1、第2课时 函数的最大值、最小值 基础预习初探问题1.观察下列两个函数的图象，回答有关问题：(1)比较两个函数的图象，它们是否都有最高点？提示：图中函数yx2的图象有一个最高点；图中函数yx的图象没有最高点(2)通过观察图你能发现什么？提示：对任意xR，都有f(x)f(0).问题2.观察下列两个函数的图象，回答有关问题(1)比较两个函数的图象，它们是否都有最低点？提示：图中函数yx2的图象有一个最低点图中函数yx的图象没有最低点(2)通过观察图你能发现什么？提示：对任意xR都有f(x)f(0).【概念生成】1最大值定义一般地，设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：(1)对任意
2、的 xI，都有_；(2)存在 x0I，使得_那么，称 M 是函数 yf(x)的最大值f(x)Mf(x0)M2最小值定义一般地，设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：(1)对任意的 xI，都有_；(2)存在 x0I，使得_那么，称 M 是函数 yf(x)的最小值f(x)Mf(x0)M核心互动探究探究点一 利用单调性求函数最值 【典例1】求函数f(x)xx1 在区间2，5上的最大值与最小值【思维导引】先用定义研究函数在区间上的单调性，再求最值【解析】任取2x1x25，则f(x1)x1x11，f(x2)x2x21，f(x2)f(x1)x2x21 x1x11 x1x2（x21）（x
3、11），因为2x1x25，所以x1x20，x110，所以f(x2)f(x1)0，所以f(x2)0)在区间m，n上的最值的类型(1)若对称轴x b2a 在区间m，n内，则最小值为f b2a，最大值为f(m)，f(n)中较大者(或区间端点m，n中与x b2a 距离较远的一个对应的函数值为最大值).(2)若 b2a n，则f(x)在m，n上单调递减，最大值为f(m)，最小值为f(n).【定向训练】求函数yx x1 的最值【解析】令x1 t，则xt21(t0)，所以yt2t1(t0).又yt2t1在 0，12上单调递减，在 12，上单调递增，所以ymin 12212 154，无最大值故函数yxx1 的
4、最小值为54，无最大值探究点三 函数单调性的应用 【典例3】某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿的市场售价与上市时间的关系如图1的一条折线所示；西红柿的种植成本与上市时间的关系如图2的抛物线段所示(1)写出图1表示的市场售价与上市时间的函数关系式Pf(t)；写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Qg(t).(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市西红柿纯收益最大？(注：市场售价、种植成本的单位：元/102 kg，时间单位：天)【思维导引】(1)观察图1可知此函数是分段函数，在(0，200)和(200，300)的解析式不同，分别求出各段解析式
5、即可(2)要求何时上市的西红柿纯收益最大，先用市场售价减去种植成本为纯收益，得到t时刻的纯收益h(t)也是分段函数，再分别求出各段函数的最大值并比较出最大值即可【解析】(1)由题图1可得市场售价与上市时间的函数关系式为f(t)300t，0t200，2t300，200t300.由题图2可得种植成本与上市时间的函数关系式为g(t)1200(t150)2100，0t300.(2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)f(t)g(t)，即h(t)1200t212t1752，0t200，1200t272t1 0252，200t300.当0t200时，配方整理得h(t)1200(t50)2100.
6、所以，当t50时，g(t)取得区间0，200上的最大值100；当200t300时，配方整理得h(t)1200(t350)2100，所以，当t300时，h(t)取得区间(200，300)上的最大值87.5.综上，由10087.5可知，h(t)在区间0，300上可以取得最大值100，此时t50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大【类题通法】解实际应用问题的五个步骤(1)审：审清题意，读懂题，找出各量之间的关系(2)设：从实际问题中抽象出数学模型，恰当设出未知数(3)列：根据已知条件列出正确的数量关系(4)解：转化为求函数的最值或解方程或解不等式(5)答：回归实际，明确答案，得出结
7、论【定向训练】当x(1，2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_【解析】方法一：当x(1，2)时，不等式x2mx40可化为：m5，故m5.方法二：设g(x)x2mx4，当m2 32，即m3时，g(x)g(2)82m，当m2 32，即m3时，g(x)g(1)5m，由已知条件可得：m3，82m0，或m3，5m0.解得m5.答案：(，5课堂素养达标1函数y(k2)x1在(，)上是增函数，则k的取值范围是()Ak|k2 Bk|k2Ck|k2【解析】选D.由题意结合一次函数的图象可知k20，即k2.2函数yf(x)在R上为减函数，且f(2m)f(m9)，则实数m的取值范围是()A(，3)B(0，)C(3，)D(，3)(3，)【解析】选A.因为函数yf(x)在R上为减函数，且f(2m)f(m9)，所以2mm9，即m3.3(2021曲靖高一检测)若定义域为R的函数yf(x)的值域为a，b，则函数yf(xa)的值域为_【解析】由于f(x)定义域为R，而xa仍可为任意实数，故f(xa)的值域与f(x)的值域相同答案：a，b4求函数f(x)1x，0 x1x，1x2的最值【解析】函数yf(x)的图象如图由图象可知f(x)的最小值为f(1)1，无最大值