1、圆的标准方程【例1】求经过点A(0,5)，且与直线x2y0和2xy0都相切的圆的方程2222222222()()15(5),3152255 555(1)(3)5(5)(15)125.xaybraaabrrbbababrrxyxy由于已知条件与圆心、半径有关，故设圆的标准方程，从而求出圆的方程设所求圆的方程为 ，则解得或所以圆的方程为 或【解析】在用待定系数法求圆的方程时，要善于根据已知条件来选择圆的方程如果已知圆心、半径或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常采用圆的一般式方程3017yxyyx一个圆与 轴相切，圆心在直线 上，且在直线 上截得的【变式练弦长为2，求
2、习】此圆的方程22222222222().303.(3)()32 7|2|79721133.(3)(1)9(3)(1O abrxyabyraxbybbyxyxbdrbbbaaxyxy 设圆的圆心坐标为，半径为因为圆心在直线 上，所以 又圆与 轴相切，所以 所以所求圆的方程可设为 因为圆在直线 上截得的弦长为所以圆心到直线 的距离解得 或 ，则 或 所以所求圆的方程为 或【析】解2)9.圆的一般方程【例1】已知过A(0,1)和B(4，a)且与x轴相切的圆只有一个，求a的值及圆的方程2222220.104160(0)0401(1)41604xyDxEyFABEFDaEFaxyDFEFa DDaa设
3、所求圆的方程为 因为点、在此圆上，所以 ，又知该圆与 轴 直线 相切，所以由 ，由、消去【、可得解析】：，2222145410081716.01.081716014540.aDEFaaDEFaaxyxyaxyxy由题意方程有唯一解，当 时，；当时，由 可解得 ，这时 ，综上可知，所求 的值为 或当 时，圆的方程为 ；当 时，圆的方程为 与坐标轴相切时圆的方程求解及其参数的求解问题，方程形式选用要灵活如果已知圆心、半径或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常采用圆的一般式方程【变式练习2】已知方程x2y22(m3)x2(14m2)y16m490表示的图形是一个圆(1)
4、当圆的面积最大时，求圆的方程；(2)若点P(3,4m2)恒在所给的圆内，求实数m的取值范围 2224222222222222(3)2(14)1690(3)(14)761.3167617()7713161777241316()()7497312xymxmymxmymmmrmmmmmrxy将方程 化为 要使圆的面积最大，需半径最大而 ，它是一个一元二次函数，其图象的开口向下因为，所以当 时，取得最大值此时【圆的方程为 当且】仅当解析22224246(3)2(14)?41690386004mmmmmmmmP 即，即时，点 在圆内与圆有关的轨迹问题12121214()23OOO OPOOPMPN MN
5、PMPNP如图，与的半径都是，过动点 分别作、的切线、分别为切点，使得，试建立适当的坐标系，求动点 的轨【例】迹方程1212122222122222222222(2,0)2,022112(1)()(2)12(2)1(6)33(6)33(1230)O OOO OxOOPMPNPMPNPOPOP xyxyxyxyxyxyx以的中点 为原点，所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系，则，由已知，得，因为两圆的半径均为，所以 设，则 ，即 ，所以所求轨迹方程为 或 解析【】求轨迹方程的步骤通常可以简化为(1)建系，设点；(2)列式；(3)化简坐标系的选取决定着方程化简的繁简，设点时，通常求哪个点的轨迹方程
6、，就假设那个点的坐标为(x，y)，同时，解题中还需区分轨迹方程与轨迹【变式练习3】已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数，求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线 2222222222222122(,0),0()|(1)(1)2(1)(1)0.10()21ABaAaB aM xyxayMAMBxayxyaxaMAMBMxMyMxy 建立坐标系如图所示，设，则，设，是轨迹上任意一点，则由题设，得，坐标代入，得，化简得 当 时，即时，点的轨迹方程是 ，即点的轨迹是直线轴，当时，点的轨迹方程是【析】解222222101212(0)11axaMaa 点的轨迹是以，为圆心，为半径的圆与圆有关的
7、最值问题 2222410.24(1)3xyxyxyxyxxy已知实数、满足方程 求：的最大值和最小值；的最大值和最小值；的最大值【例】和最小值 2222(2)32,03()(2)3331xyyxyxxyyx原方程化为 ，它表示圆心为，半径为的圆表示圆上的点，与原点连线的斜率过原点作圆 的切线，则两切线的斜率分别是最大值和最小值通过画图可求得的最大值为，最小【析】值为解 22222222241022(2)10.()4(2)8(1)4(42)02626262632232(32yxmyxmxyxxmxmxymmmmmyxABOAOBxy令 ，则将 代入方程 ，并化简，得 因为点，在圆和直线上，即上述
8、方程有实数解，所以 ，解得 ，所以 的最大值为，最小值为 过原点和圆心的直线与圆交于两点、，则，所以 的最大值为223)74 3(23)74 3，最小值为 涉及到圆上的点(x，y)的最大值和最小值问题，可借助于图形，了解所求量的几何意义，用数形结合来解有下列几类：就是圆上的点(x，y)与点(a，b)的连线的斜率；yx就是直线yxm在y轴上的截距；yx是直线yxm在y轴上的截距；(xa)2(yb)2就是圆上的点(x，y)与点(a，b)的距离的平方ybxa【变式练习4】求圆(x2)2(y3)24上的点到xy20的最近、最远距离22(2)(3)4(23)2.(23)20|232|7 2227 222
9、7 22.2xyrxy由圆的方程 易知圆心坐标为，半径 而，到直线 的距离为故圆上的点到直线的最远距离为，最【近距离为】解析1.点P(2，1)是圆(x1)2y225内弦AB的中点，则直线AB的方程为_xy301,0121111230.OPOABkkAByxxy【解析依题意，圆心坐标为，所以直线的斜率-由点斜式得直线的】方程为 ，即 22232.2,0,1 22410,.axyaxayaa若，方程 表示的圆的个数为_ 22222224(21)0220322101.aaaaaaaxyaxayaa由 ，得，故满足条件的 只有一个，即 ，则方程 表示的圆【】的个数为解析13.若圆C：x2y22x4y1
10、0关于直线l：2axby20(a，bR)对称，则ab的取值范围是 _1(4，2(1,2)11()241(4Cabababab圆 的圆心坐标为，则有 ，所以，即的取值【范围是 ，解析】4.(1)求经过点A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线2xy30上的圆的方程；(2)求以O(0,0)，A(2,0)，B(0,4)为顶点的三角形OAB的外接圆的方程.2222222222()23045(5)(2)(5)(2)10,(4)(15)10.0.02404160240.2C abababababrxyxyDxEyFFDFEFxyxy 设圆心，则有，解得所以半径 则所求圆的方程为 设圆的方程为 将三个已知点的
11、坐标代入得故所求圆的方程【解析为 】25.()(0)1224C tttxtOAyOBOOAByxCMNOMONCR已知：以点，为圆心的圆与 轴交于点，与 轴交于点，其中 为原点求证：的面积为定值；设直线 与圆 交于点，若，求圆 的方程 22222221212424()()400002114|242(1)2.11222.2OABMNOCCOOCttCxtytttxyyyxxttSOA OBttOABOMONCMCNOCMNkkOCyx因为圆 过原点，所以 设圆 的方程是 令 ，得 ，；令 ，得 ，所以，即的面积为定值因为，所以的垂直平分线段为因为，所以，所以直线的方程是【解析】222122222
12、,1512455242(21)592455242(2)(1)5.tttttCOCCyxdCyxtCOCCyxdCyxtCxy所以，解得：或 ，当 时，圆心 的坐标为，此时 到直线 的距离，圆 与直线 相交于两点当 时，圆心 的坐标为 ，此时 到直线 的距离，圆 与直线 不相交，所以 不符合题意舍去所以圆 的方程为 1在讨论含有字母参变量的圆方程问题时，始终要把“方程表示圆的条件”作为首要条件，也可以理解为“定义域优先”的拓展2圆的标准方程和一般方程都含有三个参数，因此，要具备三个独立已知条件才能确定一个圆求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心和半径，则可直接用标准形式写出圆的标准方程；若已知条
13、件与圆心、半径关系不大，则用一般式方便如果通过点才方便解题或问题是求与圆上的点有关的最值问题，可考虑用圆的参数方程3求圆的方程的方法：(1)几何法，即通过研究圆的性质，以及点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程；(2)代数法，即用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是：根据题意选择方程的形式标准方程或一般方程(当然有时也可以选择参数方程)；利用条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；解出a，b，r或D，E，F的对应的值，代入圆的标准方程或一般方程4在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的特殊几何性质，这样会使问题简单化圆的常用几何性质为：(1)直径所对的圆
14、周角为直角，这样有勾股定理，斜率的乘积为1可用；(2)弦的中点和圆心的连线垂直平分弦，这样有勾股定理、斜率的乘积为1和弦的垂直平分线过圆心，以及圆心到弦所在直线的距离公式可用；(3)圆心和切点的连线垂直于切线，这样有圆心到切线的距离等于半径、斜率的乘积等于1可用1(2011南京一模卷)正方形ABCD的中心为(3,0)，AB所在直线的方程为x2y20，则正方形ABCD的外接圆的方程为_答案：(x3)2y210选题感悟：本题主要考查求圆的方程的，是最基础的题型，求解的关键在于合理利用正方形外接圆的有关性质即可获解2(2011常州调研卷)设a0，b0,4abab，则在以(a，b)为圆心，ab为半径的
15、圆中，面积最小的圆的标准方程是_224411444114519141316(3)(6)81.aababbaaaaabaaaaaaaaaabxy因为，所以，所以 ，当且仅当 ，即 时，【解析取“”，所以 ，故所求圆的方程为】答案：(x3)2(y6)281选题感悟：在考试说明中圆的方程及基本不等式均是C级要求，本题以求圆的方程为背景，重点考查基本不等式的灵活运用，充分体现了新高考的命题理念3(2011镇江一模考)已知圆C通过不同的三点P(m,0)、Q(2,0)、R(0,1)，且直线CP的斜率为1.(1)试求C的方程；(2)过原点O作两条互相垂直的直线l1、l2，l1交C于E、F两点，l2交C于G、
16、H两点，求四边形EGFH面积的最大值 220()122,02,00,11042012522632121CxyDxEyFDECPCCP mQREFFDDmEFEmDm 设圆 的方程为 ，则点的坐标为，且直线的斜率为，因为圆 通过不同的三点，所以有，解得【解析】22221212222122222221222max5601525()()22215()2213.2()()22742132737()222EFGHCxyxyxyCllddddOCEFGHdRdREFGHEF GHSEF GHS四边形所以圆 的方程为 ，或者 圆心，设圆心到、的距离分别为、，则又，两式相加，得，所以，即选题感悟：利用待定系数法求圆的方程是高考的一个主要命题方向，特别是将圆与平几知识、最值及有关的数学思想有机结合是新高考的热点
