1、直线与圆相切【例1】已知圆C：(x1)2(y2)22，P点的坐标为(2，1)，过点P作圆C的切线，切点为A、B.求：(1)直线PA、PB的方程；(2)过P点的圆的切线长；(3)直线AB的方程 221(2)210.1,22|3|2,167071.7150.110Pyk xkxykkkkkkkxyxy 如图，设过 点的圆的切线方程为 ，即 因为圆心到切线的距离为，即所以 ，解得 或 所以所求的切线方程为 或【】解析 2222222.Rt82 2.715012 9,(,)5 5(1)(2)210,0,1(1)(2)233.230PCCAPCAPAPCCAPCxyAxyxyBxyABxy 连结，在中，
2、所以过 点的圆 的切线长为由解得又由解得所以直线的方程为 (1)过圆上一点作圆的切线只有一条；(2)过圆外一点作圆的切线必有两条在求圆的切线方程时，会遇到切线的斜率不存在的情况如过圆x2y24外一点(2,3)作圆的切线，切线方程为5x12y260或x20，此时要注意斜率不存在的切线不能漏掉；(3)本题中求直线AB的方程是通过求切点，根据两切点A、B的坐标写出来的事实上，过圆(xa)2(yb)2r2外一点P(x0，y0)作圆的切线，经过两切点的直线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.其证明思路为：设切点A(x1，y1)、B(x2，y2)，P点坐标满足切线PA、PB的方程，从而得出过A
3、、B两点的直线方程 22(2)114 223MxyQxQAQBMABQAMBABMQ已知圆：，是 轴上的动点，、分别切圆于，两点求四边【变式练形的面积的最小值；若，求习1】直线的方程 222222221132 211331Rt13.3,0295(5 0)252 5 0252 510.2MAQBMAAQSMA QAQAMQMAMQMQABMQPMPABMBBQMPMBQMBMP MQMQMQQ xxxQMQxyxy 四边形因为，所以设与交于点，则，在中，即，所以设，则 ，所以，所以直线的方程为 或】析【解【例2】已知圆C：x2(y1)25，直线l：mxy1m0.(1)求证：对任意mR，直线l与圆
4、C总有两个不同的交点A、B；(2)求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线直线与圆相交 22(1)(1)0101,1,11011(11)151,1.0,15(1)010,12lxmyxxlPyyPmlCABCCrABMM xymlyABM R证明：直线 的方程化为 令得，即直线 恒过定点而 ，所以点在圆内所以对任意，直线 与圆 总有两个不同的交点、圆 的圆心，半径 设弦的中点的坐标为，当 时，直线：，则弦的中点的坐标【为解析】；2222011101111111()(1)(0)240,111()(1)24mMlxmxymmyyxMCABxmyxyxABMxy 当时，因为点在直线 上，所
5、以 ，所以由平面几何知识得，所以化简得 而点也适合上式，所以弦的中点的轨迹方程为 本题考查直线与圆的位置关系和求轨迹问题第(1)问还可以将直线方程代入圆的方程后用判别式的方法来解，不过现在的方法要简单得多，并且此法还告诉我们这样两件事：一是由m的任意性，可以求出直线mxy1m0恒过定点；二是由圆内的点作出的直线肯定与该圆有两个交点第(2)问也可以用韦达定理来求，但现在用“圆心与弦的中点的连线垂直且平分弦”这一结论解题要巧妙得多【变式练习2】已知圆(x1)2(y2)225，直线l：(2m1)x(m1)y7m40(xR)(1)证明：不论m为何值，直线l必与圆C相交；(2)求直线l被圆C截得的弦长取
6、最小值时直线l的方程 22(27)(4)0.2703,4013,1(31)(12)15253,1lxymxyxyxxyylMMmlC证明：直线 的方程可化为 令得即直线 恒过定点而，所以点在圆内所以不论 为何值，直线 与【解】圆析必相交 1,23,1211,1322.12(3)250.2CMllCMCllyxxy 当圆心与点的连线与直线 垂直时，直线 被圆 截得的弦长最短因为直线的斜率为所以直线 的斜率等于由点斜式得直线 的方程为 ，即 圆与圆的位置关系225(1,2)2 52xyP求与圆 外切于点，且半径为的【例】圆的方程2222222()(1)(2)(2 5)3,261(3)(6)20.(
7、)311,(1,2)()633(3)(6)2012.C abababbaxyC abaOPOCabbxy 设所求圆的圆方法：方法【解析】心为，则解得故所求圆的方程为 设所求圆的圆心为，因为所以，所以故所求圆的方程为：本题的关键是采用待定系数法求圆心的坐标，步骤是：根据两圆相外切的位置关系，寻找圆心满足的条件，列出方程组求解方法2利用向量沟通两个圆心的位置关系，既有共线关系又有长度关系，显得更简洁明快，值得借鉴(31)33MxyxABNMxyxCDMN如图，已知圆心坐标为，的圆与 轴及直线分别相切于、两点，另一圆 与圆外切、且与 轴及直线 分别相切于、两点【变式求圆和圆练习3】的方程【解析】连结
8、OM.由于M与BOA的两边均相切，故点M到直线OA及直线OB的距离均为M的半径，则点M在BOA的角平分线上同理，点N也在BOA的角平分线上，即O，M，N三点共线，且直线OMN为BOA的角平分线2222(31)11(3)(1)1.RtRt2133 33(3 3)(3)9.MMxMMxyNrxCMANCOAMOCNOM ONMA NCrOCrrNxy因为点的坐标为，所以点到 轴的距离为，即的半径为，则的方程为 设的半径为，它与 轴的切点为，连结、由可知，即，得 ，则故的方程为 1.已知直线5x12ya0与圆x22xy20相切，则a的值为_.18或8 22(1)11,01|5|1|5|1313188
9、.xyaaa圆的方程可化为 ，所以圆心坐标为，半径为，由已知可得，所以 的值为【解或析】2.圆x2y22x2y10上的动点Q到直线 3x 4y 8 0 的 距 离 的 最 小 值 是_.2 2222101,1|348|35312.xyxyCdQ知圆 的圆心因为圆心到直线的距离 ，所以点 到直线的距【离的最小值为】解析223.()(2)4030.2 3C xayalxylCa已知圆：及直线：当直线 被圆 截得的弦长为时，等于 _2 122|23|1|23222 1.02 1.aaaaa 由题意知解得 因为，所以【】解析4.已知圆C：x2y22x2y10，直线l：ykx与圆C交于P、Q两点，点M(
10、0，b)满足MPMQ.(1)当b1时，求k的值；(2)若k2，求b的值 22(1)(1)11,111,00,1111.xyCrxybMyMPMQPQlk圆的方程化为 ，圆心，半径 ，它与 轴、轴都相切，且切点分别为、当 时，点刚好是圆在 轴上的切点要满足，必为直径，直线 必过圆心，所以【解析】222561011.51 21,2(,)5 522511156115125052yxxxxxPQbbMPMQbbb 将 代入圆的方程得 ，解得 或 所以、两点的坐标分别为、由，得即 ，解得 225.261040012OxyxyPQxmyOP OQmPQ设 为坐标原点，曲线 上有两点、，满足关于直线 对称，
11、又满足求 的值；求直线的方程 112222(1)2(3)29(1,3)340(1,3)1.4()().22(4)61210.xyPQxmymPQyxP xyQ xyPQyxbyxbxb xbb曲线方程为 表示圆心为，半径为 的圆因为点、在圆上且关于直线 对称，所以圆心 在直线上，代入得 因为直线与直线 【解析垂直，所以设，、，方程为 将直线 代】入圆方程，得 222121222121212121224(4)42(61)023 223 261(4)261()4.2006140.1(23 2 23 2)1.bbbbbbxxbxxbbyybb xxxxbOP OQx xy ybbbbyx，得 由韦达
12、定理得 ，因为，所以，即 解得，所以所求的直线方程为 本节内容很好地体现了运算、推理、数形结合、分类讨论等数学思想和方法，因而在近几年的高考试题中出现的频率相当高，主要反映在三个方面：一是利用直线与圆相交时半径、弦心距、弦长的一半的勾股关系，以及直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径等关系，可以求得一些相关的量，进而求得圆的方程或直线的方程；二是通过对给出的直线和圆的方程进行分析和计算，可以判断直线与圆、圆与圆的位置关系；三是运用直线与圆的基础知识和基本方法考查诸如求参数的取值范围、求最值等一些实际问题复习备考时要注意理顺关系，全面掌握，小心求证，细心求解 2221.00400120drdrd
13、rdraxbxcaybycbac 几何法：代数法：直线与圆的三种位置关系的判断方法有两种:将圆心到直线的距离 与圆的半径 进比较：相交；相切；相离 将直线方程代入圆的方程后得到一元二次方程 或 ，然后用判别式 判断：相交；相切；相离2两圆的位置关系由两圆心之间的距离d与两圆半径r1、r2的关系来判断：位置关系数学式子位置关系数学式子两圆外离dr1r2两圆内切d|r1r2|两圆外切dr1r2两圆内含d|r1r2|两圆相交|r1r2|dr1r2 3.用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数
14、运算，解决代数问题；第三步：把代数结果“翻译”成几何结论4数形结合是解决本节内容非常有效的方法涉及到圆上的点(x，y)的最值用数形结合；直线与圆的一部分的交点情况的判断也是用数形结合；相交弦问题还是用数形结合 222 50 6)21(223drrdllrd直线与圆相切的问题是考得比较多的内容，因而要重视 过圆上的点作圆的切线只有一条；过圆外一点作圆的切线肯定有两条，如果只求到一条，要考虑是否把斜率不存在的情况漏掉了 判断或利用直线与圆相切时，用 比用 更简便一些直线与圆相交时，半径、弦心距、弦长的一半 的勾股关系 非常重要1(2011苏州调研卷)若过点A(2,0)的圆C与直线3x4y70相切于
15、点B(1,1)，则圆C的半径长等于_答案：5选题感悟：直线与圆相切是直线和圆位置关系的重点，是高考的热点，求解直线与圆相切问题的方法丰富多彩，其中恰当地运用平面几何的知识，往往能起到事半功倍的效果2225 02_2_xyxyABOOA OB 直线 与圆 相交于，两点，为原点，则镇(2010江一模卷)答案：0选题感悟：本题中涉及直线方程、圆、向量的数量积三个C级要求的考点，象本题将多个知识点有机组合而成的小综合问题，是高考命题的一种趋势，应多多予以关注3(2011苏北四市卷)在矩形ABCD中，已知AD6，AB2，E、F为AD的两个三等分点，AC和BF交于点G，BEG的外接圆为H.以DA所在直线为
16、x轴，以DA中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.(1)求H的方程；(2)设点P(0，b)，过点P作直线与H交于M，N两点，若点M恰好是线段PN的中点，求实数b的取值范围 223,03,2(3,2)330210.33303 45(,)21045 55122112,12,(2)(1)EGBFEGBFABCACBFxyxyxxyGxyykkkkEGBFHBEHBHHxy 由题意可知，所以直线和直线的方程分别为 ，由，解得,所以 点的坐标为所以，因为，所以，所以的圆心为的中点，半径为所以的方程为【解析】2.222222222222.33,98188(1)48142)1(1HHKMNKHPMHKdPKMKMHdPHPHdMHddPHPQQHbdb过作，垂足为设到直线的距离，则又因为,化简得 方法：22220816014(1)16(1)14114114,2233 2,(1)141114,114114114,114142dbbbbPHPMMHPMMKMHPHMHbbb因为，所以，所以，即 故实数 的取值范围是因为，所以所以，则 故实数 的取方法：值范围是 选题感悟：近几年高考试题，在解答题中对圆的有关知识的考查，仍然是势头不减，特别注重运用圆的平面几何性质简化解题运算量的考查本题的第(2)问体现了“多考一点思，少考一点算”的高考解析几何命题的理念