1、 考纲定位1了解函数单调性和导数的关系2能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)3了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(其中多项式函数一般不超过三次)4会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会利用导数解决某些实际问题(其中多项式函数一般不超过三次)教材回归1函数的单调性与导数在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果f_(x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内单调递增；如果f_(x)0吗？f(x)0是否是 f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：函数 f(x)在(a，b)内单调递增，则f(x)
2、0，f(x)0是 f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件2函数的极值与导数(1)函数的极小值函数 yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在xa附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f_(x)0，则点a叫做函数 yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数 yf(x)的极小值(2)函数的极大值函数 yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近，左侧f_(x)0，右侧f_(x)0，则点b叫做函数 yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数 yf(x)的极大值极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值3函数的最值
3、(1)如果在区间a，b上函数 yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求函数 yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤求函数 yf(x)在(a，b)内的极值将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值思考探究2：函数的极值和最值有哪些区别？提示：极值是指某一点附近函数值的比较，因此，同一函数在某一点的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；最大、最小值是指闭区间a，b上所有函数值的比较因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如
4、果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值三基强化1函数yx33x的单调递减区间是()A(，0)B(0，)C(1,1)D(，1)，(1，)解析：y3x23，由3x230，得1x1.答案：C2函数 f(x)x3ax2在区间(1，)上是增函数，则实数a的取值范围是()A3，)B3，)C(3，)D(，3)解析：f(x)x3ax2在(1，)上是增函数，f(x)3x2a0在(1，)上恒成立即a3x2在(1，)上恒成立又在(1，)上3x20的x的取值范围为增区间；使导函数 yf(x)0的x的取值范围为减区间答案：C答案：D5(2011 年山东济宁一模)若函数 f(x)
5、x36bx3b 在(0,1)内有极小值，则实数 b 的取值范围是()A(0,1)B(，1)C(0，)D(0，12)解析：f(x)3x26b，由题意，函数 f(x)图象如右f 00，即6b0，得 0b0时 f(x)为增函数；f(x)0，f(x)在(，2 3)上单调增加；当 x(2 3，2 3)时，f(x)0，f(x)在(2 3，)上单调增加综上，f(x)的单调增区间是(，2 3)和(2 3，)，单调减区间是(2 3，2 3)(2)f(x)3(xa)21a2当 1a20 时，f(x)0，f(x)为增函数，故 f(x)无极值点；当 1a20 时，f(x)0 有两个根，x1a a21，x2a a21.
6、由题意知，2a a213，或 2a a213.式无解解式得54a53.因此 a 的取值范围是(54，53)变式迁移1 设函数 f(x)x3ax29x1(a0)若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行，求：(1)a的值；(2)函数 yf(x)的单调区间解：(1)f(x)x3ax29x1.f(x)3x22ax93(xa3)29a23.即当 xa3时，f(x)取得最小值9a23.9a23 12，即 a29.解得 a3.由题设 a0，故 f(x)在(，1)上为增函数；当x(1,3)时，f(x)0，故 f(x)在(3，)上为增函数由此可见，函数 f(x)的单调递增区间为(，1)和(3，)；单
7、调递减区间为(1,3)考点二 函数的极值与导数运用导数求可导函数 yf(x)极值的步骤：1先求函数的定义域，再求函数 yf(x)的导数 f(x)；2求方程 f(x)0的根；3检查 f(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值特别警示：可导函数的极值点必须是导数为0的点，导数为0的点不一定是极值点可导函数 f(x)在点x0处取得极值的充要条件是 f(x0)0且在x0的左侧与右侧的 f(x)的符号不同不可导的点也可能是极值点例 2(2010 年山东烟台一模)已知函数 f(x)13x3ax2bx(a，bR)(1)若
8、 yf(x)图象上的点(1，113)处的切线斜率为4，求 yf(x)的极大值；(2)若 yf(x)在区间1,2上是单调减函数，求 ab 的最小值【解】(1)f(x)x22axb，由题意可知：f(1)4 且 f(1)113，即12ab4，13ab113，解得a1，b3.f(x)13x3x23x，f(x)x22x3(x1)(x3)令 f(x)0，得 x11，x23.由此可知，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：(2)yf(x)在区间1,2上是单调减函数，f(x)x22axb0 在区间1,2上恒成立根据二次函数图象可知 f(1)0 且 f(2)0，即12ab0，44ab0，也即2ab10
9、，4ab40.作出不等式组表示的平面区域如图：当直线 zab 经过交点 P(12，2)时，zab 取得最小值 z12232，zab 取得最小值为32.变式迁移2 已知函数 f(x)ax3bx23x在x1处取得极值(1)讨论f(1)和f(1)是函数 f(x)的极大值还是极小值；(2)过点A(0,16)作曲线yf(x)的切线，求此切线方程解析：(1)f(x)3ax22bx3，依题意，f(1)f(1)0，即3a2b303a2b30，解得 a1，b0.f(x)x33x，f(x)3x233(x1)(x1)令 f(x)0，得 x1，x1.若 x(，1)(1，)，则 f(x)0，故 f(x)在(，1)上是增
10、函数，f(x)在(1，)上是增函数若x(1,1)，则f(x)0，f(x)在1，e上为增函数，f(x)maxf(e)12e21，f(x)minf(1)12.(2)证明：设 F(x)12x2lnx23x3，则 f(x)x1x2x21x1x2x2x当 x1，)时，f(x)0，F(x)在1，)上为减函数，且 F(1)160 故 x1，)时，F(x)0，12x2lnxm 恒成立，求实数 m 的取值范围解：(1)函数 f(x)的定义域为(，)，因为f(x)xex(exxex)x(1ex)，由f(x)x(1ex)0得x0，f(x)0，则 f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0，)(2)由(1)
11、知，f(x)在0,2上单调递减，在2,0上单调递增，又 f(2)23e2，f(2)2e2，且 2 3e22e2，所以 x2,2时，f(x)min2e2，故 mm 恒成立考点四 生活中的优化问题在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合，用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点例4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3a5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9x11)时，一年的销
12、售量为(12x)2万件(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)【分析】关键抽象出具体函数关系式，运用导数去解决【解】(1)分公司一年的利润 L(万元)与售价 x 的函数关系式为：L(x3a)(12x)2，x9,11(2)L(x)(12x)22(x3a)(12x)(12x)(182a3x)令 L0 得 x623a 或 x12(不合题意，舍去)3a5，8623a283.在 x623a 两侧 L的值由正变负所以当 8623a9 即 3a92时，LmaxL(9)(93a)(129)29(6a)当
13、 9623a283 即92a5 时，LmaxL(623a)(623a3a)12(623a)24(313a)3.所以 Q(a)96a，3a92，4313a 3，92a5.综上所述，若 3a92，则当每件售价为 9 元时，分公司一年的利润 L 最大，最大值 Q(a)9(6a)(万元)；若92a5，则当每件售价为(623a)元时，分公司一年的利润 L 最大，最大值 Q(a)4313a 3(万元)变式迁移4 两县城A和B相距20km，现计划在两解：(1)根据题意ACB90，ACxkm，BC 400 x2km，且建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 的影响度为4x2，对城 B 的影响度为k400 x2因此，
14、总影响度 y4x2k400 x2(0 x20)又因为垃圾处理厂建在弧 AB 的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065，则有4 1021022k400 10210220.065，解得 k9，所以 y4x29400 x2(0 x0，知 ax22ax10 在 R 上恒成立，因此 4a24a4a(a1)0，由此并结合 a0，知 00”是“f(x)在该区间内单调递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【解析】一般地，由f(x)0能推出 f(x)为增函数，反之，则不一定如函数 f(x)x3在区间(，)上单调递增，但是f(x)0.因此f(x)0是函数 f(x
15、)为增函数的充分不必要条件【答案】A2概念应用错误纠错训练2 判断正误：对于函数yx3有y3x2，由y0得x0，所以x0是函数yx3的一个极值点()【答案】纠错训练3 如若函数 f(x)x3ax在R上为增函数，则a的取值范围是_【解析】f(x)3x2a，f(x)在R上为增函数，3x2a0在xR时恒成立a3x2恒成立，即a(3x2)min0，当a0时，f(x)3x2，只有f(0)0；x0时，f(x)0，因此 f(x)在R上也是增函数【答案】a03极值与最值概念混淆致误纠错训练4 求函数 f(x)x3x2x在2,3上的最大值和最小值【解】令 f(x)3x22x10 得 x13或 x1.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：