1、第六节双曲线时间：45分钟分值：100分 一、选择题1(2014新课标全国卷)已知双曲线1(a0)的离心率为2，则a()A2 B.C. D1解析由已知得2，且a0，解得a1，故选D.答案D2(2014广东卷)若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的()A焦距相等 B实半轴长相等C虚半轴长相等 D离心率相等解析因为0k0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A. B3C.m D3m解析由题意，可得双曲线C为1，则双曲线的半焦距c.不妨取右焦点(，0)，其渐近线方程为yx，即xy0.所以由点到直线的距离公式得d.故选A.答案A5(2014江西卷)过双曲线C：1的右顶点作x轴的垂线，与C的一
2、条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心，半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析设双曲线的右顶点为B，则B(a,0)不妨取渐近线yx，则A点的坐标为(a，b)，从而可知|OA|c.由已知可得|OF|AF|c4，OAF为边长是c的等边三角形又ABOF，|OB|a2，|AB|b2.故所求的双曲线方程为1.答案A6双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，点P在第一象限内且在l1上，若l2PF1，l2PF2，则该双曲线的离心率为()A. B2C. D.解析由题意可知F1(c,0)，F2(c,0)，P(x0，
3、y0)，渐近线l1的直线方程为yx，渐近线l2的直线方程为yx.l2PF2，即ay0bcbx0.点P在l1上，即ay0bx0，bx0bcbx0，解得x0.P.l2PF1，1，即3a2b2.a2b2c2，4a2c2，即c2a.答案B二、填空题7双曲线1的两条渐近线的方程为_解析本题考查双曲线的渐近线方程由a216，b29，得渐近线方程为yxx.答案yx8双曲线1的离心率为，则m等于_解析a216，b2m，得c216m，则e，m9.答案99设双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，O为坐标原点若以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线C的渐近线yx交于点A(不同于O点)，则OAF的面积为_解析因为右焦点
4、F(c,0)到渐近线yx，即bxay0的距离为b，所以|OA|2a，故OAF的面积为2abab.答案ab三、解答题10直线l：y(x2)和双曲线C：1(a0，b0)交于A，B两点，且|AB|，又l关于直线l1：yx对称的直线l2与x轴平行(1)求双曲线C的离心率；(2)求双曲线C的方程解(1)设双曲线C：1过一、三象限的渐近线l1：0的倾斜角为.因为l和l2关于l1对称，记它们的交点为P.而l2与x轴平行，记l2与y轴的交点为Q.依题意有QPOPOMOPM.又l：y(x2)的倾斜角为60，则260，30.所以tan30.于是e211.所以e.(2)由，可设双曲线方程为1，即x23y23k2.将
5、y(x2)代入x23y23k2，得x233(x2)23k2.化简得8x236x363k20，则x1x2，x1x2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| |x1x2|22 ，解得k21.故所求双曲线C的方程为y21.11(2015湛江模拟)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F(c,0)(1)若双曲线的一条渐近线方程为yx且c2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率解(1)双曲线的渐近线为yx，ab.c2a2b22a24，a2b22.双曲线方程为1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，直线AO的
6、斜率满足()1，x0y0，依题意，圆的方程为x2y2c2，将代入圆的方程得3yyc2，即y0c.x0c，点A的坐标为.代入双曲线方程得1，即b2c2a2c2a2b2.又a2b2c2，将b2c2a2代入式，整理得c42a2c2a40.348240，(3e22)(e22)0.e1，e，双曲线的离心率为. 1在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(5,0)和C(5,0)，顶点B在双曲线1上，则为()A. B.C. D.解析设ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，由正弦定理得，由双曲线的标准方程和定义可知，A，C是双曲线的焦点，且b10，|ca|8.所以.故选C.答案C2已知双曲线C：1
7、(a0，b0)的离心率为2，A，B为其左，右顶点，点P为双曲线C在第一象限的任意一点，点O为坐标原点，若PA，PB，PO的斜率为k1，k2，k3，则mk1k2k3的取值范围为()A(0,3) B(0，)C. D(0,8)解析e2，ba，设P(x，y)，则1，k1k23，又双曲线的渐近线为yx，所以0k3，故0m0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1,2) B(，2)C(，2) D(2,3)解析由题意知，ABE为等腰三角形若ABE是锐角三角形，则只需要AEB为锐角根据对称性，只要
8、AEF即可直线AB的方程为xc，代入双曲线方程得y2，取点A，则|AF|，|EF|ac，只要|AF|EF|就能使AEF，即ac，即b2a2ac，即c2ac2a20，即e2e20，即1e1，故1e0，b0)的两条渐近线分别为l1：y2x，l2：y2x.(1)求双曲线E的离心率(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由解(1)因为双曲线E的渐近线分别为y2x，y2x，所以2，所以2，故ca，从而双曲线E的离心率e.(2)由
9、(1)知，双曲线E的方程为1.设直线l与x轴相交于点C.当lx轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|a，|AB|4a.又因为OAB的面积为8，所以|OC|AB|8，因此a4a8，解得a2，此时双曲线E的方程为1.若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为1.以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：1也满足条件设直线l的方程为ykxm，依题意，得k2或k2，则C.记A(x1，y1)，B(x2，y2)由得y1，同理，得y2.由SOAB|OC|y1y2|，得8，即m24|4k2|4(k24)由得(4k2)x22kmxm2160.因为4k20，所以4k2m24(4k2)(m216)16(4k2m216)又因为m24(k24)，所以0，即l与双曲线E有且只有一个公共点因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为1.