1、123定义法求轨迹方程已知F1:(x+3)2+y2=1，F2:(x-3)2+y2=9,动圆P与F1，F2均外切，求圆心P的轨迹方程.4设P的半径为r.则由题意有，所以|PF2|-|PF1|=2|F1F2|.由双曲线的定义知，点 P 的轨迹是以F1,F2 为焦点，实轴长为2的双曲线的左支.设双曲线的方程为，1213PFrPFr22221xyab5则，所以.故点P的轨迹方程为(x-1).222223acabc 18ab 2218yx 在求动点 P 的轨迹方程时，有时可以先根据题中的几何条件，判断出轨迹的形状及位置，再运用待定系数法求方程的特征量，从而求出轨迹方程，这种方法称为定义法.本题在得出|P
2、F2|-|PF1|=2 3时,方程可化为,化简得 y2=-12(x-4).故点P的轨迹方程为22(1)34xyx22(1)34xyx22(1)34xyx2412(4)xyx(03)(34)xx11如图所示，已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两 动 点，且 满 足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.相关点法求轨迹方程12设矩形APBQ的对角线AB的中点为R,其坐标为(x,y)，则在RtABP中，AR=|PR|.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理，在RtOAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x2+y2).又|PR|=,所以有(x-4)2+y2=3
3、6-(x2+y2),即 x2+y2-4x-10=0.22(4)xy13因此，点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y),R(x1,y1).因为R是PQ的中点，所以x1=,y1=,代入方程 x2+y2-4x-10=0,得()2+()2-4 -10=0,整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.42x 02y 42x 2y42x 14本题主要考查利用“相关点代入法”求轨迹方程的能力.在此题中，欲求点Q的轨迹方程，应先求点R的轨迹方程，若没有发现这个解题的实质，就会陷入僵局.由此可见，对某些比较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，
4、再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.15 2304,23Ml xyAPAMAPPMP为直线：上的一动点，为一定点，又点 在直线上运动，且，求动点 的轨迹方程00000000()()43441333,23423132308430.P xyM xyxxxxAPPMyyyyxyxy设，因为所以又，代入化简得161.已知椭圆的焦点是F1、F2,P是椭圆上的一个动点，如果延长 F1P 到点Q，使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是.圆因为|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,所以|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,所以动点Q
5、到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.172.已知点M(-3,0)、N(3,0)、B(1,0),圆C与直线MN切于点B，分别过M、N且与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为.221(0)8yxx183.分别过A1(-1,0),A2(1,0)作两条互相垂直的直线，则它们的交点M的轨迹方程是.x2+y2=1设M(x,y).因为MA1MA2，所以MA1 MA2=0,即(x+1,y)(x-1,y)=0，得x2+y2=1.19方法1：(直接法)设OQ为过O的任意一条弦，P(x,y)是其中点，则CPOQ，故=0,所以(x-1,y)(x,y)=0，即(x-)2+y2=(0 x1).方法
6、1：(直接法)设OQ为过O的任意一条弦，P(x,y)是其中点，则CPOQ，故=0,所以(x-1,y)(x,y)=0，即(x-)2+y2=(0 x1).4.已知圆C:(x-1)2+y2=1，过原点O作圆C的任意一条弦，求弦的中点的轨迹方程.12OQCP方法1：(直接法)设OQ为过O的任意一条弦，P(x,y)是其中点，则CPOQ，故=0,所以(x-1,y)(x,y)=0，即(x-)2+y2=(0 x1).14OQCP20方法2：(定义法)因为OPC=90，动点P在以M(,0)为圆心，OC为直径的圆上，所以所求点的轨迹方程为(x-)2+y2=(0 x1).12121421方法3：(参数法)设动弦PQ
7、的方程为 y=kx.由,得(1+k2)x2-2x=0.(*)设P(x1,y1),Q(x2,y2)，线段PQ的中点的坐标为(x,y)，则，.将以上两式代入(*)消去 k 得所求点的轨迹方程为(x-)2+y2=(01),A(1,0),记点N的轨迹为曲线E.证明曲线E是椭圆，并写出当 a=2 时该椭圆的标准方程.32依题意，直线m为线段AM的垂直平分线，所以NA=NM，所以NC+NA=NC+NM=CM=2a2.所以点N的轨迹是以C、A为焦点，长轴长为2a，焦距为2的椭圆.当 a=2时，长轴长为2a=4,焦距为2c=2,所以 b2=a2-c2=3.所以椭圆的标准方程为.22143xy33选题感悟：本题以折纸问题为背景，考查定义法求轨迹方程，同时考查考生对椭圆的几何性质的掌握程度，体现了高考对解析几何的考查以基础知识、基本方法为主的能力要求.