1、2019-2020学年高三年级第二学期数学（理）第6次周测时间：2020年5月4日 16:2517:05 命题人 班级 _ 姓名 _ 得分_1. 已知函数，为的导数求曲线在点处的切线方程；证明：在区间上存在唯一零点；设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围2设函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.3已知函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若时，函数恰有一个零点，求实数的值.（3）已知数列满足，其前项和为，求证：（其中）.4已知函数（为常数）.（1）若，讨论函数的单调性；（2）若为正整数，函数恰好有两个零点，求的值.2019-2020学年高三年级
2、第二学期数学（理）第6次周测(解析)时间：2020年5月4日 16:2517:05 命题人 李庆永班级 _ 姓名 _ 得分_2. 已知函数，为的导数求曲线在点处的切线方程；证明：在区间上存在唯一零点；设，若对任意，均存在，使得，求实数a的取值范围【答案】解：，所以，从而曲线在点处的切线方程为设，则，当时，；当时，所以在单调递增，在单调递减又，故在存在唯一零点所以在存在唯一零点由已知，转化为，且由知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，所以在单调递增，在单调递减又，所以当时，所以，即，因此，a的取值范围是2设函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.【解
3、析】（1）因为，所以函数的定义域为，当时，令，得或（舍去）.当时，当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）令，令，其中，则，令，得，当时，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为， 又，且，由于函数在上有两个零点，故实数的取值范围是.3已知函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若时，函数恰有一个零点，求实数的值.（3）已知数列满足，其前项和为，求证：（其中）.【解析】（1）当时，从而在上单调递增；当时，从而在上单调递增，在上单调递减（2）由（1）知，当时在上单调递增，在上单调递减，要使恰有1个零点，只需函数的最小值为0，即，解得（3）由（1）知，当时，即令，得则，即两边取以为底的对数得
4、：4已知函数（为常数）.（1）若，讨论函数的单调性；（2）若为正整数，函数恰好有两个零点，求的值.【详解】（1）由题意，函数，其中，则因为，则，当时，则，当或时，当时，所以在和单调递增，在单调递减；当时，即，对时，恒成立，在单调递增；当时，则，当或时，当时，所以在和单调递增，在单调递减.综上：当时，在和单调递增，在单调递减； 当时，在单调递增； 当时，在和单调递增，在单调递减.（2）因为为正整数，当，则，此时函数，由（1）知在和单调递增，在单调递减又，所以在区间内仅有1实根.由，且所以在区间内仅有1实根，此时函数在区间内恰有2实根；当时，函数在单调递增，至多有1实根.当时，可得令，则，则，可得，所以由（1）知在单调递减，在和单调递增，所以，所以在至多有1实根.综上所述，可得.
