1、14.2 充 要 条 件 基础预习初探问题1.已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数请判断：p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？提示：pq，故p是q的充分条件，又qp，故p是q的必要条件.问题2.通过判断，你发现了什么？这种关系是否对任意一个“若p，则q”的命题只要具备上述命题的条件都成立？你能用数学语言概括出来吗？提示：可以发现p既是q的充分条件，又是q的必要条件，且这种关系对“若p，则q”的命题只要具备pq，qp都成立，即pq.【概念生成】充要条件 如果“若p则q”和它的逆命题“若q则p”均是真命题，即既有pq，又有qp，就记作pq.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条
2、件，就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件 核心互动探究探究点一 充分条件、必要条件、充要条件的判断【典例1】(多选题)设全集为U，在下列选项中，是BA的充要条件的有()AABA BABAC UA UB DA UBU【思维导引】分两个步骤进行判断：判断充分性，判断必要性【解析】选ACD.如图Venn图所示，选项A中，若ABA，则BA；反过来，若BA，则ABA.故互为充要条件选项C中，若 UA UB，则BA；反过来，若BA，则 UA UB.故互为充要条件选项D中，若A UBU，则 UA UB，故BA；反过来，若BA，则 UA UB，故A UBU.故互为充要条件选项B中，如下Venn图，若ABA
3、，则AB，推不出BA.故错误【类题通法】判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假(2)集合法：即利用集合的包含关系判断(3)等价法：即利用pq与qp的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1p2pn，可得p1pn；充要条件也有传递性【定向训练】有下列命题：“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题；“相似三角形的周长相等”的否命题；若“b1，则方程x22bxb2b0有实根”的逆否命题其中真命题的序号是_(把所有真命题的序号都填上)【解析】，逆命题“若x，y互为倒
4、数，则xy1”是真命题；，否命题“不相似的三角形的周长不相等”是假命题；，4b24(b2b)0，即b0，所以b1时，方程有实根，即原命题为真命题，逆否命题也为真命题故正确答案：探究点二 充分条件、必要条件、充要条件的应用【典例2】2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为“COVID19”新冠肺炎，患者症状是发热、干咳、浑身乏力等外部表征“新冠肺炎患者”是“患者表现为发热、干咳、浑身乏力”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【思维导引】根据充分必要条件的定义判断【解析】选A.新冠肺炎患者症状是发热、干咳、浑身乏力等外部表征，充分性成立，但
5、有发热、干咳、浑身乏力等外部表征的不一定是新冠肺炎患者，不必要，即为充分不必要条件【类题通法】集合法求参数的取值范围利用充分、必要条件求参数的取值范围问题，常利用集合法求解，即先化简集合Ax|p(x)和Bx|q(x)，然后根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)，得出集合A与B的包含关系，进而得到相关不等式组(也可借助数轴)，求出参数的取值范围【定向训练】设nN*，一元二次方程x24xn0有整数根的充要条件是n_【解析】因为方程有实数根，所以164n0，所以n4.原方程的根x4164n224n 为整数，则4n 为整数又因为nN*，所以n3或4.反过来，当n3时，方程x24x30的两根分别为1，
6、3，是整数；当n4时，方程x24x40的两根相等且为2，是整数答案：3或4【课堂小结】课堂素养达标1设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【解析】选A.当四边形ABCD为菱形时，其对角线互相垂直，必有ACBD；但当ACBD时，四边形不一定是菱形(如图)，因此“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的充分不必要条件2对于实数x，“x1”是“|x|1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】选B.当x1时，例如x21，故充分性不成立；反之，若|x|1，则1x1”是“1x 1时，1x 1成立，而当1x 1或x1”是“1x 1”的充分不必要条件4若Ax|axa2，Bx|x1或x3，且A是B的充分不必要条件，则实数a的取值范围为_【解析】因为A是B的充分不必要条件，所以AB，又Ax|axa2，Bx|x1或x3因此a21或a3，所以实数a的取值范围是a3或a3.答案：a3或a3