1、双曲线的定义14sinsins n21iABCBCBCABCBCxA在中，若以的中点为原点，所在的直线为 轴建立直角坐标系【例】，则求动点 的轨迹方程2222221222()(2,0)2,022123113ACABBCABCCBaacabcbyxx 依题意由正弦定理得：，即顶点的轨迹是以，为焦点，实轴长等于 的双曲线的一支 除去该支的顶点 建立如图所示直角坐标系，则，由，得 ，又 ，由 得 ，所求轨迹方程为【解析】双曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于双曲线的有关问题，要有运用双曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略求轨迹要做到不重不漏，应把不满足条件的点去掉运用双曲
2、线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支【变式练习1】一动圆与圆(x3)2y21外切，又与圆(x3)2y29内切，求动圆圆心的轨迹方程1212121222222()134.(3,0)3,0243251(2)45MM xyMOAOBMOMAMOMBMOMOMOOabxyx如图，设动圆圆心坐标为，圆与圆外切于，与圆内切于，则，由双曲线定义知，点轨迹是以，为焦点，实轴长为 的双曲线的右支，所以 所求轨迹方【程为：解析】双曲线的性质22221 0,0(0)34xyabcablA aBbOlc设双曲线的半焦距为，直线 过、，两点，且坐标原点到直线 的距
3、离为，求双曲线的【例2】离心率22222222242442222113224133.24833()116162 33161602302 322.3OAaOBbABcOABabcabc ccabca caceeeeeeabacaeee因为，在中，有又 ，所以，即 ，所以，解得 或 因为，所以，所以，所以应舍去，解所以析【】本题是一道求圆锥曲线离心率的大小(或范围)的典型题，求解的关键在于根据条件列出关于该曲线的基本量a，c的齐次方程(或不等式)，再解方程(或不等式)，进而求得离心率的值(或范围)值得注意的是，本题极易忽视题设中的条件“0ab”，从而出现增解22221(10)2,0(0)1,04(
4、1,0)5xyabcablabllsc双曲线，的焦距为，直线 过、，两点，且点到直线的距离与点 到直线 的距离之和，求双曲线的离心【变式练习2】率的取值范.122222122222242011,01(1,0)224245255542525052552lbxayabb aldabb aldabababsddcababscca cacceee 由题意知直线 的方程为，所以点到直线 的距离 同理可得点 到直线 的距离 所以 由，得，即，化简得，解得所以双曲线的离心率的【解析】取值范围是，双曲线的综合问题221212125144.xyFFlPPFPldPFP已知双曲线 的左、右焦点分别为、，左准线为
5、能否在双曲线的左支上求一点，使是 到 的距离 与的等比中项？若能，求出 的坐标；若不能，说【例3】明理由21221211212121212|1|2|.|1|1351213513.2105256544452.PPFPFPFd PFedPFabcePFPFPFPFaPFPFPFPFF FPFPFF FP我们可假设存在满足条件的点，则，即又 ，所以，则而，所以，这与矛盾故不存在满足条析】件的点【解圆锥曲线的定义是其性质属性的深刻反映，运用其定义法求解是最直接、最基本，也是很简洁的方法因题设中出现双曲线上点与焦点的距离，故将|PF1|2d|PF2|化为比式，借助统一定义确定|PF1|，|PF2|的关系
6、，再联系第一定义，得到矛盾不等式两个定义联手，可谓天衣无缝解答探索性命题，一般可先设点P存在，再利用已知条件探求若得出矛盾，则说明P点不存在；否则，便得到P点的位置22222221(00)120()_.xyCababxyaABAOBOC过双曲线：，的一个焦点作圆 的两条切线，切点分别为、，若是坐标原点，则双曲线的离【变式练习3】心率为 120603022.2.AOBAOFcAFOcaea 因为，所以 【】填解析21.若双曲线8kx2ky28的一个焦点为(0,3)，那么k的值为_.1 22181819()91.xykkkkkk 双曲线的标准方程为由【题意，-，得】解析2.(22)(2 0)已知双
7、曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，与，则双曲线的焦点坐标为_(2,0)22222221(00)2(22)22,0 xayababxy由题意知设双曲线的方程为，且 ，又过点，得 ，则双曲线的焦点坐标为【解析】22223.11(1)xyaaae设，则双曲线 的离心率 的取值范围是_(2,5)222222211()1(1).1(1)1012525caaeaaataeea 因为函数 是，上【解的单调减函数，所以，所以，即析】2212124.116209xyFFPPFPF设，是双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线上，若点 到焦点 的距离等于，求点 到焦点 的距离【解析】由|PF1|PF2|8及|
8、PF1|9得|PF2|1或17.又由2a8，c236c6知右支的顶点到F1的距离为10，而已知|PF1|9，说明点P在左支上，此时，|PF2|10，因此，点P到焦点F2的距离为17.222255.120,12305xyeabA已知双曲线 的离心率，点与双曲线上的点的最小距离是，求该双曲线的方程22222222221512.24cabcabcbaaaacbabaa 由双曲线的方程知，则，两边平方，得又，得，所以【解析】222222222222222222()144.4(1)44(1)145()45515424301.22.5514B xyxyxybabABxybyyybyyABbbabxyR设，
9、为双曲线上的任意一点依题意有，整理得 故 因为，所以，当 时，取得最小值，最小值为，解得 所以 故该双曲线的方程为1由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法首先是根据焦点位置设出方程的形式(含有参数)，再由题设条件确定参数值应特别注意：(1)当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；2222222222222222220(0)0011()2(3)410bxayb xa yxyxyabxybkaakbkxymnmn 已知渐近线方程，求双曲线的方程，可设双曲线方程为，再根据其他条件确定 的值若求得 ，则焦点在 轴上；若求得 ，则焦点在 轴上；与双曲线 共焦点的双曲线方程可表示；过两个已知
10、点的双曲线的标准方程表示为 2由已知双曲线方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点的位置，防止将焦点坐标和准线方程写错3熟悉双曲线的渐近线的几何特征(无限接近双曲线但与双曲线不相交)和代数特征(渐近线方程是双曲线标准方程中的“1”换为“0”)；平行于渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点，但不相切(体现在代数上：直线方程代入曲线方程得到的是一次方程)已知渐近线方程为：ykx，则双曲线方程为：k2x2y2，其中是待定的参数(渐近线不能唯一地确定双曲线)双曲线的焦点到渐近线的距离等于半虚轴长b.(5,0)2_1xy若双曲线的焦点为，渐近线方程为，则此双曲线的标准方程为(2
11、010南通期中卷)22 14xy答案：选题感悟：求圆锥曲线的方程是解析几何的常见题型，主要是根据题设条件，列出参数所满足的方程(组)，重点考查待定系数法的应用 22221221211121(00)1 1,9 21132328xyaabbFFPPFF FOHPFHOHOFeeFFPy已知双曲线，的左、右两焦点分别为、，是双曲线右支上一点，于，当 时，求双曲线的渐近线方程；求双曲线的离心率 的取值范围；当 取最大值时，过，的圆截 轴的线段长为，求该圆的方无锡调程(2010研卷)212212222222222222(1111)13.bOHOFabPFPFaaabbbabababayx由相似三角形知，
12、得 所以，即，则当 时，所以 ，则双曲线的渐近【解析线为】方程 22222222221(1)111112211111 1,9 213215,945533425,322cbeaaeeeee 易知其在上单调递增所以，当 时，取得最大值；当 取得最小值所以，所以故双曲线的离心率 的取值范围是 222121121122123332.2 28.2244822 32 224(3 0)(3 4)0,243.(2cecabaaPFF FPFPFybaPFPFaaaaaaacbbPFaFPaxy当 时，所以，所以 因为，所以线段是圆的直径，线段的中点是圆心，所以圆在 轴上截得的弦长就是该圆的直径，所以 又，所以，则 ，所以，则，所以圆心的坐标为，半径为故所求圆的方程为 2)16.选题感悟：本题是一道以考查双曲线的基础知识为主的试题，以双曲线的性质为载体，将双曲线的渐近线、离心率及圆的性质有机地交织在一起，体现了高考命题的综合性
