1、53 诱导公式(二)基础预习初探问题：留恋于湖光山色，观山赏水，看山在水中倒映，山的巍峨、水的柔媚在那一刻融合如果你的手中拿着一个度数为的角的模型，你观察一下湖中的这个角的模型与你手中的这个角的模型有什么关系？你当然会准确地回答出来：对称！角关于水平面对称的角的度数是多少？这两个角的三角函数值有什么关系呢？观察如图单位圆及角与 的终边 2(1)角的终边与 的终边有何关系？提示：它们的终边关于yx对称(2)若设任意角的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x，y)，那么角 的终边 与单位圆的交点P2的坐标是什么？提示：由于角的终边与角 的终边关于yx对称，所以P2与P1关于yx对 称，所以P2点的坐标
2、为(y，x).(3)结合问题1，2思考 与的正弦、余弦值有何关系？提示：sin(-)cos，cos(-)sin.222222(4)你能利用sin 2cos，cos 2sin 推导出sin 2与cos，cos 2与sin 的关系式吗？提示：sin 2sin 2（）cos()cos，cos 2cos 2（）sin()sin.【概念生成】1诱导公式五sin()_cos()_2诱导公式六sin()_cos()_2222cos sin cos sin 核心互动探究探究点一 利用诱导公式求值【典例1】(1)已知sin x435，则cos x4()A45B35C45D35(2)已知cos()12，为第一象限
3、角，求cos 2的值【思维导引】(1)将cos x4变形为cos 2x4，利用诱导公式，即可求得答案(2)先用诱导公式二化简cos()cos，得出cos 12.再化简cos 2sin.根据平方关系求值【解析】(1)选D.由题意得cos x4cos 2x4sin x435.(2)因为cos()cos 12，所以cos 12，又为第一象限角则cos 2sin 1cos2 1122 32.【类题通法】1求值问题中角的转化方法2解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系如3 与6，3 与6，4 与4 等互余，3 与23，4 与34 等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题
4、【定向训练】已知cos635，2 32，求sin 23的值【解析】因为23 62，所以sin 23sin 6 2cos 635.【跟踪训练】已知sin 6 33，求cos 3的值【解析】因为6 3 2，所以3 2 6.所以cos 3cos 26sin 6 33.探究点二 利用诱导公式进行化简、求值【典例2】已知是第三象限角，f()sin（）cos（2）tan 32cos（）.(1)若cos 3215，求f()的值(2)若1 920，求f()的值【思维导引】若f()的表达式很烦琐，可先化简再代入求值【解析】f()sin cos()sin 32 cos 32 1cos（）sin cos cos s
5、in cos cos.(1)因为cos 32sin 15，所以sin 15，因为为第三象限角，所以cos 2 65，所以f()cos 2 65.(2)因为1 9205360120，所以f(1 920)cos(5360120)cos 120cos 6012.【类题通法】三角函数式化简的方法和技巧(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题(2)技巧：异名化同名；异角化同角；切化弦【定向训练】化简：sin（4）cos 92 sin 112 cos 2tan（5）sin（3）sin 2.【解析】方法一：因为sin(4)sin()sin
6、，cos 92 cos 42cos 2sin，sin 112 sin 432 sin 32 sin 2sin 2cos，tan(5)tan()tan，sin(3)sin()sin，所以原式 sin sin cos cos tan sin cos sin2cos2 1cos2 1sin2cos2cos2cos2 1.方法二：奇变偶不变，符号看象限原式sin（）（sin）cos cos（）tan sin cos sin2cos2 1cos2 1sin2cos21.【跟踪训练】化简：tan（3）sin（）sin 32sin（2）cos 72sin 32 cos（2）.【解析】因为tan(3)tan，
7、sin()sin，sin(2)sin，cos(2)cos，sin 32cos，cos 72cos 72cos 42cos 2sin，sin 32cos，所以原式tan sin（cos）sin（sin）cos cos 1cos2 sin2cos21sin2cos2cos2cos2 1.探究点三 证明三角恒等式【典例3】求证：2sin 32 cos 2 112sin2（）tan（9）1tan（）1.【思维导引】【证明】左边2sin 32（sin）112sin22sin 2 sin 112sin22sin2 sin 112sin22cossin 1cos2sin22sin2（sincos）2sin2
8、cos2sincos sin cos .右边tan（9）1tan（）1 tan 1tan 1 sin cos sin cos .所以左边右边，故原式得证【延伸探究】若本例题条件不变，改为如下恒等式，如何证明？tan（2）sin（2）cos（6）sin 32 cos 32tan【证明】左边tan（）sin（）cos（）sin 22 cos 22（tan）（sin）cos sin 2 cos 2sin2sin2 cos 2sin2cossin sin cos tan 右边所以原等式成立【类题通法】三角恒等式的三种证法【定向训练】求证：tan（3）sin（5）cos（4）sin 32 cos 2ta
9、n.【证明】左边tan sin（）cos（）sin 2 cos 2tan（sin）cos cos（sin）tan 右边，所以等式成立【课堂小结】课堂素养达标1已知 f(x)sin x，下列式子中成立的是()Af(x)sin x Bf(2x)sin xCfx2cos x Df(x)f(x)【解析】选 C.f(x)sin(x)sin x，f(2x)sin(2x)sin x，fx2sin x2cos x，f(x)sin(x)sin xf(x).2已知 sin()12，则 cos 32的值为()A12B12C 32D 22【解析】选 A.由 sin()12 得 sin 12，所以 cos 32cos 32 sin 12.3如果 2 且 sin 15，则 cos _【解析】因为 2，所以 2，所以 cos cos 2sin 15.答案：154已知 是第四象限角，且 cos 12，则 cos(90)_【解析】由诱导公式六知 cos(90)sin.又 cos 12 且 是第四象限角，所以 sin 1cos2 1122 32，所以 cos(90)32.答案：32