1、6.3等比数列典例精析题型一等比数列的基本运算与判定【例1】数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(n1,2,3，).求证：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.【解析】(1)因为an1Sn1Sn，an1Sn，所以(n2)Snn(Sn1Sn).整理得nSn12(n1)Sn，所以2，故是以2为公比的等比数列.(2)由(1)知4(n2)，于是Sn14(n1)4an(n2).又a23S13，故S2a1a24.因此对于任意正整数n1，都有Sn14an.【点拨】运用等比数列的基本公式，将已知条件转化为关于等比数列的特征量a1、q的方程是求解等比数列问题的常用方法之一，同时应注意在使用等比
2、数列前n项和公式时，应充分讨论公比q是否等于1；应用定义判断数列是否是等比数列是最直接，最有依据的方法，也是通法，若判断一个数列是等比数列可用q(常数)恒成立，也可用aanan2 恒成立，若判定一个数列不是等比数列则只需举出反例即可，也可以用反证法.【变式训练1】等比数列an中，a1317，q.记f(n)a1a2an，则当f(n)最大时，n的值为()A.7B.8C.9D.10【解析】an317()n1，易知a93171，a100,0a111.又a1a2a90，故f(9)a1a2a9的值最大，此时n9.故选C.题型二性质运用【例2】在等比数列an中， a1a633，a3a432，anan1(nN
3、*).(1)求an；(2)若Tnlg a1lg a2lg an，求Tn. 【解析】(1)由等比数列的性质可知a1a6a3a432，又a1a633，a1a6，解得a132，a61，所以，即q5，所以q，所以an32()n126n .(2)由等比数列的性质可知，lg an是等差数列，因为lg anlg 26n(6n)lg 2，lg a15lg 2，所以Tnlg 2.【点拨】历年高考对性质考查较多，主要是利用“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新，要熟练掌握.【变式训练2】在等差数列an中，若a150，则有等式a1a2ana1a2a29n(n29，nN*)成立，类比上述性质，相应地在等比数列bn中
4、，若b191，能得到什么等式？ 【解析】由题设可知，如果am0，在等差数列中有a1a2ana1a2a2m1n(n2m1，nN*)成立，我们知道，如果mnpq，则amanapaq，而对于等比数列bn，则有若mnpq，则amanapaq，所以可以得出结论：若bm1，则有b1b2bnb1b2b2m1n(n2m1， nN*)成立.在本题中则有b1b2bnb1b2b37n(n37，nN*).题型三综合运用【例3】设数列an的前n项和为Sn，其中an0，a1为常数，且a1，Sn，an1成等差数列.(1)求an的通项公式；(2)设bn1Sn，问是否存在a1，使数列bn为等比数列？若存在，则求出a1的值；若不
5、存在，说明理由.【解析】(1)由题意可得2Snan1a1.所以当n2时，有两式相减得an13an(n2).又a22S1a13a1，an0，所以an是以首项为a1，公比为q3的等比数列.所以ana13n1.(2)因为Sna1a13n，所以bn1Sn1a1a13n.要使bn为等比数列，当且仅当1a10，即a12，此时bn3n.所以bn是首项为3，公比为q3的等比数列.所以bn能为等比数列，此时a12.【变式训练3】已知命题：若an为等差数列，且ama，anb(mn，m、nN*)，则amn.现在已知数列bn(bn0，nN*)为等比数列，且bma，bnb(mn，m，nN*)，类比上述结论得bmn.【解析】.总结提高1.方程思想，即等比数列an中五个量a1，n，q，an，Sn，一般可“知三求二”，通过求和与通项两公式列方程组求解.2.对于已知数列an递推公式an与Sn的混合关系式，利用公式anSnSn1(n2)，再引入辅助数列，转化为等比数列问题求解.3.分类讨论思想：当a10，q1或a10,0q1时，等比数列an为递增数列；当a10,0q1或a10，q1时，an为递减数列；q0时，an为摆动数列；q1时，an为常数列.