1、2020-2021学年度第一学期高三第四次月考数学试卷（理科）一、选择题：(每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1复数的模为 （ ）A1B2CD2下列四个函数，在处取得极值的函数是 （ ） A B C D 3不等式的解集是，则的值为（ ）ABCD4某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30)（ ）A2020年B2021年C2022年D20
2、23年5在公差不为零的等差数列中，且，成等比数列，则（ ）A1B2C3D46为了得到函数的图象，只需把函数，的图象上所有的点（ ）A向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）B向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）D向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）7在中，则（ ）ABCD8命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）ABCD9已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（ ）ABCD10函数的部分图象如图所示，的值为（ ）A
3、0BCD11给定两个单位向量，且，点在以为圆心的圆弧上运动，则的最小值为（ ）ABCD12已知实数，满足，则下列关系式中不可能成立的是（ ）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.）13设集合，则实数的取值集合为_.14已知向量、满足，若，则向量与的夹角为_.15若三个关于x的方程，中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围为_.16锐角三角形中，若，则的范围是 ；三、解答题：本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17（本小题满分12分）已知，是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，且，求的坐标；（2）若，与的夹角为锐角
4、，求实数的取值范围.18（本小题满分12分）已知函数，满足，（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值和最小值19（本小题满分12分）在锐角中，角所对的边分别为，已知，（1）求角的大小；（2）求的面积20（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且（），.（）判断数列是否是等比数列，并求出数列的通项公式；（）设，求数列的前项和.21（本小题满分12分）已知函数.（1）若曲线存在斜率为-1的切线，求实数a的取值范围；（2）求的单调区间；（3）设函数，求证：当时， 在上存在极小值.选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22（本小题满分10分）
5、在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若射线（）与直线和曲线分别交于，两点，求的值.23（本小题满分10分）设函数（）的最小值为1.（1）求的值；（2）若（），求证：.理科参考答案1A 2B 3C 4B 5D 6C 7A 8D 9B 10A 11B 12D二、1314 15 16(三、17【答案】（1）或 （2）【解析】（1）因为，且，则，又，所以，即，故或；（2）由，则，由，解得， 又与不共线，则，解得，故与的夹角为锐角时，实数的取值范围为：.18【答案】（1），（
6、2）最大值为，最小值为【解析】（1）因为，所以，解得，所以，所以的最小正周期为，（2）由，得，所以，所以，所以，所以在上的最大值为，最小值为19【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，由正弦定理，得，即.又因为，所以.因为为锐角三角形，所以.（2）在中，由余弦定理，得，即.解得或. 当时，因为，所以角为钝角，不符合题意，舍去.当时，因为，又，所以为锐角三角形，符合题意.所以的面积. 考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式20【答案】（）数列不是等比数列. （）【解析】（）数列不是等比数列.，由（）可知，当时，两式相减得，即，所以由（）得当时，所以数列是从第2项起，以2为公比的等比数列，所以
7、（），所以.21【答案】(1) .(2)答案见解析；(3)证明见解析.【解析】（1）由得.由已知曲线存在斜率为-1的切线，所以存在大于零的实数根，即存在大于零的实数根，因为在时单调递增，所以实数a的取值范围.（2）由可得当时， ，所以函数的增区间为；当时，若， ，若， ，所以此时函数的增区间为，减区间为.（3）由及题设得，由可得，由（2）可知函数在上递增，所以，取，显然，所以存在满足，即存在满足，所以， 在区间（1，+）上的情况如下： 0 + 极小 所以当-1a0时，g（x）在（1，+）上存在极小值.22【答案】（1）（），；（2）.【解析】（1）由得，将（为参数）消去参数，得直线的普通方程为（）.由得，将，代入上式，得，所以曲线的直角坐标方程为.（2）由（1）可知直线的普通方程为（），化为极坐标方程得（），当（）时，设，两点的极坐标分别为，则，所以.23【答案】（1）2；（2）见解析.【解析】（1）由，可得，则，；（2）由（1）可知，（当且仅当时等号成立）， ，故.