1、山西省忻州一中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷一选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1全集U=R，A=x|x24，B=x|log3x1，则AB=（）Ax|x2Bx|2x3Cx|x3Dx|x2或2x32cos（2640）+sin1665=（）ABCD3定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x（0，1）时，f（x）=2x1，则=（）ABCD4将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）Ay=cos2xBy=2cos2xCDy=2sin2x=5函数y=2si
2、n2（x）1是（）A最小正周期为的奇函数B最小正周期为2的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为2的偶函数6函数的大致图象为（）ABCD7已知函数y=tanx在上是减函数，则（）A01B10C1D18已知点P在ABC所在平面内，且，则点P是ABC的（）A重心B外心C垂心D内心9已知sin2=，（，0），则sin+cos=（）ABCD10已知向量=（cos，sin），向量=（，1）则|2|的最大值，最小值分别是（）A4，0B4，4C16，0D4，011已知与为互相垂直的单位向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（）A（，2）B（，+）C（2，）D（）12设是两个不共线的向量，其夹角为（9
3、0），若函数在（0，+）上有最大值，则（）A，且为钝角B，且为锐角C，且为钝角D，且为锐角二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13已知向量，若，则xy=14已知向量，则向量在向量方向上的投影为15已知f（x）=ax+bsin3x+3且f（3）=7，则f（3）=16设向量，向量，其中，m，为实数若向量，则的取值范围为三解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17已知集合A是函数的定义域，集合B是函数g（x）=2x+1的值域（1）求集合AB；（2）设集合C=x|xa，若集合AC=A，求实数a
4、的取值范围18某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁）工人数（人）191283293305314323401合计20（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差19对于函数f（x）=a（1）探索函数f（x）的单调性；（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数，若存在，求出a的取值；若不存在，说明理由？20已知=（cos，sin），=（cos，sin），0（1）若|=，求证：；（2）设=（0，1），若+=，求，的值21已知，求sin及22函数f（x）=2asin2x2asinxcosx+a+b，x，值域为5，
5、1，求a，b的值附加题：（本大题共3小题，每小题0分，共15分，把答案填在答卷纸的相应位置上）23关于x的方程（x21）2|x21|+k=0，给出下列四个题：存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根正确命题的序号为24如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得DE=2CD动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，=+则的取值范围为25sin220+cos250+sin20cos50=山西省忻州一中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷一选
6、择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1全集U=R，A=x|x24，B=x|log3x1，则AB=（）Ax|x2Bx|2x3Cx|x3Dx|x2或2x3考点：交集及其运算 专题：计算题分析：求出集合A、集合B，然后求出两个集合的交集即可解答：解：A=x|x24=x|x2或x2，B=x|log3x1=x|0x3，所以AB=x|x2或x2x|0x3=x|2x3，故选B点评：本题考查集合间的交集的运算，注意不等式的解集，借助数轴解答或者韦恩图，是解答集合问题的常用方法，本题是基础题2cos（2640）+sin1665=（）ABCD考点：
7、运用诱导公式化简求值 专题：三角函数的求值分析：运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求值解答：解：cos（2640）+sin1665=cos（3607+120）+sin（3604+225）=cos（18060）+sin（180+45）=cos60sin45=故选：D点评：本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题3定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x（0，1）时，f（x）=2x1，则=（）ABCD考点：函数的值 专题：函数的性质及应用分析：先利用函数的周期性将=化为，再利用奇函数的性质即可把自变量化到区间（0，1）内，进而求出答案解答：解：函数f（x）
8、满足f（x+2）=f（x），=又函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x（0，1）时，f（x）=2x1，=故选B点评：掌握函数的周期性和奇偶性是解决此问题的关键4将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）Ay=cos2xBy=2cos2xCDy=2sin2x=考点：函数y=Asin（x+）的图象变换；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律及三角函数间的关系式即可得到答案解答：解：令y=f（x）=sin2x，则f（x+）=sin2（x+）=cos2x，再将f（x+
9、）的图象向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是y=cos2x+1=2cos2x，故选：B点评：本题考查函数y=Asin（x+）的图象变换，考查升幂公式的应用，属于中档题5函数y=2sin2（x）1是（）A最小正周期为的奇函数B最小正周期为2的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为2的偶函数考点：三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的图像与性质分析：由条件利用二倍角的余弦公式、诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和奇偶性，得出结论解答：解：函数y=2sin2（x）1=12sin2（x）=cos（2x）=sin2x，故函数是最小正周期为=的奇函数，故选：A点评：本题主要考查二
10、倍角的余弦公式、诱导公式，正弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题6函数的大致图象为（）ABCD考点：函数的图象；指数函数的图像与性质 专题：压轴题；数形结合分析：观察题设中的函数表达式，应该 以1为界来分段讨论去掉绝对值号，化简之后再分段研究其图象解答：解：由题设条件，当x1时，f（x）=（x）=当x1时，f（x）=（x）=（x）=x故f（x）=，故其图象应该为综上，应该选D点评：本题考查绝对值函数图象的画法，一般要先去掉绝对值号转化成分段函数再分段做出图象7已知函数y=tanx在上是减函数，则（）A01B10C1D1考点：正切函数的单调性 分析：先根据函数f（x）在上是减函数可得0且T，可得答
11、案解答：解：由题知0，且周期，|1，即1，10故选B点评：本题主要考查正切函数的单调性问题属基础题8已知点P在ABC所在平面内，且，则点P是ABC的（）A重心B外心C垂心D内心考点：三角形五心 专题：计算题分析：根据 ，移向并根据向量的数量积的运算法则，得到 ，因此有PBCA，同理可得PABC，PCAB，根据三角形五心的定义，即可求得结果解答：解：，即 ，PBCA，同理可得PABC，PCAB，P是ABC的垂心故选C点评：本小题主要考查向量的数量积的运算法则、三角形垂心等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题9已知sin2=，（，0），则sin+cos=（）ABC
12、D考点：二倍角的正弦 分析：把要求的结论平方，就用到本题已知条件，这里用到二倍角公式，由角的范围，确定sin+cos的符号为正，实际上本题考的是正弦与余弦的和与两者的积的关系，解答：解：（，0），sin+cos0，（sin+cos）2=1+sin2=，sin+cos=，故选A点评：必须使学生熟练的掌握所有公式，在此基础上并能灵活的运用公式，培养他们的观察能力和分析能力，提高他们的解题方法本题关键是判断要求结论的符号，可以用三角函数线帮助判断10已知向量=（cos，sin），向量=（，1）则|2|的最大值，最小值分别是（）A4，0B4，4C16，0D4，0考点：平面向量数量积的运算；三角函数的最
13、值 分析：先表示2，再求其模，然后可求它的最值解答：解：2=（2cos，2sin+1），|2|=，最大值为 4，最小值为 0故选D点评：本题考查平面向量数量积的运算，三角函数的最值，是中档题11已知与为互相垂直的单位向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（）A（，2）B（，+）C（2，）D（）考点：平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角 分析：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，由与为互相垂直的单位向量，我们易得，代入，可求出，又由与的夹角为锐角，故0，由此得到一个关于的不等式，解不等式即可得到实数的取值范围，但要注意，与同向的排除解答：解：与为互相垂直的单位向量，又，且与的夹
14、角为锐角，但当=2时，不满足要求故满足条件的实数的取值范围是（，2）故选A点评：两个向量夹角为锐角，则两个向量的数量积为正；两个向量夹角为钝角，则两个向量的数量积为负；两个向量夹角为直角，则两个向量的数量积为零；12设是两个不共线的向量，其夹角为（90），若函数在（0，+）上有最大值，则（）A，且为钝角B，且为锐角C，且为钝角D，且为锐角考点：平面向量数量积的运算 专题：函数的性质及应用分析：化简是一元二次函数，根据二次函数的图象和性质，当函数有最大值需要开口向下对称轴在y轴右侧解答：解：=x2+（）x+，若函数f（x）在（0，+）上有最大值，则二次函数f（x）=x2+（）x+的图象的开口向下
15、，且对称轴在y轴右侧，即0，且0为锐角，且故选D点评：本题考查向量的运算和二次函数取最值的条件二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13已知向量，若，则xy=1考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题：计算题分析：根据向量减法的坐标表示求出，然后运用垂直向量的数量积为0求得xy解答：解：因为，所以，由，得：3x3（1y）=0，所以3x+3y=3，所以xy=1故答案为1点评：本题考查了数量积判断两个向量的垂直关系，考查计算能力，是基础题14已知向量，则向量在向量方向上的投影为考点：平面向量数量积的含义与物理意义 专题：平面向量及应用分析：投影即为|co
16、s，利用数量积运算即可求出cos解答：解：设的夹角为=4，cos=|cos=故答案为：点评：本题主要考察了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题15已知f（x）=ax+bsin3x+3且f（3）=7，则f（3）=1考点：正弦函数的奇偶性 专题：整体思想；函数的性质及应用分析：根据题意，由f（3）求出3a+bsin33的值，通过代换求出f（3）的值解答：解：f（x）=ax+bsin3x+3，f（3）=3absin33+3=7；3a+bsin33=4，f（3）=3a+bsin33+3=4+3=1故答案为：1点评：本题考查了求函数值的问题，解题时应用代换的方法，即可求出正确的结果，是基础题16设向量
17、，向量，其中，m，为实数若向量，则的取值范围为6，1考点：平面向量的综合题；平面向量的坐标运算 专题：平面向量及应用分析：根据m，结合三角函数的恒等变换，求出m的取值范围，再求的取值范围即可解答：解：向量，向量，向量，把代入得，（2m2）2cos2=m+sin2，4m29m+4=sin2+cos2=2sin（2+），24m29m+42；解得m2；，=26，1故答案为：6，1点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，还考查了求函数的最值问题，是综合题三解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17已知集合A
18、是函数的定义域，集合B是函数g（x）=2x+1的值域（1）求集合AB；（2）设集合C=x|xa，若集合AC=A，求实数a的取值范围考点：集合的包含关系判断及应用；交集及其运算；函数的定义域及其求法 专题：集合分析：（1）求出f（x）的定义域确定出A，求出B中g（x）的值域确定出B，求出A与B的交集即可；（2）由A与C的交集为A，得到A为C的子集，确定出a的范围即可解答：解：（1）由，得3x3，即A=3，3），又g（x）=2x+11，B=（1，+），AB=（1，3）； （2）AC=A，AC，A=3，3），C=（，a），a3点评：此题考查了集合的包含关系判断及应用，交集及其运算，以及函数的定义域及
19、其求法，熟练掌握运算法则是解本题的关键18某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁）工人数（人）191283293305314323401合计20（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差考点：极差、方差与标准差；茎叶图；众数、中位数、平均数 专题：概率与统计分析：（1）根据众数和极差的定义，即可得出；（2）根据画茎叶图的步骤，画图即可；（3）利用方差的计算公式，代入数据，计算即可解答：解：（1）这这20名工人年龄的众数为30，极差为4019=21；（2）茎叶图如下：（3）年龄的平均数为：=30这20名工人
20、年龄的方差为S2=（1930）2+3（2830）2+3（2930）2+5（3030）2+4（3130）2+3（3230）2+（4030）2=12.6点评：本题考查了众数，极差，茎叶图，方差的基本定义，属于基础题19对于函数f（x）=a（1）探索函数f（x）的单调性；（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数，若存在，求出a的取值；若不存在，说明理由？考点：利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的判断 专题：函数的性质及应用分析：（1）设x1x2，化简计算f（x1）f（x2）的解析式到因式乘积的形式，判断符号，得出结论（2）假设存在实数a使f（x）为奇函数，得到f（x）=f（x），由此等式解出a的
21、值，若a无解，说明不存在实数a使f（x）为奇函数，若a有解，说明存在实数a使f（x）为奇函数解答：解：（1）f（x）的定义域为R，设x1x2，则f（x1）f（x2）=aa+=，x1x2，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），所以不论a为何实数f（x）总为增函数（2）假设存在实数a使f（x）为奇函数，f（x）=f（x）即a，解得：a=1，故存在实数a使f（x）为奇函数 点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断20已知=（cos，sin），=（cos，sin），0（1）若|=，求证：；（2）设=（0，1），若+=，求，的值考点：平面向量数量积的运算；向量的模；同角三角函数间的基本关系；两
22、角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数 专题：平面向量及应用分析：（1）由给出的向量的坐标，求出的坐标，由模等于列式得到coscos+sinsin=0，由此得到结论；（2）由向量坐标的加法运算求出+，由+=（0，1）列式整理得到，结合给出的角的范围即可求得，的值解答：解：（1）由=（cos，sin），=（cos，sin），则=（coscos，sinsin），由=22（coscos+sinsin）=2，得coscos+sinsin=0所以即；（2）由得，2+2得：因为0，所以0所以，代入得：因为所以所以，点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量的模，考查了同角三角函数的基本关系式和两角
23、和与差的三角函数，解答的关键是注意角的范围，是基础的运算题21已知，求sin及考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的正切函数；二倍角的余弦 专题：计算题分析：把题目中所给的两个条件展开，一个使用两角差的正弦公式，一个使用二倍角公式，得到关于角的正弦和余弦的二元一次方程，解方程，求出角的正弦和余弦，得到结果解答：解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得，即由题设条件，应用二倍角余弦公式得故由和式得，因此，由两角和的正切公式点评：本题考查两角的三角函数关系和同角的三角函数关系，解题过程中用到方程的思想，已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通
24、过恒等变形或解方程求解22函数f（x）=2asin2x2asinxcosx+a+b，x，值域为5，1，求a，b的值考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的定义域和值域 专题：三角函数的图像与性质分析：利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2asin（2x+）+2a+b，根据x，求得sin（2x+）1分a0和a0两种情况，根据值域为5，1，分别求得a，b的值解答：解：函数f（x）=2asin2x2 asinxcosx+a+b=a（1cos2x）asin2x+a+b=2asin（2x+）+2a+b，又x，2x+，sin（2x+）1当a0时，有 ，解得 a=2，b
25、=5当a0时，有 ，解得 a=2，b=1综上可得，当a0时，a=2，b=5； 当a0时，a=2，b=1点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题附加题：（本大题共3小题，每小题0分，共15分，把答案填在答卷纸的相应位置上）23关于x的方程（x21）2|x21|+k=0，给出下列四个题：存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根正确命题的序号为考点：命题的真假判断与应用 专题：函数的性质及应用分析：将方程根的问题转化成函数图象的问题，画出函数
26、图象，结合图象可得结论解答：解：关于x的方程（x21）2|x21|+k=0可化为（x21）2（x21）+k=0（x1或x1）（1）或（x21）2+（x21）+k=0（1x1）（2）当k=2时，方程（1）的解为，方程（2）无解，原方程恰有2个不同的实根；当k=时，方程（1）有两个不同的实根，方程（2）有两个不同的实根，即原方程恰有4个不同的实根；当k=0时，方程（1）的解为1，+1，方程（2）的解为x=0，原方程恰有5个不同的实根；当k=时，方程（1）的解为，方程（2）的解为，即原方程恰有8个不同的实根四个命题都是真命题故答案为：点评：本题主要考查了分段函数，以及函数与方程的思想，数形结合的思想
27、，属于中档题24如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得DE=2CD动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，=+则的取值范围为0，2考点：平面向量的基本定理及其意义 专题：平面向量及应用分析：设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，利用坐标法即可得到结论解答：解：建立如图所示的坐标系，设正方形的边长为1，则B（1，0），E（2，1），=+=（1，0）+（2，1）=（2，）当PAB时，有021，=0，可得01，故有01；当PBC时，有2=1，01，02；当PCD时，有021，=1，12；当PAD时，有2=0，01，01综上可得：02故答案为：0，2点评：本题考查了向量的坐标运算、不等式的性质，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题25sin220+cos250+sin20cos50=考点：二倍角的余弦；二倍角的正弦 专题：三角函数的求值分析：先根据二倍角公式降幂，再由积化和差公式、和和差化积化简即可得到答案解答：解：sin220+cos250+sin20cos50=（1cos40）+（1+cos100）+sin20cos50=1+（cos100cos40）+（sin70sin30）=+（2）sin70sin30+sin70=，故答案为：点评：本题主要考查二倍角公式、积化和差公式、和和差化积公式的应用，属于基础题