f（x）+x）（12x2）（12x2）lnx，因为当x0时，g（x）ax2，所以ax（12x2）lnx+2，即a，令函数h（x），则ah（x）max，h（x），所以当x（0，）时，h（x）0，h（x）单调递增；当x（，+）时，h（x）0，h（x）单调递减，所以h（x）maxh（）e+，所以ae+，所以实数a的取值范围是e+，+）选考题（共10分）考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分22在直角坐标系xOy
23、中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为（sincos）1（1）M为曲线C1上的动点，点P在射线OM上，且满足|OM|OP|4，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值解：（1）曲线C1的极坐标方程为（sincos）1，整理得，设P（，），故14，整理得4（sincos），根据转换为直角坐标方程为（x+2）2+（y2）28（x0），（2）设点B的极坐标为（B，），所以B4sin4cos，所以，当，即时，OAB面积的最大值为423已知函数f（x）|2x|+|x1|，xR（）求f（x）2的解集；（）若f（x）kx有2个不同的实数根，求实数k的取值范围解：（I）f（x）|2x|+|x1|，由3x+12，解得：x，由x+12，解得：x1，无解，由3x12，解得：x1，故f（x）2的解集是x|x1或（）由图易知：，即2k3，即k的取值范围是（2，3）