1、5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)基础预习初探如果现在是早上9点钟，问你：24小时以后是几点钟？你会毫不犹豫地回答：还是早上9点钟因为你很清楚，0点、1点、2点、3点23点，每隔24小时就重复出现一次，如果今天是星期一，问你：7天以后是星期几？你也会回答：还是星期一因为你很清楚，星期一、星期二星期天，每隔7天就重复出现一次相同的间隔重复出现的现象称为周期现象，如“24小时1天”“7天1星期”“365天1年”就是我们所熟悉的周期现象自然界中有很多周期现象，如日出日落、月圆月缺、四季交替等正弦函数、余弦函数是否有这样的周期性呢？继续探究：问题1.观察f(x)的部分图象，思考下列问题：(1)
2、观察图形，函数图象每相隔多少个单位重复出现？提示：每相隔1个单位重复出现 (2)由诱导公式一：sin（x2k）sin x，cos（x2k）cos x结合正(余)弦曲线，可以看出正(余)弦函数怎样的特征？图象变化趋势是怎样的？提示：自变量x增加2的整数倍时，函数值重复出现，图象发生“周而复始”的变化问题2.观察正弦曲线和余弦曲线，回答下面的问题正弦曲线余弦曲线(1)观察正弦曲线和余弦曲线具有怎样的对称性？提示：ysin x，xR的图象关于原点对称，ycos x，xR的图象关于y轴对称(2)上述特征反映出正、余弦函数的什么性质？提示：上述特征反映出正弦函数ysin x是奇函数，余弦函数ycos x
3、是偶函数【概念生成】1周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个_常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有_，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_的正数，那么这个_正数称为函数f(x)的最小正周期，简称周期非零 f(xT)f(x)最小 最小 3正弦、余弦函数的周期性正弦函数ysin x(xR)和余弦函数ycos x(xR)都是周期函数，_(kZ，且k0)都是它们的周期最小正周期为_4奇偶性正弦函数是_函数；余弦函数是_函数2k2奇偶核心互动探究探究点一 三角函数的周期性【典例1】求下列函数的最小正周期(1)f(x
4、)sin 2x3(xR).(2)ycos 2x6.【思维导引】根据诱导公式一，因为sin(2z)sin z，所以f(2z)f(z)，推导函数的周期【解析】(1)方法一：令z2x3，因为xR，所以zR.函数f(x)sin z的最小正周期是2，即变量z只要且至少要增加到z2，函数f(x)sin z(zR)的值才能重复取得而z22x3 22(x)3，所以自变量x只要且至少要增加到x，函数值才能重复取得，所以函数f(x)sin 2x3(xR)的最小正周期是.方法二：f(x)sin 2x3的最小正周期为22.(2)因为函数ycos 2x6的最小正周期为，而函数ycos 2x6的图象是将函数ycos 2x
5、6的图象在x轴下方的部分对折到x轴上方，并且保留在x轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的最小正周期为T2.【类题通法】求函数周期的方法1公式法：对形如yA sin(x)和yA cos(x)(其中A，是常数，且A0，0)，可利用T2 来求2定义法：利用周期函数的定义求函数的周期【定向训练】求下列函数的最小正周期(1)ysin 3x3.(2)ysin 2x4.【解析】(1)因为3，T23.(2)因为2，所以T222.【跟踪训练】函数f(x)2sin x3(0)的最小正周期为，则_【解析】因为2|(0)，所以2|，即2.答案：2探究点二 三角函数奇偶性的判断【典例2】判断下列函数的奇偶性：(1)f
6、(x)|sin x|cos x(2)f(x)sin 3x4 32.(3)f(x)1sin xcos2x1sinx.【思维导引】先求函数的定义域，判断函数定义域是否关于原点对称，再判断f(x)与f(x)的关系，最终确定奇偶性【解析】(1)函数的定义域为R.因为f(x)|sin(x)|cos(x)|sin x|cos xf(x)，所以函数f(x)是偶函数(2)f(x)sin 3x4 32cos 3x4，xR.因为f(x)cos 3x4cos 3x4 f(x)，所以函数f(x)sin 3x4 32是偶函数(3)函数应满足 1sin x0，则函数 f(x)1sin xcos2x1sinx的定义域为xR
7、|x2k32，kZ.显然定义域不关于原点对称，故函数f(x)1sin xcos2x1sinx为非奇非偶函数注：此题极易通过化简整理为 f(x)sin x，而疏忽 sin x1 判定为奇函数【类题通法】判断函数奇偶性的思路【定向训练】判断下列函数的奇偶性(1)f(x)cos 322xx2sin x.(2)f(x)12cos x 2cos x1.【解析】(1)f(x)sin 2xx2sin x，因为xR，f(x)sin(2x)(x)2sin(x)sin 2xx2sin xf(x)，所以f(x)是奇函数(2)由12cos x0，2cos x10，得cos x12.所以f(x)0，x2k3，kZ.所以
8、f(x)既是奇函数又是偶函数【跟踪训练】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)xcos(x).(2)f(x)sin(cos x).【解析】(1)函数f(x)的定义域为R.因为f(x)xcos(x)x cos x，所以f(x)(x)cos(x)x cos xf(x)，所以f(x)为奇函数(2)函数f(x)的定义域为R，所以f(x)sin cos(x)sin(cos x)f(x)，所以f(x)为偶函数探究点三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用【典例3】定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x0，2时，f(x)sin x，求f53的值【思维导引】利用周期性与奇
9、偶性将53 化到0，2内再求值【解析】因为f(x)的最小正周期是，所以f53f53 2f3.又因为f(x)是R上的偶函数，所以f3f3sin 3 32.所以f53 32.【延伸探究】1若典例3中“偶”变“奇”，其他条件不变，求f53的值【解析】f53f3f3sin 3 32.2若典例3中函数的最小正周期变为2，其他条件不变，求f176 的值【解析】因为f(x)的最小正周期是2，所以f176 f36f626f612.【类题通法】1利用周期性和奇偶性解决求值问题的方法利用函数的周期性，可以把xnT(nZ)的函数值转化为x的函数值利用奇偶性，可以找到x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题2判断yA
10、 sin(x)或yA cos(x)是否具有奇偶性的关键判断函数yA sin(x)或yA cos(x)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为yA sin x(A0)或yA cos x(A0)其中一个【定向训练】若f(x)是以2 为周期的奇函数，且f31，求f56的值【解析】因为f(x)为以2 为周期的奇函数，所以f56f56f23f31.【跟踪训练】若函数f(x)是奇函数，当x0时，f(x)xsin x，求当x0时f(x)的解析式【解析】设x0，所以f(x)xsin(x)xsin x.又f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)xsin x(x0).【课堂小结】1三角函数ys
11、in x2 是()A周期为4的奇函数B周期为2 的奇函数C周期为的偶函数D周期为2的偶函数课堂素养达标【解析】选A.三角函数ysin x2 是奇函数，它的周期为2124.2函数f(x)sin(x)的奇偶性是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数【解析】选A.由于xR，且f(x)sin xsin(x)f(x)，所以f(x)为奇函数3对于任意的xR都有f(x2)f(x)，则f(x)的一个周期为_【解析】由周期函数的定义知f(x)的一个周期为2.答案：2(答案不唯一)4函数ycos(3x)的图象关于原点成中心对称，则_【解析】由题意，得ycos(3x)是奇函数，故k2(kZ).答案：k2(kZ)