1、第三节二项式定理(理)时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1(2013江西卷)(x2)5展开式中的常数项为()A80 B80C40 D40解析由二项式定理展开式的通项Tr1C(x2)5r()rC(2)rx105r，令105r0得r2，故常数项为C(2)240.故选C.答案C2(2013陕西卷)设函数f(x)则当x0时，ff(x)表达式的展开式中常数项为()A20 B20C15 D15解析x0时，f(x)0，故ff(x)f()()6，其展开式的通项为Tr1C(1)rxr3，令r30，得r3时，常数项为T4C(1)320.故选A.答案A3在二项式n的展开式中
2、，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为()A32 B32C0 D1解析依题意得所有二项式系数的和为2n32，解得n5.因此，该二项展开式中的各项系数的和等于50.答案C4在24的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有()A3项 B4项C5项 D6项解析Tr1C()24rrCx12，故当r0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项答案C5若(2x)10a0a1(x1)a2(x1)2a10(x1)10，则a9()A9 B10C20 D5 120解析(2x)101(1x)101C(1x)C(1x)2C(1x)10，a9CC10.答案B6(2013新课标全国卷)设m为正整数，(xy)
3、2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a7b，则m()A5 B6C7 D8解析aC，bC.又13a7b，13(m1)7(2m1)，m6.答案B二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7(2013安徽卷)若(x)8的展开式中x4的系数为7，则实数a_.解析设展开式第r1项为x4项，则展开式的通项可得Tr1Carx8r；令8r4，得r3，Ca37，a.答案8(2013四川卷)二项式(xy)5的展开式中，含x2y3的项的系数是_(用数字作答)解析Tr1Cx5ryr，r3.x2y3的系数为C10.答案109已知(1x)(1x)2(1x)3(1
4、x)na0a1xa2x2anxn，且a0a1a2an126，那么n的展开式中的常数项为_解析由题意知，222232n126，所以n6.二项展开式的通项为Tr1C36rx(1)rx(1)rC36rx.令62r0，得r3.故常数项为540.答案540三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10已知n的展开式中，前三项系数成等差数列(1)求n；(2)求第三项的二项式系数及项的系数；(3)求含x项的系数解(1)前三项系数1，C，C成等差数列2C1C，即n29n80.n8或n1(舍)(2)由n8知其通项公式Tr1C()8rrrCx4r(r0,1,2，8)，第三项的二项式系数为C28.第三项系
5、数为2C7.(3)令4r1，得r4，含x项的系数为4C.11已知(a21)n展开式中各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a21)n的展开式的二项式系数最大的项等于54，求a的值解由5得，Tr1C5rr()5rC令Tr1为常数项，则205r0.r4.常数项T5C16.又(a21)n展开式的各项系数之和等于2n，由题意得2n16，n4.由二项式系数的性质知，(a21)n展开式中二项式系数最大的项是中间项T3，Ca454.a.12若(x23x2)5a0a1xa2x2a10x10.(1)求a2；(2)求a1a2a10；(3)求(a0a2a4a6a8a10)2(a1a3a5a7a9)2.解(1)方法
6、1：(x23x2)5(x1)5(x2)5，(x1)5展开式的通项公式为C(1)rx5r(0r5)(x2)5展开式的通项公式为C(2)sx5s(0s5)，所以(x23x2)5展开式的通项公式为CC(1)rs2sx10rs，令rs8，得或或所以展开式中x2的系数为CC25CC24CC23800，即a2800.方法2：(x23x2)5的本质是5个x23x2相乘，由多项式的乘法法则，产生含x2的项有两种可能：5个x23x2中有一个取含x2的项，其他的取常数项，得到的系数是C2480；5个x23x2中有两个取含x的项，其他的取常数项，得到的系数是C(3)223720.展开式中含x2的项的系数是80720800，即a2800.(2)令f(x)(x23x2)5a0a1xa2x2a10x10，a0f(0)2532，a0a1a2a10f(1)0，a1a2a1032.(3)(a0a2a4a6a8a10)2(a1a3a5a7a9)2(a0a1a2a10)(a0a1a2a10)f(1)f(1)0.