1、高考资源网（） 您身边的高考专家12.2排列与组合典例精析题型一排列数与组合数的计算【例1】 计算：(1)；(2) CCC.【解析】(1)原式.(2)原式CCCCCCCCCCC330.【点拨】在使用排列数公式A进行计算时，要注意公式成立的条件：m，nN+，mn.另外，应注意组合数的性质的灵活运用.【变式训练1】解不等式6.【解析】原不等式即6，也就是，化简得x221x1040， 解得x8或x13，又因为2x9，且xN*，所以原不等式的解集为2,3,4,5,6,7.题型二有限制条件的排列问题【例2】 3男3女共6个同学排成一行.(1)女生都排在一起，有多少种排法？(2)女生与男生相间，有多少种排
2、法？(3)任何两个男生都不相邻，有多少种排法？(4)3名男生不排在一起，有多少种排法？(5)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法？【解析】(1)将3名女生看作一人，就是4个元素的全排列，有A种排法.又3名女生内部可有A种排法，所以共有AA144种排法.(2)男生自己排，女生也自己排，然后相间插入(此时有2种插法)，所以女生与男生相间共有2AA72种排法.(3)女生先排，女生之间及首尾共有4个空隙，任取其中3个安插男生即可，因而任何两个男生都不相邻的排法共有AA144种.(4)直接分类较复杂，可用间接法.即从6个人的排列总数中，减去3名男生排在一起的排
3、法种数，得3名男生不排在一起的排法种数为AAA576种.(5)先将2个女生排在男生甲、乙之间，有A种排法.又甲、乙之间还有A种排法.这样就有AA种排法.然后把他们4人看成一个元素(相当于一个男生)，这一元素及另1名男生排在首尾，有A种排法.最后将余下的女生排在其间，有1种排法.故总排法为AAA24种.【点拨】排列问题的本质就是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制主要表现在：某些元素“排”或“不排”在哪个位子上，某些元素“相邻”或“不相邻”.对于这类问题，在分析时，主要按照“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子，对于“相邻”问题可用“捆绑法”，对于“不相邻”问题可用“插
4、空法”.对于直接考虑较困难的问题，可以采用间接法.【变式训练2】把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列构成一个数列.(1)43 251是这个数列的第几项？(2)这个数列的第97项是多少？【解析】(1)不大于43 251的五位数A(AAA)88个，即为此数列的第88项.(2)此数列共有120项，而以5开头的五位数恰好有A24个，所以以5开头的五位数中最小的一个就是该数列的第97项，即51 234.题型三有限制条件的组合问题【例3】 要从12人中选出5人去参加一项活动.(1)A，B，C三人必须入选有多少种不同选法？(2)A，B，C三人都不能入选有多少种不
5、同选法？(3)A，B，C三人只有一人入选有多少种不同选法？(4)A，B，C三人至少一人入选有多少种不同选法？(5)A，B，C三人至多二人入选有多少种不同选法？【解析】(1)只须从A，B，C之外的9人中选择2人，C36种不同选法.(2)由A，B，C三人都不能入选只须从余下9人中选择5人，即有CC126种选法.(3)可分两步，先从A，B，C三人中选出1人，有C种选法，再从余下的9人中选4人，有C种选法，所以共有CC378种选法.(4)可考虑间接法，从12人中选5人共有C种，再减去A，B，C三人都不入选的情况C，共有CC666种选法.(5)可考虑间接法，从12人中选5人共有C种，再减去A，B，C三人
6、都入选的情况C种，所以共有CC756种选法.【点拨】遇到至多、至少的有关计数问题，可以用间接法求解.对于有限制条件的问题，一般要根据特殊元素分类.【变式训练3】四面体的顶点和各棱中点共有10个点.(1)在其中取4个共面的点，共有多少种不同的取法？(2)在其中取4个不共面的点，共有多少种不同的取法？【解析】(1)四个点共面的取法可分三类.第一类：在同一个面上取，共有4C种；第二类：在一条棱上取三点，再在它所对的棱上取中点，共有6种；第三类：在六条棱的六个中点中取，取两对对棱的4个中点，共有C3种.故有69种.(2)用间接法.共C69141种.总结提高解有条件限制的排列与组合问题的思路：(1)正确选择原理，确定分类或分步计数；(2)特殊元素、特殊位置优先考虑；(3)再考虑其余元素或其余位置.- 2 - 版权所有高考资源网