1、第5讲直线、平面垂直的判定与性质,学生用书P145)1直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面l3.空间角(1)直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，PAO就是斜线AP与平面所成的角线面角的范围：(2)二面角定义
2、：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱两个半平面叫做二面角的面如图的二面角，可记作：二面角l或二面角PABQ二面角的平面角如图，过二面角l的棱l上一点O在两个半平面内分别作BOl，AOl，则AOB就叫做二面角l的平面角二面角的范围设二面角的平面角为，则0，当时，二面角叫做直二面角1辨明三个易误点(1)注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交(2)注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”(3)注意对平面与平面垂直性质的理解2学会三种垂直关系的转化在证明两平面垂直时一
3、般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直1(2015高考浙江卷)设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m.()A若l，则B若，则lmC若l，则 D若，则lm解析：选A.因为 l，l，所以 (面面垂直的判定定理)，故A正确2.如图，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是()AA1D BAA1CA1D1 DA1C1解析：选D.由题易知A1C1平面BB1D1D.又B1O平面BB1D1D，所以A1C1
4、B1O.3(2016邢台摸底考试)已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m的是()A且m B且mCmn且n Dmn且n解析：选C.依题意，对于A，注意到直线m可能位于平面内，因此选项A不正确；对于B，注意到直线m可能位于平面内且与它们的交线平行，因此选项B不正确；对于C，由定理“若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”得知，C正确；对于D，注意到直线m可能位于平面内，因此选项D不正确综上所述，选C.4设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的_条件(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要
5、”或“既不充分也不必要”)解析：若，因为m，b，bm，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b，又a，所以ab；反过来，当am时，因为bm，且a，m共面，一定有ba，但不能保证b，所以不能推出.答案：充分不必要5(必修2 P73习题2.3 A组T6改编)P为ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：PABC；PBAC；PCAB；ABBC，其中正确的个数是_解析：如图所示因为PAPC，PAPB，PCPBP，所以PA平面PBC.又因为BC平面PBC，所以PABC.同理，PBAC，PCAB.但AB不一定垂直于BC.答案：3考点一线面垂直的判定与性质(高频考点)学生用书P146直线与平
6、面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题，难度适中，属中档题高考对直线与平面垂直的判定与性质的考查常有以下三个命题角度：(1)证明线面垂直；(2)证明线线垂直；(3)求体积问题(2014高考辽宁卷)如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点(1)求证：EF平面BCG；(2)求三棱锥DBCG的体积附：锥体的体积公式VSh，其中S为底面面积，h为高扫一扫进入91导学网()直线与平面垂直的性质解(1)证明：由已知得ABCDBC，因此ACDC.又G为AD的中点，所以CGAD.同理BGAD，又BGCGG，因此AD平面B
7、GC.又EFAD，所以EF平面BCG.(2)在平面ABC内，作AOBC，交CB的延长线于O.由平面ABC平面BCD，知AO平面BDC.又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半在AOB中，AOABsin 60，所以VDBCGVGBCDSDBChBDBCsin 120.判定线面垂直的四种方法(1)利用线面垂直的判定定理(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”(4)利用面面垂直的性质定理. 1.(2014高考山东卷)如图，四棱锥PABCD中，AP平面PCD，ADBC，ABBCAD，E，F分别为
8、线段AD，PC的中点 (1)求证：AP平面BEF；(2)求证：BE平面PAC.证明：(1)设ACBEO，连接OF，EC.由于E为AD的中点，ABBCAD，ADBC，所以AEBC，AEABBC.因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点又F为PC的中点，因此在PAC中，可得APOF.又OF平面BEF，AP平面BEF，所以AP平面BEF.(2)由题意知EDBC，EDBC，所以四边形BCDE为平行四边形，因此BECD.又AP平面PCD，所以APCD，因此APBE.因为四边形ABCE为菱形，所以BEAC.又APACA，AP，AC平面PAC，所以BE平面PAC.考点二面面垂直的判定与性质学生用书P14
9、7(2015高考天津卷改编)如图，已知AA1平面ABC，BB1AA1，ABAC，点E和F分别为BC和A1C的中点(1)求证：EF平面A1B1BA；(2)求证：平面AEA1平面BCB1.证明(1)如图，连接A1B.在A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EFBA1.又因为EF平面A1B1BA，所以EF平面A1B1BA.(2)因为ABAC，E为BC的中点，所以AEBC.因为AA1平面ABC，BB1AA1，所以BB1平面ABC，从而BB1AE.又因为BCBB1B，所以AE平面BCB1.又因为AE平面AEA1，所以平面AEA1平面BCB1.(1)判定面面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂
10、直的判定定理(a，a)(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直. 2.(2016云南省师大附中适应性考试)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD60，Q为AD的中点(1)若PAPD，求证：平面PQB平面PAD；(2)点M在线段PC上，PMPC，若平面PAD平面ABCD，PAPDAD，三棱锥MBCQ的体积为，求点Q到平面PAB的距离解：(1)由条件知，PQAD，BQAD，PQBQQ，所以AD平面PQB.因为AD平面PAD，所以平面PQB平面PAD.(2)因为PAPD，Q为AD的中点，所以PQAD.因为平
11、面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PQ平面ABCD.设PAPDAD2a，则PQa，SBCQa2，VMBCQa2a3，所以a1，VQPABVPQAB，设点Q到平面PAB的距离为h，因为PAAB2，PB，所以h1，所以h，即点Q到平面PAB的距离为.考点三垂直关系的综合应用学生用书P148(2016洛阳统考)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，且AB2，BAD60.(1)求证：OM平面PAB；(2)求证：平面PBD平面PAC；(3)当三棱锥MBCD的体积等于时，求PB的长解(1)证明：因为在PBD中，O
12、，M分别是BD，PD的中点，所以OM是PBD的中位线，所以OMPB，又OM平面PAB，PB平面PAB，所以OM平面PAB.(2)证明：因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.因为底面ABCD是菱形，所以BDAC，又AC平面PAC，PA平面PAC，ACPAA，所以BD平面PAC.因为BD平面PBD，所以平面PBD平面PAC.(3)因为底面ABCD是菱形，M是PD的中点，所以VMBCDVMABCDVPABCD，从而VPABCD.又AB2，BAD60，所以S四边形ABCD2.因为四棱锥PABCD的高为PA，所以2PA，得PA，因为PA平面ABCD，AB平面ABCD，所以PAAB.在Rt
13、PAB中，PB.垂直关系综合题的解法(1)三种垂直的综合问题一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化(2)垂直与平行的综合问题求解时应注意平行、垂直的性质定理及判定定理的综合应用(3)垂直与体积结合的问题在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积. 3.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD. 证明：(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD
14、2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以四边形ABED为平行四边形所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以PACD.所以CD平面PAD.所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF.所以CDEF.又因为CDBE，EFBEE，所以CD平面BEF.又因为CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.,学生用书P148)规范解答空间位置关系的证明(本题满分12分)(2015高考陕西卷)如图(1)，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，
15、ABBCADa，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到图(2)中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.(1)证明：CD平面A1OC；(2)当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值(1)(2)(1)证明：在题图(1)中，因为ABBCADa，E是AD的中点，BAD，所以BEAC.(2分)即在题图(2)中，BEA1O，BEOC，(3分)从而BE平面A1OC.(4分)又CDBE，所以CD平面A1OC.(6分)(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)可得A1OBE，所以A1O平面BCDE.即A1O是四棱锥A1BC
16、DE的高(9分)由题图(1)知，A1OAOABa，平行四边形BCDE的面积SBCABa2，(10分)从而四棱锥A1BCDE的体积为VSA1Oa2aa3.由a336，得a6.(12分)(1)在解题过程中，注意答题要求，严格按照直线、平面垂直的判定定理与性质定理条件的要求，有序进行论证说明(2)线面、面面位置关系的证明问题实质是线线、线面、面面位置关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理进行证明1(2014高考浙江卷)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()A若mn，n，则mB若m，则mC若m，n，n，则mD若mn，n，则m解析：选C.A中，由mn，n可得m或m与相交(含垂直)
17、或m，错误；B中，由m，可得m或m与相交或m，错误；C中，由m，n可得mn，又n，所以m，正确；D中，由mn，n，可得m或m与相交或m，错误2“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B.根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以应该是必要不充分条件3(2016浙江省六校联考)下列命题中错误的是()A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，
18、 l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内有且只有一条直线垂直于平面解析：选D.对于A，若平面平面，则在平面内平行于交线的直线一定平行于平面，故A正确；对于B，若平面内存在直线垂直于平面，则平面与平面一定垂直，故B正确；对于C，平面平面，平面平面，l，若l不垂直于平面，则在l上任取一点P，过P作直线m，则m，m，所以m，因此l与m是同一条直线，即l平面；对于D，平面内存在无数条直线垂直于平面，故D错误，选D.4(2016齐齐哈尔模拟)在如图所示的四个正方体中，能得出ABCD的是()解析：选A.A中，因为CD平面AMB，所以CDAB；B中，AB与CD成60角；C中，AB与CD成45角；D中，AB
19、与CD夹角的正切值为.5(2016浙江省六校联考)若m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是()A若m，则mB若m，n，mn，则C若m，m，则Dm，mn，n，则解析：选C.对于选项A，m有可能在内；对于选项B，与有可能相交；对于选项C，显然是正确的；对于选项D，由题中的条件无法推出，所以D错误6(2016九江模拟)如图，在三棱锥DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BCDC平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDED平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDE解析：选C.因为ABCB，且E是
20、AC的中点，所以BEAC，同理，DEAC，由于DEBEE，于是AC平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.故选C.7.如图，在ABC中，ACB90，AB8，ABC60，PC平面ABC，PC4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为_解析：作CHAB于H，连接PH.因为PC平面ABC，所以PHAB，PH为PM的最小值，等于2.答案：28(2016无锡质检)已知，是三个不同的平面，命题“且”是真命题，若把，中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有_个解析：若把，换为直线a，b，则命题转化为“ab且ab”，此命
21、题为真命题；若把，换为直线a，b，则命题转化为“a且abb”，此命题为假命题；若把，换为直线a，b，则命题转化为“a且bab”，此命题为真命题答案：29四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两互相垂直的共有_对解析：因为ADAB，ADPA且PAABA，可得AD平面PAB.同理可得BC平面PAB、AB平面PAD、CD平面PAD，由面面垂直的判定定理可得，平面PAD平面PAB，平面PBC平面PAB，平面PCD平面PAD，平面PAB平面ABCD，平面PAD平面ABCD，共有5对答案：510已知a、b、l表示三条不同的直线，、表示三个不同的平面，有下列四个命
22、题：若a，b，且ab，则；若a、b相交，且都在、外，a，a，b，b，则；若，a，b，ab，则b；若a， b，la，lb，l，则l.其中正确命题的序号是_解析：若平面、两两相交于三条直线，则有交线平行，故不正确因为a、b相交，假设其确定的平面为，根据a，b，可得.同理可得，因此，正确由面面垂直的性质定理知正确当ab时，l垂直于平面内两条不相交直线，不能得出l，错误答案：11.如图，在ABC中，ABC90，D是AC的中点，S是ABC所在平面外一点，且SASBSC.(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.证明：(1)因为SASC，D是AC的中点，所以SDAC.在RtABC
23、中，ADBD，又SASB，SDSD，所以ADSBDS.所以SDBD.又ACBDD，所以SD平面ABC.(2)因为ABBC，D为AC的中点，所以BDAC.由(1)知SDBD，又SDACD，所以BD平面SAC.12(2015高考安徽卷)如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60.(1)求三棱锥PABC的体积；(2)证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值解：(1)由题设AB1，AC2，BAC60，可得SABCABACsin 60.由PA平面ABC，可知PA是三棱锥PABC的高又PA1，所以三棱锥PABC的体积VSABCPA.(2)在平面ABC内，过点B作B
24、NAC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作MNPA交PC于点M，连接BM.由PA平面ABC知PAAC，所以MNAC.由于BNMNN，故AC平面MBN.又BM平面MBN，所以ACBM.在直角BAN中，ANABcosBAC，从而NCACAN.由MNPA，得.1(2016汕头模拟)设，为不同的平面，m，n为不同的直线，则m的一个充分条件是()A，n，mnBm，C，mDn，n，m解析：选D.A不对，m可能在平面内，也可能与平行；B不对，m可能与平行，也可能相交，C不对，满足条件的m在内，也可能和平行；D对，由n，n可知，结合m知m，故选D.2点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动，
25、给出下列四个命题：三棱锥AD1PC的体积不变；A1P平面ACD1；DBBC1；平面PDB1平面ACD1.其中正确的命题序号是_解析：连接BD交AC于点O，连接DC1交D1C于点O1，连接OO1，则OO1BC1.所以BC1平面AD1C，动点P到平面AD1C的距离不变，所以三棱锥PAD1C的体积不变又VPAD1CVAD1PC，所以正确连接A1B，A1C1，因为平面A1C1B平面AD1C，A1P 平面A1C1B，所以A1P平面ACD1，正确由于DB不垂直于BC1，显然不正确；连接B1D，由于DB1D1C，DB1AD1，D1CAD1D1，所以DB1平面AD1C，DB1平面PDB1，所以平面PDB1平面
26、ACD1，正确答案：3(2015高考北京卷)如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点(1)求证：VB平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积解：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OMVB.又因为VB平面MOC，所以VB平面MOC.(2)证明：因为ACBC，O为AB的中点，所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，所以OC平面VAB.所以平面MOC平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，ACBC，所以AB2，OC1.所以等边三角形VAB的面积SVAB
27、.又因为OC平面VAB，所以三棱锥CVAB的体积等于OCSVAB.又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为.4(2016杭州质检)如图，已知三棱柱ABCABC的侧棱垂直于底面，ABAC，BAC90，点M，N分别为AB和BC的中点(1)证明：MN平面AACC；(2)设ABAA，当为何值时，CN平面AMN，试证明你的结论解：(1)证明：取AB的中点E，连接ME，NE.因为E，M，N分别为AB，AB和BC的中点，所以NEAC，MEAA.又因为AC平面AACC，AA平面AACC，所以ME平面AACC，NE平面AACC，所以平面MNE平面AACC，因为MN平面MNE，所以MN平面AACC.(2)连接BN，设AAa，则ABAAa.由题意知BCa，NCBN ，因为三棱柱ABCABC的侧棱垂直于底面，所以平面ABC平面BBCC.因为ABAC，点N是BC的中点，所以AN平面BBCC，所以CNAN，要使CN平面AMN，只需CNBN即可，所以CN2BN2BC2，即222a2，解得，故当时，CN平面AMN.
