1、第2课时 函数概念的综合应用 基础预习初探问题 某市举行高中阶段大型校运会，其中某体校运动员表现突出，比赛进行天数与此体校所得冠军总数如下表所示：(1)表中比赛天数与冠军总数这两个变量之间存在什么关系？(2)设冠军总数是y，比赛天数为x，其中该对应关系可用yf(x)来表示，其中x取哪些值，y取哪些值？天数12345678910 11 12 13 14 15 16冠军总数26913 1722 26 27 35 39 43 45 46 47 49 51(3)f(2)等于多少？f(10)呢？f(a)呢？(4)f(x)与f(a)是否相同？为什么？提示：(1)函数关系因为每一个比赛天数都唯一对应着一个确
2、定的冠军数(2)x的取值为1，2，3，15，16；y的取值为2，6，9，13，17，22，26，27，35，39，43，45，46，47，49，51.(3)f(2)6，f(10)39.若1a16，则f(a)对应y的一个值，否则无法表示(4)不同f(x)表示y是x的函数，其中f为对应关系；而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值f(a).【概念生成】1.函数定义中的“三性”_、_、_，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数2f(x)与f(a)，aA的关系f(x)表示自变量为x的函数，表示的是变量
3、，f(a)表示当xa时的函数值，是一个值域内的值，是常量，如f(x)x1，当x3时，f(3)314.函数值域_任意性存在性唯一性y|yf(x)，xA3区间的概念及表示 设a，b是两个实数，且ab，则有下表：定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a，bx|axb开区间(a，b)x|axb半开半闭区间a，b)x|axb半开半闭区间(a，b实数集R可以用区间表示为(，)，“”读作“无穷大”如：符号定义a，)x|xa(a，)x|xa(，ax|xa(，a)x|xa核心互动探究探究点一 函数定义域 【典例1】(1)求下列函数的定义域：y1|x|x；y4x2；y5x x5 1x29.(2)将长为a的铁丝折成矩
4、形，求矩形面积y关于边长x的解析式，并写出此函数的定义域【思维导引】根据解析式的结构特点，列不等式组求解【解析】(1)分母|x|x0，即|x|x，所以x0.故函数的定义域为(，0).4x20，即x24，所以2x2，故函数的定义域为2，2.解不等式组5x0，x50，x290，得x5，x5，x3.所以x5.故函数的定义域是5(2)设矩形一边长为x，则另一边长为12(a2x).所以yx12(a2x)x212 ax.定义域为0，a2.【类题通法】要使函数有意义，应有：(1)分式的分母不为 0；(2)偶次根下非负；(3)yx0 中要求 x0；(4)实际问题中函数的定义域，要考虑实际意义提醒：函数的定义域
5、一定要用集合或区间的形式表示【定向训练】函数f(x)12x 的定义域是_【解析】由题意得12x 0即x2x0，即x0 x（x2）0，解得x0或x2，所以f(x)的定义域是(，0)2，).答案：(，0)2，)探究点二 求函数值 【典例2】若f(x)1x1x(x1)，求f(0)，f(1)，f(1a)(a2)，f(f(2).【思维导引】将x分别赋值，代入函数解析式化简即可【解析】f(0)1010 1；f(1)1111 0；f(1a)1（1a）1（1a）a2a(a2)；f(f(2)1f（2）1f（2）11212112122.【类题通法】(1)在函数yf(x)中，x为自变量，f为对应关系，f(x)是对应
6、关系f下x对应的函数值，所以求函数值时，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)替换后进行计算即可(2)求f(f(x)时，应遵循由里到外的原则【定向训练】1已知函数f(x)x21x2，则f12()A5 B3 C13D15【解析】选D.由题意，函数f(x)x21x2，可得f121221122 15.2已知函数f(x)11x(xR且x1)，g(x)x22(xR).(1)求f(2)，g(2)的值(2)求f(g(2)的值(3)求f(g(x)和g(f(x)的解析式【解析】(1)将x2分别代入f(x)，g(x)得f(2)112 13，g(2)2226.(2)因为g(2)6，所以f(g(2
7、)f(6)116 17.(3)将f(g(x)中的g(x)看作整体，所以f(g(x)11g（x）11x22 1x23，同理将g(f(x)中的f(x)看作整体，所以g(f(x)f2(x)211x22.【跟踪训练】已知函数 f(x)x21，xR.(1)分别计算 f(1)f(1)，f(2)f(2)，f(3)f(3)的值(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明【解析】(1)f(1)f(1)(121)(1)21220；f(2)f(2)(221)(2)21550；f(3)f(3)(321)(3)2110100.(2)由(1)可发现结论：对任意xR，有f(x)f(x)0.证明如下：因为f(x)(x)21x2
8、1f(x)，所以对任意xR，总有f(x)f(x)0.探究点三 判断是否为同一个函数 【典例3】下列四组函数中，表示同一函数的是()Af(x)|x|，g(x)x2Bf(x)x2和g(x)(x1)2Cf(x)x21x1，g(x)x1Df(x)x1 x1，g(x)x21【思维导引】对于两个函数，只要定义域相同，对应关系相同，则两函数为同一函数【解析】选A.对于A，因为g(x)x2|x|，f(x)|x|，所以两函数为同一函数；对于B，f(x)x2和g(x)(x1)2的对应关系不同，不是同一函数；对于C，函数f(x)的定义域为x|x1，而函数g(x)的定义域为R，两函数定义域不同，所以两函数为不同函数；
9、对于D，函数f(x)的定义域为x|x1，而函数g(x)的定义域为x|x1或x1，两函数定义域不同，所以两函数为不同函数【类题通法】判断同一函数的方法与注意点(1)方法：判断两函数是否相同时，要遵循定义域优先的原则，即要先求定义域，若定义域不同，则不相同；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同(2)两个注意点：函数的表示：与变量用什么字母表示无关；解析式的化简：在化简解析式时，必须是等价变形【定向训练】1下列各组函数表示同一函数的是()Af(x)x2，g(x)x24x2Bf(x)|x|x，g(x)1Cf(x)x22x1，g(t)t22t1Df(x)12，g(x)（x1）02【解析】
10、选C.选项A中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为x|x2，故定义域不同，因此不是同一函数；选项B中f(x)的定义域为x|x0，g(x)的定义域为R，故定义域不同，因此不是同一函数；选项D中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为x|x1，定义域不同，因此不是同一函数；而C只是表示变量的字母不一样，表示同一函数2与函数yx1为同一函数的是()Ayx21x1Byt1Cyx22x1Dy(x1)2【解析】选B.A选项中函数yx21x1 的定义域为x|x1与yx1的定义域不同，故A不正确；C选项中函数yx22x1（x1）2|x1|与yx1的对应关系及值域不同，故C不正确；D中y(x1)2的定义域、
11、值域与yx1均不相同，故D不正确；B中尽管自变量不一样，但定义域和对应关系均相同，故B正确课堂素养达标1函数f(x)1x21(xR)的值域是()A(0，1)B(0，1 C0，1)D0，1【解析】选B.由于xR，所以x211，01x21 1，即0y1.2(多选题)下列四组函数中，表示同一个函数的是()Af(x)|x|，g(x)(x)2Bf(x)2x，g(x)2x2xCf(x)x，g(x)3 x3Df(x)1x2，g(t)(1t)(1t)【解析】选CD.函数f(x)|x|的定义域为R，g(x)(x)2的定义域为0，)，定义域不同，不是同一个函数；函数f(x)2x的定义域为R，g(x)2x2x的定义域为x|x0，定义域不同，不是同一个函数；f(x)x，g(x)3 x3 x，两函数为同一个函数；D.定义域和解析式都相同，是同一个函数3函数f(x)x210 x21 的定义域为_【解析】由题意得x210 x210，所以x210 x210，即(x3)(x7)0，解得3x7.答案：x|3x74若f(x)5xx21，且f(a)2，则a_【解析】由f(a)5aa21 2，得a2，或a12.答案：2或12
