1、第3讲等比数列及其前n项和,学生用书P98)1等比数列的有关概念(1)定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q(q0，nN*)(2)等比中项如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项G2ab“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1(2)前n项和公式：Sn3等比数列的性质已知数列an是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，kN*)(1)若mnpq2r，则am
2、anapaqa；(2)数列am，amk，am2k，am3k，仍是等比数列；(3)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，仍是等比数列(此时an的公比q1)1辨明三个易误点(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0，但q可为正数，也可为负数(2)由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.(3)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误2等比数列的三种判定方法(1)定义：q(q是不为零的常数，nN*)an是等比数列(2)通项公式：ancqn1(c、q均是不为零的常数，nN*)an是等比
3、数列(3)等比中项法：aanan2(anan1an20，nN*)an是等比数列3求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量：a1，q，n，an，Sn，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当q1时，Snna1；当q1时，Sn；在判断等比数列单调性时，也必须对a1与q分类讨论1(2014高考重庆卷)对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()Aa1，a3，a9成等比数列Ba2，
4、a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列Da3，a6，a9成等比数列解析：选D.设等比数列的公比为q，因为q3，即aa3a9，所以a3，a6，a9成等比数列故选D.2(2015高考全国卷)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7()A21B42C63 D84解析：选B.因为a13，a1a3a521，所以33q23q421.所以1q2q47.解得q22或q23(舍去)所以a3a5a7q2(a1a3a5)22142.故选B.3(必修5 P58练习T2改编)设等比数列an的前n项和为Sn.若S23，S415，则S6()A31 B32C63 D64解析：选C.由等比数列的性
5、质，得(S4S2)2S2(S6S4)，即1223(S615)，解得S663.故选C.4(必修5 P54习题2.4A组T8(1)改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_解析：设该数列的公比为q，由题意知，2439q3，得q327，所以q3.所以插入的两个数分别为9327，27381.答案：27，815(2015高考全国卷)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_解析：因为a12，an12an，所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列又因为Sn126，所以126，所以n6.答案：6考点一等比数列的基本运算(高频考点)学生用书
6、P99等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，属中、低档题高考对等比数列的基本运算的考查常有以下三个命题角度：(1)求首项a1、公比q或项数n；(2)求通项或特定项；(3)求前n项和(1)(2015高考湖南卷)设Sn为等比数列an的前n项和若a11，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an_(2)(2015高考安徽卷)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_(3)(2016保定一模)已知等比数列an满足a1a2a38，a4a5a61，则_解析(1)因为3S1，2S2，S3成等差数列，所以4S23S1S3，即4(a
7、1a2)3a1a1a2a3.化简，得3，即等比数列an的公比q3，故an13n13n1.(2)设等比数列的公比为q，则有解得或又an为递增数列，所以所以Sn2n1.(3)因为q3，所以q，把q代入a1a2a38，求得a1，所以.答案(1)3n1(2)2n1(3)等比数列基本运算的解题技巧(1)求等比数列的基本量问题，其核心思想是解方程(组)，一般步骤是：由已知条件列出以首项和公比为未知数的方程(组)；求出首项和公比；求出项数或前n项和等其余量. (2)设元的技巧，可减少运算量，如三个数成等比数列，可设为，a，aq(公比为q)；四个数成等比数列且q0时，设为，aq，aq3.1.(1)(2016郑
8、州第二次质量预测)设等比数列an的前n项和为Sn，若27a3a60，则_(2)(2016中山调研)在单调递减的等比数列an中，若a31，a2a4，则a1()A2 B4C. D2(3)(2016江苏省扬州中学期中测试)设等比数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a11，a34，Sk63，则k_解析：(1)由题可知an为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3a1q2，a6a1q5，所以27a1q2a1q5，所以q3，由Sn，得S6，S3，所以28.(2)设等比数列an的公比为q，则有a2a4a3qq，解得q2或q，由于数列an单调递减，则有q，故a14.(3)设等比数列an的公比为q，由
9、已知a11，a34，得q24.又an的各项均为正数，所以q2.而Sk63，所以2k163，解得k6.答案：(1)28(2)B(3)6考点二等比数列的判定与证明学生用书P100(2015高考广东卷节选)设数列an的前n项和为Sn，nN*.已知a11，a2，a3，且当n2时，4Sn25Sn8Sn1Sn1.(1)求a4的值；(2)证明：为等比数列解(1)当n2时，4S45S28S3S1，即4581，解得a4.(2)证明：由4Sn25Sn8Sn1Sn1(n2)，得4Sn24Sn1SnSn14Sn14Sn(n2)，即4an2an4an1(n2)因为 4a3a14164a2，所以4an2an4an1，所以
10、，所以数列是以a2a11为首项，为公比的等比数列在本例条件下，求数列an的通项公式解：由本例(2)知，an1an，即4.所以数列是以2为首项，4为公差的等差数列，所以24(n1)4n2，即an(2n1)，所以数列an的通项公式为an(2n1).证明数列an是等比数列常用的方法一是定义法，证明q(n2，q为常数)；二是等比中项法，证明aan1an1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法. 2.已知数列an是等差数列，a310，a622，数列bn的前n项和是Tn，且Tnbn1.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列bn是等比数列解：(1)设等差数列an的公差为d，则
11、由已知得解得a12，d4.所以an2(n1)44n2.(2)证明：由Tn1bn，令n1，得T1b11b1.解得b1，当n2时，Tn11bn1，得bnbn1bn，所以bnbn1，所以，又因为b10，所以数列bn是以为首项，为公比的等比数列考点三等比数列的性质学生用书P100(1)(2015高考全国卷)已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2()A2B1C. D.(2)(2016台州高三模拟)在正项等比数列an中，lg a3lg a6lg a96，则a1a11的值是()A10 000 B1 000C100 D10(3)(2016唐山统考)设Sn是等比数列an的前n项和，若3，则()A
12、2 B.C. D1或2解析(1)法一：因为a3a5a，a3a54(a41)，所以a4(a41)，所以a4a440，所以a42.又因为q38，所以q2，所以a2a1q2，故选C.法二：因为a3a54(a41)，所以a1q2a1q44(a1q31)，将a1代入上式并整理，得q616q3640，解得q2，所以a2a1q，故选C.(2)正项等比数列an中，lg a3lg a6lg a96，由对数运算法则及等比数列的性质，有lg(a3a6a9)6，a3a6a9106，a106，所以a6100，a1a11a100210 000，故选A.(3)设S2k，S43k，由数列an为等比数列，得S2，S4S2，S6
13、S4为等比数列，所以S2k，S4S22k，S6S44k，所以S67k，S43k，所以，故选B.答案(1)C(2)A(3)B等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口. 3.(1)设等比数列an中，前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9等于()A. BC. D.(2)设Sn是等比数列an的前n项和，S45S2，则的值为()A2或1 B1或2C1或2 D2或1(3)(2016杭州调研)已知bn是正项等比数列，且log2b1log2b2log2
14、b2 0172 017，则b3b2 015的值是()A2 B4C6 D8解析：(1)选A.因为a7a8a9S9S6，且S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即8，1，S9S6成等比数列，所以8(S9S6)1，即S9S6.(2)选D.由S45S2得a1a2a3a45(a1a2)，即a3a44(a1a2)，q2(a1a2)4(a1a2)，当a1a20时，公比q1；当a1a20时，q2，所以q，故选D.(3)选B.因为bn0，所以log2b1log2b2log2b2 017log2(b1b2b2 017)log2(b1 009)2 0172 017 log2b1 0092 017，则b1 0092.
15、故b3b2 015(b1 009)2224.,学生用书P101)方法思想分类讨论思想在求数列前n项和中的应用(2016常州模拟)如果有穷数列a1，a2，a3，am(m为正整数)满足条件a1am，a2am1，ama1，即aiami1(i1，2，m)，我们称其为“对称数列”例如，数列1，2，3，4，3，2，1与数列a，b，c，c，b，a都是“对称数列”(1)设bn是8项的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b11，b513.依次写出bn的每一项；(2)设cn是2m1项的“对称数列”，其中cm1，cm2，c2m1是首项为a，公比为q的等比数列，求cn的各项和Sn.解(1)设数列b1
16、，b2，b3，b4的公差为d，b4b13d13d.又因为b4b513，解得d4，所以数列bn为1，5，9，13，13，9，5，1.(2)Snc1c2c2m12(cm1cm2c2m1)cm12a(1qq2qm)a2aa(q1)而当q1时，Sn(2m1)a.所以Sn(1)本题是新定义型数列问题，在求等比数列cn的前n项和时用到了分类讨论思想(2)分类讨论思想在数列中应用较多，常见的分类讨论有：已知Sn与an的关系，要分n1，n2两种情况；项数的奇、偶数讨论；等比数列的单调性的判断与a1，q的取值的讨论(2014高考山东卷)在等差数列an中，已知公差d2，a2是a1与a4的等比中项(1)求数列an的
17、通项公式；(2)设bna，记Tnb1b2b3b4(1)nbn，求Tn.解：(1)由题意知(a1d)2a1(a13d)，即(a12)2a1(a16)，解得a12，所以数列an的通项公式为an2n.(2)由题意知bnan(n1)，所以Tn122334(1)nn(n1)因为bn1bn2(n1)，可得当n为偶数时，Tn(b1b2)(b3b4)(bn1bn)48122n，当n为奇数时，TnTn1(bn)n(n1).所以Tn1(2016太原一模)在单调递减的等比数列an中，若a31，a2a4，则a1()A2B4C. D2解析：选B.在等比数列an中，a2a4a1，又a2a4，数列an为递减数列，所以a22
18、，a4，所以q2，所以q，a14.2已知数列an，则“an，an1，an2(nN*)成等比数列”是“aanan2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.显然，nN*，an，an1，an2成等比数列，则aanan2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1，0，0，0，.3已知数列an满足1log3anlog3an1(nN*)且a2a4a69，则log(a5a7a9)的值是()A. BC5 D5解析：选D.由1log3anlog3an1(nN*)，得an13an，即数列an是公比为3的等比数列设等比数列an的公比为q，又a2a4a69，则log(a5a7
19、a9)logq3(a2a4a6)log(339)5.4(2016莱芜模拟)已知数列an，bn满足a1b13，an1an3，nN*，若数列cn满足cnban，则c2 016()A92 015 B272 015C92 016 D272 016解析：选D.由已知条件知an是首项为3，公差为3的等差数列，数列bn是首项为3，公比为3的等比数列，所以an3n，bn3n.又cnban33n，所以c2 016332 016272 016.5(2016浙江省十校联考)设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，且a10.若S22a3，则q的取值范围是()A(1，0)B.(0，1)C(，1)D.(1，)解析：选B
20、.由S22a3得a1a22a3，即a1a1q2a1q2，所以2q2q10，解得q1，又q0，所以q的取值范围是(0，1)，故选B.6(2016福州质检)已知等比数列an的前n项积记为n，若a3a4a88，则9()A512 B256C81 D16解析：选A.由题意可知，a3a4a7qa3a7a4qa3a7a5a8，9a1a2a3a9(a1a9)(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5a，所以983512.故选A.7(2015高考广东卷)若三个正数a，b，c成等比数列，其中a52，c52，则b_解析：因为 a，b，c成等比数列，所以b2ac(52)(52)1.又b0，所以b1.答案：18(2016
21、台州高三质检)已知数列an满足a12且对任意的m，nN*，都有an，则a3_；an的前n项和Sn_解析：因为an，所以anmanam，所以a3a12a1a2a1a1a1238；令m1，则有an1ana12an，所以数列an是首项为a12，公比q2的等比数列，所以Sn2n12.答案：82n129(2016沈阳质量监测)数列an是等比数列，若a22，a5，则a1a2a2a3anan1_解析：设等比数列an的公比为q，由等比数列的性质知a5a2q3，求得q，所以a14.a2a3a1a2，anan1an1an(n2)设bnanan1，可以得出数列bn是以8为首项，以为公比的等比数列，所以a1a2a2a
22、3anan1为数列bn的前n项和，由等比数列前n项和公式得a1a2a2a3anan1(14n)答案：(14n)10设各项都是正数的等比数列an，Sn为前n项和，且S1010，S3070，那么S40_解析：依题意，数列S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比数列，因此有(S20S10)2S10(S30S20)，即(S2010)210(70S20)，故S2020或S2030；又S200，因此S2030，S20S1020，S30S2040，故S40S3080，S40150.答案：15011已知等差数列an满足a22，a58.(1)求an的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列bn中，b
23、11，b2b3a4，求bn的前n项和Tn.解：(1)设等差数列an的公差为d，则由已知得所以a10，d2.所以ana1(n1)d2n2.(2)设等比数列bn的公比为q，则由已知得qq2a4.因为a46，所以q2或q3.因为等比数列bn的各项均为正数，所以q2.所以bn的前n项和Tn2n1.12(2016瑞安四校联考)已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an(1)n(nN*)(1)求数列an的前三项a1，a2，a3；(2)求证：数列为等比数列，并求出an的通项公式解：(1)在Sn2an(1)n(nN*)中分别令n1，2，3得：解得(2)由Sn2an(1)n(nN*)得：Sn12an1(1)n1(
24、n2)，两式相减得：an2an12(1)n(n2)，an2an1(1)n(1)n2an1(1)n1(1)n(n2)，所以an(1)n2(n2)故数列是以a1为首项，公比为2的等比数列所以an(1)n2n1，an2n1(1)n(1)n.1(2016台州高三模拟)已知数列an中，an4n5，等比数列bn的公比q满足qanan1(n2)且b1a2，则|b1|b2|bn|()A14n B4n1C. D.解析：选B.因为qanan14，b1a23，所以bnb1qn13(4)n1，所以|bn|3(4)n1|，即|bn|是公比为4的等比数列，所以|b1|b2|bn|4n1，故选B.2(2016太原模拟)已知
25、数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2ann(nN*)，则an_解析：因为Sn2ann，所以Sn12an1n1，可得an12an1，即an112(an1)，又因为a11，所以数列an1是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an1(2)2n12n，所以an12n.答案：12n3(2016南昌模拟)已知公比不为1的等比数列an的首项a1，前n项和为Sn，且a4S4，a5S5，a6S6成等差数列(1)求等比数列an的通项公式；(2)对nN*，在an与an1之间插入3n个数，使这3n2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为bn，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)因为a4S4，a5S5，a6S6成
26、等差数列，所以a5S5a4S4a6S6a5S5，即2a63a5a40，所以2q23q10，因为q1，所以q，所以等比数列an的通项公式为an.(2)bn3n，Tn.4已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的各项均为正数，公比是q，且满足：a13，b11，b2S212，S2b2q.(1)求an与bn；(2)设cn3bn2，若数列cn是递增数列，求的取值范围解：(1)由已知可得所以q2q120，解得q3或q4(舍去)，从而a26，所以an3n，bn3n1.(2)由(1)知，cn3bn23n2n.由题意，cn1cn对任意的nN*恒成立，即3n12n13n2n恒成立，亦即2n23n恒成立，即2恒成立由于函数y是增函数，所以23，故3，即的取值范围为(，3)