1、 考 点考 情指数函数、对数函数及幂函数1.对指数函数、对数函数及幂函数的考查多以函数的定义域、比较大小等问题形式考查，如2013年新课标全国卷T8等2.结合函数与方程的关系，求函数的零点3.结合根的存在性定理或函数图像，对函数是否存在零点或存在零点的个数进行判断，如2013年重庆T6，天津T7，湖南T5等4.利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或取值范围5.对函数实际应用问题的考查，题目大多以社会生活为背景，设问新颖、灵活，而解决这些问题所涉及的数学知识、思想方法都是高中教材和课标中所要求掌握的概念、公式、法则、定理等.函数的零点及其应用函数的实际应用问题1(2013新课标全国卷)设al
2、og36，blog510，clog714，则()AcbaBbca Cacb Dabc解析：选Dalog361log32，blog5101log52，clog7141log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数ylog3x，ylog5x，ylog7x的图像，由三个图像的相对位置关系，可知abc.2(2013重庆高考)若ab0，f(b)0，故函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内3(2013天津高考)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1 B2 C3 D4解析：选B函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数即为
3、函数y|log0.5x|与y图像的交点个数在同一直角坐标系中作出函数y|log0.5x|与y的图像，易知有2个交点4(2013湖南高考)函数f(x)2ln x的图像与函数g(x)x24x5的图像的交点个数为()A3 B2 C1 D0解析：选B由已知g(x)(x2)21，所以其顶点为(2,1)，又f(2)2ln 2(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)2ln x图像的下方，故函数f(x)2ln x的图像与函数g(x)x24x5的图像有2个交点5(2013天津高考)设函数f(x)exx2，g(x)ln xx23.若实数a，b满足f(a)0，g(b)0，则()Ag(a)0f(b)Bf(b)0g
4、(a)C0g(a)f(b)Df(b)g(a)0解析：选A因为函数f(x)exx2在R上单调递增，且f(0)120，所以f(a)0时a(0,1)又g(x)ln xx23在(0，)上单调递增，且g(1)20，所以g(a)0，g(b)0得b(1,2)，又f(1)e10，且f(x)exx2在R上单调递增，所以f(b)0.综上可知，g(a)00且a1，b0且b1，M0，N0)2指数函数与对数函数的图像和性质指数函数对数函数图像单调性0a1时，在R上单调递增a1时，在(0，)上单调递增；0a1时，在(0，)上单调递减函数值性质0a0时，0y1；当x10a1时，y0；当0x0a1，当x0时，y1；当x0时，
5、0y1，当x1时，y0；当0x1时，y03.函数的零点与方程根的关系函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图像与函数yg(x)的图像交点的横坐标热点一指数函数、对数函数及幂函数例1(1)(2013南昌模拟)已知a0.7，b0.6，clog2.11.5，则a，b，c的大小关系是()AcabBcbaCabc Dbac(2)(2013太原模拟)已知函数f(x)ln x，x1， x2，且x1x2，则下列结论中正确的是()A(x1x2)f(x1)f(x2)0Bfx2f(x1)Dx2f(x2)x1f(x1)自主解答(1)依题意得a0.70.701，b0.60.6
6、01，01，即1ab；又clog2.11.5log2.12.11，因此ca0，故A错误；选项B，由函数图像的凸凹性可知f，故B错误；选项C，令g(x)，由于g(x)，当x，g(x)0，即函数在区间上为增函数，故x1x2g(x1)g(x2)x2f(x1)x2f(x2)，D错误答案(1)A(2)C将本例(2)中“f(x)ln x，x1，x2”改为“f(x)ex”，如何选择？解析：选B因为f(x)ex为增函数，所以(x1x2)f(x1)f(x2)0，故A错误；由于函数f(x)ex的凸凹性可知f，故B正确；令g(x)，则g(x)，所以g(x)在(，0)，(0,1)上为减函数，在(1，)上为增函数，故C
7、错误；同理，令h(x)xex，则h(x)exxex(1x)ex，所以h(x)xex在(，1)上为减函数，在(1，)上为增函数，故D错误 1三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图像比较大小2解决含参数的指数、对数问题应注意的问题对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次再利用性质求解1定义两个实数间的一种新运算“*”：x*ylg(10x10y)
8、，x，yR.对于任意实数a，b，c，给出如下结论：(a*b)*ca*(b*c)；a*bb*a；(a*b)c(ac)*(bc)其中正确结论的个数是()A0B1 C2D3解析：选D因为a*blg(10a10b)，故(a*b)*clg(10a10b)*clg(10lg(10a10b)10c)lg(10a10b10c)，同理a*(b*c)a*(lg(10b10c)lg(10a10lg(10b10c)lg(10a10b10c)，故“*”运算满足结合律；据定义易知运算符合交换律；(a*b)clg(10a10b)clg(10a10b)lg 10clg(10a10b)10clg(10ac10bc)(ac)*(
9、bc)，故结论成立综上可知正确2已知函数f(x)若存在x1，x2，当0x1x22时，f(x1)f(x2)，则x1f(x2)的取值范围是_解析：作出函数f(x)的图像，由图知所以x1f(x2)2x212，即x1f(x2)的取值范围是.答案：热点二函数的零点问题例2(1)(2013青岛模拟)函数f(x)log2x的零点所在的区间为()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)(2)若函数f(x)则函数F(x)xf(x)1的零点的个数为()A4 B5 C6 D7(3)(2013武汉模拟)定义运算M：xy设函数f(x)(x23)(x1)，若函数yf(x)c 恰有两个零点，则实数c的取值范围
10、是()A3，2)B3，23，)C2,2D(3，2)2，)自主解答(1)由f(1)10可得f(x)在(1,2)内必有零点(2)据题意，函数F(x)xf(x)1的零点个数可转化为函数yf(x)与函数y图像交点的个数，在同一坐标系中画出两个函数图像如图所示：由图可知共有6个交点，故函数F(x)xf(x)1的零点个数为6.(3)由x23x1解得x1或x2，所以f(x)函数yf(x)c恰有两个零点，即函数yf(x)，yc的图像恰有两个交点，作出函数yf(x)，yc的图像如图，由图可知3c2或c2时，两个图像有两个不同的交点，故实数c的取值范围是(3，2)2，)答案(1)B(2)C(3)D规律总结判断函数
11、零点个数的方法(1)直接求零点：令f(x)0，则方程解的个数即为零点的个数(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在a，b上是连续的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图像和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点(3)数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图像，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点3函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3) B(1,2)C(0,3) D(0,2)解析：选C函数f(x)有一个零点在(1,2)内，f(1)f(2)0，即a(3
12、a)0，0a0时，函数yff(x)1的零点个数为()A1 B2C3 D4解析：选D结合图像分析当k0时，ff(x)1，则f(x)t1或f(x)t2(0,1)对于f(x)t1，存在两个零点x1，x2；对于f(x)t2，存在两个零点x3，x4，共存在4个零点热点三函数的实际应用例3(2013长沙模拟)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定对这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，据调查，当16x24时，这种食品市场日供应量p万千克与市场日需求量q万千克近似地满足关系：p2(x4t14)(x16，t0)，q248ln
13、 (16x24)当pq时的市场价格称为市场平衡价格(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；(2)为使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为每千克多少元？自主解答(1)由pq，得2(x4t14)248ln (16x24，t0)，则txln ln 20ln x(16x24)t0)记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和是F(x)(万元)，则F(40)等于()A80B60C42D40解析：选B依题意得F(x)x15，F(40)401560.6某工厂在政府的帮扶下，准备转型生产一种特殊机器，生产需要投入固定成本500万元，生产与销售均以百台计数，
14、且每生产100台，还需增加可变成本1 000万元若市场对该产品的年需求量为500台，每生产m百台的实际销售收入近似满足函数R(m)5 000m500m2(0m5，mN)(1)试写出第一年的销售利润y(万元)关于年产量x(单位：百台，x5，xN*)的函数关系式；(说明：销售利润实际销售收入成本)(2)因技术等原因，第一年的年生产量不能超过300台，若第一年人员的年支出费用u(x)(万元)与年产量x(百台)的关系满足u(x)500x500(x3，xN*)，问年产量x为多少百台时，工厂所得纯利润最大？解：(1)由题意，y5 000x500x25001 000x，即y500x24 000x500(x5，xN*)(2)记工厂所得纯利润为h(x)，则h(x)500x24 000x500u(x)500x23 500x1 000500(x27x)1 00050025 125(x3，xN*)当x3(百台)时，h(x)max5 000.故当年生产量为300台时，工厂的纯利润最大，最大值为5 000万元.高考资源网版权所有！投稿可联系QQ：1084591801
