1、专题07数列历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2018充分必要条件2018年北京文科04单选题2012等比数列2012年北京文科06填空题2013等比数列2013年北京文科11填空题2012等差数列2012年北京文科10填空题2011等比数列2011年北京文科12解答题2019等差数列2019年北京文科16解答题2018数列综合题2018年北京文科15解答题2017数列综合题2017年北京文科15解答题2016数列综合题2016年北京文科15解答题2015数列综合题2015年北京文科16解答题2014数列综合题2014年北京文科15解答题2013数列综合题2013年北京文科20解答题20
2、11数列综合题2011年北京文科20解答题2010数列综合题2010年北京文科16历年高考真题汇编1【2018年北京文科04】设a，b，c，d是非零实数，则“adbc”是“a，b，c，d成等比数列”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：若a，b，c，d成等比数列，则adbc，反之数列1，1，1，1满足1111，但数列1，1，1，1不是等比数列，即“adbc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件故选：B2【2012年北京文科06】已知an为等比数列，下面结论中正确的是（）Aa1+a32a2Ba12+a322a22C若a1a3，则a1a
3、2D若a3a1，则a4a2【解答】解：设等比数列的公比为q，则a1+a3，当且仅当a2，q同为正时，a1+a32a2成立，故A不正确；，故B正确；若a1a3，则a1a1q2，q21，q1，a1a2或a1a2，故C不正确；若a3a1，则a1q2a1，a4a2a1q（q21），其正负由q的符号确定，故D不正确故选：B3【2013年北京文科11】若等比数列an满足a2+a420，a3+a540，则公比q；前n项和Sn【解答】解：设等比数列an的公比为q，a2+a4a2（1+q2）20a3+a5a3（1+q2）40两个式子相除，可得到2即等比数列的公比q2，将q2带入中可求出a24则a12数列an时首
4、项为2，公比为2的等比数列数列an的前n项和为：Sn2n+12故答案为：2，2n+124【2012年北京文科10】已知an为等差数列，Sn为其前n项和，若a1，S2a3，则a2，Sn【解答】解：根据an为等差数列，S2a1+a2a3a2；da3a2a21Sn故答案为：1，5【2011年北京文科12】在等比数列an中，a1，a44，则公比q；a1+a2+an【解答】解：q38q2；由a1，q2，得到：等比数列的前n项和Sna1+a2+an故答案为：2；6【2019年北京文科16】设an是等差数列，a110，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列（）求an的通项公式；（）记an的前n项和为Sn
5、，求Sn的最小值【解答】解：（）an是等差数列，a110，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列（a3+8）2（a2+10）（a4+6），（2+2d）2d（4+3d），解得d2，ana1+（n1）d10+2n22n12（）由a110，d2，得：Sn10nn211n（n）2，n5或n6时，Sn取最小值307【2018年北京文科15】设an是等差数列，且a1ln2，a2+a35ln2（）求an的通项公式；（）求【解答】解：（）an是等差数列，且a1ln2，a2+a35ln2可得：2a1+3d5ln2，可得dln2，an的通项公式；ana1+（n1）dnln2，（）2n，21+22+23+2n2
6、n+128【2017年北京文科15】已知等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a2+a410，b2b4a5（）求an的通项公式；（）求和：b1+b3+b5+b2n1【解答】解：（）等差数列an，a11，a2+a410，可得：1+d+1+3d10，解得d2，所以an的通项公式：an1+（n1）22n1（）由（）可得a5a1+4d9，等比数列bn满足b11，b2b49可得b33，或3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）q23，b2n1是等比数列，公比为3，首项为1b1+b3+b5+b2n19【2016年北京文科15】已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4（1）
7、求an的通项公式；（2）设cnan+bn，求数列cn的前n项和【解答】解：（1）设an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列，由b23，b39，可得q3，bnb2qn233n23n1；即有a1b11，a14b427，则d2，则ana1+（n1）d1+2（n1）2n1；（2）cnan+bn2n1+3n1，则数列cn的前n项和为（1+3+（2n1）+（1+3+9+3n1）n2nn210【2015年北京文科16】已知等差数列an满足a1+a210，a4a32（1）求an的通项公式；（2）设等比数列bn满足b2a3，b3a7，问：b6与数列an的第几项相等？【解答】解：（I）设等差数列an的公
8、差为da4a32，所以d2a1+a210，所以2a1+d10a14，an4+2（n1）2n+2（n1，2，）（II）设等比数列bn的公比为q，b2a38，b3a716，q2，b14128，而1282n+2n63b6与数列an中的第63项相等11【2014年北京文科15】已知an是等差数列，满足a13，a412，数列bn满足b14，b420，且bnan为等比数列（1）求数列an和bn的通项公式；（2）求数列bn的前n项和【解答】解：（1）an是等差数列，满足a13，a412，3+3d12，解得d3，an3+（n1）33n设等比数列bnan的公比为q，则q38，q2，bnan（b1a1）qn12n
9、1，bn3n+2n1（n1，2，）（2）由（1）知bn3n+2n1（n1，2，）数列an的前n项和为n（n+1），数列2n1的前n项和为12n1，数列bn的前n项和为n（n+1）+2n112【2013年北京文科20】给定数列a1，a2，an对i1，2，n1，该数列前i项的最大值记为Ai，后ni项ai+1，ai+2，an的最小值记为Bi，diAiBi（）设数列an为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；（）设a1，a2，an1（n4）是公比大于1的等比数列，且a10证明：d1，d2，dn1是等比数列；（）设d1，d2，dn1是公差大于0的等差数列，且d10证明：a1，a2，an1是等差数列【
10、解答】解：（）当i1时，A13，B11，故d1A1B12，同理可求d23，d36；（）由a1，a2，an1（n4）是公比q大于1的等比数列，且a10，则an的通项为：ana1qn1，且为单调递增的数列于是当k1，2，n1时，dkAkBkakak+1，进而当k2，3，n1时， q为定值d1，d2，dn1是等比数列；（）设d为d1，d2，dn1的公差，对1in2，因为BiBi+1，d0，所以Ai+1Bi+1+di+1Bi+di+dBi+diAi，又因为Ai+1maxAi，ai+1，所以ai+1Ai+1Aiai从而a1，a2，an1为递增数列因为Aiai（i1，2，n1），又因为B1A1d1a1d1
11、a1，所以B1a1a2an1，因此anB1所以B1B2Bn1an所以aiAiBi+dian+di，因此对i1，2，n2都有ai+1aidi+1did，即a1，a2，an1是等差数列13【2011年北京文科20】若数列An：a1，a2，an（n2）满足|ak+1ak|1（k1，2，n1），则称An为E数列，记S（An）a1+a2+an（）写出一个E数列A5满足a1a30；（）若a112，n2000，证明：E数列An是递增数列的充要条件是an2011；（）在a14的E数列An中，求使得S（An）0成立得n的最小值【解答】解：（）0，1，0，1，0是一个满足条件的E数列A5（答案不唯一，0，1，0，
12、1，0或0，1，0，1，2或0，1，0，1，2或0，1，0，1，0都满足条件的E数列A5）（）必要性：因为E数列An是递增数列所以ak+1ak1（k1，2，1999）所以An是首项为12，公差为1的等差数列所以a200012+（20001）12011充分性：由于a2000a19991 a1999a19981 a2a11，所以a2000a11999，即a2000a1+1999又因为a112，a20002011所以a2000a1+1999故ak+1ak10（k1，2，1999），即An是递增数列综上所述，结论成立（）对首项为4的E数列An，由于 a2a113 a3a212 a8a713 所以a1+
13、a2+ak0（k2，3，8），所以对任意的首项为4的E数列An，若S（An）0，则必有n9，又a14的E数列A9：4，3，2，1，0，1，2，3，4满足S（A9）0，所以n的最小值是914【2010年北京文科16】已知an为等差数列，且a36，a60（）求an的通项公式；（）若等比数列bn满足b18，b2a1+a2+a3，求数列bn的前n项和公式【解答】解：（）设等差数列an的公差d因为a36，a60所以解得a110，d2所以an10+（n1）22n12（）设等比数列bn的公比为q因为b2a1+a2+a324，b18，所以8q24，即q3，所以bn的前n项和公式为考题分析与复习建议本专题考查的
14、知识点为：数列的概念与简单表示法，等差数列及其前n项和，等比数列及其前n项和，数列求和，数列求通项等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现.重点考查的知识点为：等差数列及其前n项和，等比数列及其前n项和，数列求和，数列求通项等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点等差数列及其前n项和，等比数列及其前n项和，数列求和，数列求通项为重点较佳.最新高考模拟试题1等差数列，等比数列，满足，则能取到的最小整数是（ ）ABCD【答案】B【解析】等差数列的公差设为，等比数列的公比设为，由，可得，则，可得能取到的最小整数是故选：B2中国古代数学名著九章算术中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗
15、主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？ABCD【答案】D【解析】因为斗=升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为，由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且则，解得，所以马主人要偿还的量为：，故选D.3我国古代的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字
16、之和都等于15.一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方.记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么 的值为（ ）A41B45C369D321【答案】C【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，故.故选：C4设数列的前项和为，且，则数列的前10项的和是（ ）A290BCD【答案】C【解析】由得，当时，整理得，所以是公差为4的等差数列，又，所以，从而，所以，数列的前10项的和.故选.5意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用若此数列被2
17、整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2019项的和为（ ）A672B673C1346D2019【答案】C【解析】由数列各项除以2的余数，可得为，所以是周期为3的周期数列，一个周期中三项和为，因为，所以数列的前2019项的和为，故选C.6已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则的值是（ ）A1BCD【答案】D【解析】是等比数列 是等差数列 本题正确选项：7已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【解析】解：数列满足，当时，得：，故：，数列满足：，则： ，由于恒成立，故：，整理得：，因为在上单调递减，故当时， 所以故选：D8已知函数的定义
18、域为，当时，且对任意的实数，等式成立，若数列满足，且，则下列结论成立的是（ ）AB CD 【答案】A【解析】由，令，则时， 当时，令，则，即又 当时， 令，则，即在上单调递减又令，；令，；令，数列是以为周期的周期数列， 在上单调递减 ， 本题正确选项：9在数列中，则的值为_【答案】1【解析】因为所以，,各式相加，可得，所以，故答案为1.10已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为_【答案】2【解析】正项等比数列满足，整理，得，又，解得，存在两项，使得，整理，得，则的最小值为2当且仅当取等号，但此时，又，所以只有当，时，取得最小值是2故答案为：211已知数列满足对，都有成立，函数，记
19、，则数列的前项和为_【答案】【解析】解：对，都有成立，可令即有，为常数，可得数列为等差数列，函数，由，可得的图象关于点对称，可得数列的前项和为故答案为：12已知数列的前项和为，满足，则=_【答案】【解析】由题意，数列满足，则，两式相减可得，即整理得，即，即，当时，即，解得，所以数列表示首项为，公比为的等比数列，所以，所以.13等差数列中，且，成等比数列，数列前20项的和_【答案】200或330【解析】设数列的公差为，则，由成等比数列，得，即，整理得，解得或，当时，；当时，于是，故答案为200或330.14已知正项等比数列的前项和为若，则取得最小值时，的值为_【答案】【解析】由，得：q1，所以，
20、化简得：，即，即，得，化简得，当，即时，取得最小值，所以故答案为：15设数列的前项和为，且满足，则_【答案】【解析】解：，可得时， ，时，又，两式相减可得，即，上式对也成立，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，可得故答案为：16已知数列满足，则数列的前项和为_.【答案】【解析】由，得，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，于是，所以，因为，所以的前项和.17定义：从数列中抽取项按其在中的次序排列形成一个新数列，则称为的子数列；若成等差（或等比），则称为的等差（或等比）子数列.（1）记数列的前项和为，已知.求数列的通项公式；数列是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由
21、.（2）已知数列的通项公式为，证明：存在等比子数列.【答案】（1）；见解析；（2）见证明【解析】解：（1）因为，所以当时，当时，所以.综上可知：.假设从数列中抽3项成等差，则，即，化简得：.因为，所以，且，都是整数，所以为偶数，为奇数，所以不成立.因此，数列不存在三项等差子数列.若从数列中抽项，其前三项必成等差数列，不成立.综上可知，数列不存在等差子数列.（2）假设数列中存在3项，成等比.设，则，故可设（与是互质的正整数）.则需满足，即需满足，则需满足.取，则.此时，.故此时成立.因此数列中存在3项，成等比，所以数列存在等比子数列.18在等差数列中，已知公差，是与的等比中项（1）求数列的通项公
22、式；（2）若数列满足，求数列的通项公式；（3）令，数列的前项和为.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）因为是与的等比中项，所以，数列的通项公式为.（2）得：，故。（3），令，则得：，。数列的前项和19已知等差数列满足，等比数列满足，且.（1）求数列，的通项公式；（2）记数列的前项和为，若数列满足，求的前项和为.【答案】(1) ， (2) .【解析】（1）设的首项为，公差为，则有，解得所以， 设，由已知，可得，由可得，可得，所以，（2）由（1）知， 所以，两式相减可得， 当时，满足上式，所以， ， 两式相减可得， 所以.20等差数列前项和为，且，（1）求的通项公式；（2）数列满足且，求
23、的前项和【答案】(1) (2) 【解析】（1）等差数列的公差设为，前项和为，且，可得，解得，可得；（2）由，可得，则前项和21设是单调递增的等比数列，为数列的前项和已知，且，构成等差数列 （1）求及； （2）是否存在常数使得数列是等比数列?若存在，求的值；若不存在，请说明理由【答案】（1），（2）存在常数使得数列是等比数列，详见解析【解析】（1）由题意得 ， ， 解得或 （舍） 所以， . （2）假设存在常数使得数列是等比数列，因为，所以，解得， 此时 ， 存在常数使得数列是首项为，公比为等比数列 22对于无穷数列，若，则称是的“收缩数列”.其中，分别表示中的最大数和最小数.已知为无穷数列，其
24、前项和为，数列是的“收缩数列”.（1）若，求的前项和；（2）证明：的“收缩数列”仍是；（3）若且，求所有满足该条件的.【答案】（1）；（2）详见解析；（3），.【解析】（1）由可得为递增数列由通项公式可知为等差数列的前项和为： （2），又的“收缩数列”仍是（3）由可得：当时，；当时，即，所以；当时，即（*），若，则，所以由（*）可得，与矛盾；若，则，所以由（*）可得所以与同号，这与矛盾；若，则，由（*）可得.猜想：满足的数列是：， 经验证，左式右式下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件由上述时的情况可知，时，是成立的假设是首次不符合，的项，则由题设条件可得（*）若，则由（*）式化简可得与矛盾；若，则，所以由（*）可得所以与同号，这与矛盾；所以，则，所以由（*）化简可得.这与假设矛盾.所以不存在数列不满足，的符合题设条件综上所述：，
