1、高考大题专项(五)直线与圆锥曲线突破1圆锥曲线中的最值、范围问题1.(2020山东泰安一模,21)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于P,Q两点.当直线l经过椭圆C的下顶点A和右焦点F2时,F1PQ的周长为42,且l与椭圆C的另一个交点的横坐标为43.(1)求椭圆C的方程;(2)点M为POQ内一点,O为坐标原点,满足MP+MO+MQ=0,若点M恰好在圆O:x2+y2=49上,求实数m的取值范围.2.(2020新高考全国2,21)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点M(2,3),点A为其左顶点,且AM的斜率为12
2、.(1)求C的方程;(2)点N为椭圆上任意一点,求AMN的面积的最大值.3.已知抛物线C:y2=2px(p0)上一点P(x0,2)到焦点F的距离|PF|=2x0.(1)求抛物线C的方程;(2)过点P引圆M:(x-3)2+y2=r200)的焦点为F,点M(a,25)在抛物线C上.(1)若|MF|=6,求抛物线的标准方程;(2)若直线x+y=t与抛物线C交于A,B两点,点N的坐标为(1,0),且满足NANB,原点O到直线AB的距离不小于2,求p的取值范围.6.已知圆O:x2+y2=4,抛物线C:x2=2py(p0).(1)若抛物线C的焦点F在圆O上,且A为抛物线C和圆O的一个交点,求|AF|;(2
3、)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于M,N两点,设M(x0,y0),当y03,4时,求|MN|的最大值.突破2圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.(2020山东德州二模,20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)与圆x2+y2=43b2相交于M,N,P,Q四点,四边形MNPQ为正方形,PF1F2的周长为2(2+1).(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l与椭圆C相交于A,B两点,D(0,-1),若直线AD与直线BD的斜率之积为16,证明:直线恒过定点.2.已知动圆P过定点F12,0,且和直线x=-12相切,动圆圆心P形成的轨迹是曲线C,过点Q(4,-2)的直线与曲线C交于A,B两个不同
4、的点.(1)求曲线C的方程;(2)在曲线C上是否存在定点N,使得以AB为直径的圆恒过点N?若存在,求出N点坐标;若不存在,说明理由.3.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=2px(p0)的准线为l,其焦点为F,点B是抛物线C上横坐标为12的一点,若点B到l的距离等于|BO|.(1)求抛物线C的方程;(2)设A是抛物线C上异于顶点的一点,直线AO交直线l于点M,抛物线C在点A处的切线m交直线l于点N,求证:以点N为圆心,以|MN|为半径的圆经过x轴上的两个定点.4.(2020山东淄博一模,21)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴长为23,左、右焦点分别为F1,F2,点B是椭
5、圆上位于第一象限的任意一点,且当BF2F1F2=0时,|BF2|=32.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若椭圆C上点A与点B关于原点O对称,过点B作BD垂直于x轴,垂足为D,连接AD并延长交C于另一点M,交y轴于点N.求ODN面积的最大值;证明:直线AB与BM的斜率之积为定值.5.如图,O为坐标原点,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距等于其长半轴长,M,N为椭圆C的上、下顶点,且|MN|=23.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P(0,1)作直线l交椭圆C于异于M,N的A,B两点,直线AM,BN交于点T.求证:点T的纵坐标为定值3.6.(2020山东济南三模,22)已知平面上一动点A
6、的坐标为(2t2,-2t).(1)求点A的轨迹E的方程.(2)点B在轨迹E上,且纵坐标为2t.证明直线AB过定点,并求出定点坐标.分别以A,B为圆心作与直线x=-2相切的圆,两圆公共弦的中点为H,在平面内是否存在定点P,使得|PH|为定值?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.突破3圆锥曲线中的证明与探索性问题1.(2020江西南昌三模,理20)在平面直角坐标系中取两个定点A1(-6,0),A2(6,0),再取两个动点N1(0,m),N2(0,n),且mn=2.(1)求直线A1N1与A2N2交点M的轨迹C的方程;(2)过R(3,0)的直线与轨迹C交于P,Q,过P作PNx轴且与轨迹C交于
7、另一点N,F为轨迹C的右焦点,若RP=RQ(1),求证:NF=FQ.2.(2018全国1,文20)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:ABM=ABN.3.(2020河南开封三模,理19)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的上顶点A与左、右焦点F1,F2构成一个面积为1的直角三角形,(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l与椭圆C相切,求证:点F1,F2到直线l的距离之积为定值.4.(2020河南六市第二次联考,理19)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(1
8、,0),点P,M,N为椭圆C上的点,直线MN过坐标原点,直线PM,PN的斜率分别为k1,k2,且k1k2=-12.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若PFMN且直线PF与椭圆的另一个交点为Q,问|MN|2|PQ|是否为常数?若是,求出该常数;若不是,请说明理由.5.(2020河北衡水中学三模,理19)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,短轴长为23,A,B是椭圆C上关于x轴对称的两点,ABF1周长的最大值为8.(1)求椭圆C的标准方程.(2)过椭圆C上的动点M作椭圆C的切线l,过原点O作OPl于点P.问:是否存在直线l,使得OMP的面积为1?若存在,求出此时
9、直线l的方程;若不存在,请说明理由.6.(2020河北唐山二模,理21)已知A(x1,y1),B(-x1,-y1)是椭圆T:x24+y2=1上的两点,且A点位于第一象限.过A作x轴的垂线,垂足为点C,点D满足AC=2CD,延长BD交T于点E(x2,y2).(1)设直线AB,BD的斜率分别为k1,k2.求证:k1=4k2;证明:ABE是直角三角形.(2)求ABE的面积的最大值.参考答案高考大题专项(五)直线与圆锥曲线突破1圆锥曲线中的最值、范围问题1.解(1)由题意知4a=42,a=2,直线AF2的方程为y=bc(x-c).直线AF2与椭圆C的另一个交点的横坐标为43,y=bc43-c,4322
10、+y2b2=1,解得c=1或c=2(舍去),b2=1,椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2).MP+MO+MQ=0,点M为POQ的重心,Mx1+x23,y1+y23.点M在圆O:x2+y2=49上,(x1+x2)2+(y1+y2)2=4.(*)由y=kx+m,x22+y2=1,消去y,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-21+2k2,代入方程(*),得(x1+x2)2+(y1+y2)2=-4km1+2k22+k-4km1+2k2+2m2=4,即16(1+k2)k2m2(1+2k2)2-16k2m2
11、1+2k2+4m2=4,化简得m2=(1+2k2)24k2+1.由0得1+2k2m2.1+2k2(1+2k2)24k2+1,解得k0.m2=(1+2k2)24k2+1=1+4k44k2+1=1+44k2+1k41,实数m的取值范围为(-,-1)(1,+).2.解(1)由题意,直线AM的方程为y-3=12(x-2),即x-2y=-4.当y=0时,解得x=-4,所以a=4.椭圆C过点M(2,3),可得416+9b2=1,解得b2=12.所以C的方程为x216+y212=1.(2)设与直线AM平行的直线方程为x-2y=m.如图所示,当直线与椭圆相切时,设与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N,此时A
12、MN的面积取得最大值.联立直线方程x-2y=m与椭圆方程x216+y212=1,可得3(m+2y)2+4y2=48,化简可得16y2+12my+3m2-48=0,所以=144m2-416(3m2-48)=0,即m2=64,解得m=8.与AM距离比较远的直线方程为x-2y=8,点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离,利用平行线之间的距离公式可得d=8+41+4=1255.由两点之间距离公式可得|AM|=(2+4)2+32=35.所以AMN的面积的最大值为12351255=18.3.解(1)由抛物线定义,得|PF|=x0+p2,由题意得2x0=x0+p2,2px0=4,p0,解得p=2,x0=1
13、.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)由题意知,过P(1,2)引圆(x-3)2+y2=r2(0-2,所以90,所以|MN|2=|OM|2-|ON|2=x02+y02-4=2py0+y02-4=16y0y02-4y0+y02-4=16y02y02-4+y02-4=16(y02-4+4)y02-4+y02-4=16+64y02-4+y02-4.令t=y02-4,y03,4,则t5,12,令f(t)=16+t+64t,则f(t)=1-64t2;当t5,8时f(t)0,f(t)单调递减,当t(8,12时f(t)0,f(t)单调递增,又f(5)=16+5+645=1695,f(12)=16+12+64
14、12=10030,y1+y2=2n,y1y2=-4n-8.若设抛物线上存在定点N,使得以AB为直径的圆恒过点N,设N(x0,y0),则y02=2x0,kNA=y1-y0x1-x0=y1-y0y122-y022=2y1+y0,同理可得kNB=2y2+y0,kNAkNB=2y1+y02y2+y0=4y1y2+(y1+y2)y0+y02=4-4n-8+2ny0+y02=-1,(2y0-4)n+y02-4=0,2y0-4=0,y02-4=0,解得y0=2,x0=2,在曲线C上存在定点N(2,2),使得以AB为直径的圆恒过点N.3.(1)解由题意,得|BF|=|BO|,则BOF为等腰三角形,因为点B的横
15、坐标为12,所以线段OF的中点的横坐标为12,从而点F的横坐标为1,即p2=1,所以p=2,故所求抛物线C的方程为y2=4x.(2)证明设切线m的方程为y=kx+b,联立方程y=kx+b,y2=4x,消去y得k2x2+2(kb-2)x+b2=0,(*)由题意知=4(kb-2)2-4k2b2=0,即b=1k,所以方程(*)的根为x=1k2,从而A1k2,2k.直线OA的方程为y=2kx,由y=kx+1k,x=-1,得N-1,1k-k,由y=2kx,x=-1,得M(-1,-2k),所以以点N为圆心,以|MN|为半径的圆的方程为(x+1)2+(y-1k+k)2=(k+1k)2,令y=0,得(x+1)
16、2+(k-1k)2=(k+1k)2,解得x=1或x=-3,所以圆N经过x轴上的两个定点(1,0)和(-3,0).4.解(1)设F2(c,0),由BF2F1F2=0,得BF2F1F2.将x=c代入x2a2+y2b2=1,得y=b2a,即|BF2|=b2a=32,由b=3,得a=2,所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)设B(x1,y1),M(x2,y2),则A(-x1,-y1),D(x1,0).易知ON为ABD的中位线,所以N0,-y12,所以SODN=12|x1|-y12=14|x1|y1|=14x1y1.又B(x1,y1)满足x24+y23=1,所以x124+y123=12x12y
17、13=x1y13,得x1y13,故SODN=14x1y134,当且仅当x12=y13,即x1=2,y1=62时,等号成立.所以ODN面积的最大值为34.证明:记直线AB的斜率为k=y1x1(k0),则直线AD的斜率为y12x1=k2,所以直线AD的方程为y=k2(x-x1).由y=k2(x-x1),x24+y23=1,消去y得(3+k2)x2-2k2x1x+k2x12-12=0,则(-x1)+x2=2k2x13+k2,所以x2=2k2x13+k2+x1,代入直线AD的方程,得y2=k3x13+k2.于是,直线BM的斜率kBM=y2-y1x2-x1=k3x13+k2-kx12k2x13+k2+x
18、1-x1=-32k.所以直线AB与BM的斜率之积为定值-32.5.(1)解由题意可知:2c=a,2b=23,又a2=b2+c2,有b=3,c=1,a=2,故椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)证明由题意知直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+1,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x20),联立直线方程和椭圆方程得y=kx+1,3x2+4y2-12=0,消去y得(4k2+3)x2+8kx-8=0,x1+x2=-8k4k2+3,x1x2=-84k2+3,则有x1+x2=kx1x2,又lBN:y=y2+3x2x-3,lAM:y=y1-3x1x+3,由y=y2+3x2x-3,y=y1-3x
19、1x+3,得y-3y+3=y1-3x1x2y2+3,故y-3y+3=kx1+1-3x1x2kx2+1+3=kx1x2+(1-3)x2kx1x2+(1+3)x1,整理得到y=32kx1x2+x1+x2+3(x1-x2)x1-x2+3(x1+x2)=33(x1+x2)+3(x1-x2)x1-x2+3(x1+x2)=3.故点T的纵坐标为3.6.解(1)设动点A的坐标为(x,y),因为A的坐标为(2t2,-2t),所以x=2t2,y=-2t,消去参数t得y2=2x.(2)证明:因为点B在轨迹E上,且纵坐标为2t,所以点B的坐标为2t2,2t.当t=1时,直线AB的方程为x=2.当t1时,直线AB的斜率
20、为kAB=yB-yAxB-xA=t1-t2,所以直线AB的方程为y+2t=t1-t2(x-2t2),整理得y=t1-t2(x-2),所以直线AB过定点(2,0).综上,直线AB过定点(2,0).存在.因为A的坐标为(2t2,-2t),且圆A与直线x=-2相切,所以圆A的方程为(x-xA)2+(y-yA)2=(xA+2)2,同理圆B的方程为(x-xB)2+(y-yB)2=(xB+2)2,两圆方程相减得2(xB-xA)x+2(yB-yA)y+yA2-yB2=4xA-4xB,将A(2t2,-2t),B2t2,2t代入并整理得y=t-1t(x+1),由可知直线AB的方程为y=t1-t2(x-2),因为
21、H是两条直线的交点,所以两个方程相乘得y2=-(x-2)(x+1),整理得x-122+y2=94,即点H的轨迹是以12,0为圆心,32为半径的圆,所以存在点P12,0,满足|HP|=32.突破3圆锥曲线中的证明与探索性问题1.(1)解依题意知直线A1N1的方程为y=m6(x+6),直线A2N2的方程为y=-n6(x-6),设Q(x,y)是直线A1N1与A2N2交点,相乘,得y2=-mn6(x2-6),由mn=2整理得x26+y22=1,因为N1,N2不与原点重合,可得点A1,A2不在轨迹C上,所以轨迹C的方程为x26+y22=1(x6).(2)证明设l:x=ty+3,代入椭圆方程消去x,得(3
22、+t2)y2+6ty+3=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x1,-y1),可得y1+y2=-6tt2+3且y1y2=3t2+3,RP=RQ,可得(x1-3,y1)=(x2-3,y2),所以x1-3=(x2-3),y1=y2,证明NF=FQ,只要证明(2-x1,y1)=(x2-2,y2),所以2-x1=(x2-2),只要证明x1-3x2-3=-x1-2x2-2,只要证明2t2y1y2+t(y1+y2)=0,由y1+y2=-6tt2+3且y1y2=3t2+3,代入可得2t2y1y2+t(y1+y2)=0,所以NF=FQ.2.解(1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(
23、2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=12x+1或y=-12x-1.(2)当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以ABM=ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x10,x20.由y=k(x-2),y2=2x得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=2k,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为kBM+kBN=y1x1+2+y2x2+2=x2y1+x1y2+2(y1+y2)(x1+2)(x2+2).将x1=y1k+2,x2=y2k+2及y1+y2,y1y2的表达式代入式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2
24、)=2y1y2+4k(y1+y2)k=-8+8k=0.所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以ABM=ABN.综上,ABM=ABN.3.(1)解椭圆C的上顶点A与左、右焦点F1,F2构成一个面积为1的直角三角形,b=c,bc=1,b=c=1,a2=b2+c2=2,椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)证明当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,点F1,F2到直线l的距离之积为(2-1)(2+1)=1.当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,联立y=kx+m,x22+y2=1,消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,=(4km)2-4(1+2k2)(2m
25、2-2)=-8(m2-2k2-1)=0,m2=1+2k2.点F1到直线l:y=kx+m的距离d1=|-k+m|k2+1,点F2到直线l:y=kx+m的距离d2=|k+m|k2+1.d1d2=|-k+m|k2+1|k+m|k2+1=|m2-k2|k2+1=|2k2+1-k2|k2+1=1.综上可知,当直线l与椭圆C相切时,点F1,F2到直线l的距离之积为定值1.4.解(1)设M(x0,y0),P(x1,y1),则N(-x0,-y0).联立x02a2+y02b2=1,x12a2+y12b2=1,得(x0+x1)(x0-x1)a2+(y0+y1)(y0-y1)b2=0,即(y0+y1)(y0-y1)
26、(x0+x1)(x0-x1)=-b2a2,又k1k2=-12,a2=2b2,又a2-b2=1,a2=2,b2=1.故椭圆C的标准方程为x22+y2=1.(2)设直线PQ的方程为x=ty+1,则直线MN的方程为x=ty.联立x=ty+1,x2+2y2=2,消去x可得(2+t2)y2+2ty-1=0,设Q(x2,y2),则=4t2+4(2+t2)=8(1+t2)0,y1+y2=-2t2+t2,y1y2=-12+t2,|PQ|=1+t2|y1-y2|=1+t2(y1+y2)2-4y1y2=1+t2-2t2+t22+42+t2=22(1+t2)2+t2.联立x=ty,x2+2y2=2,可得y02=22
27、+t2,所以|MN|=2x02+y02=2(1+t2)y02=22(t2+1)2+t2,故|MN|2|PQ|=22为常数.5.解(1)设AB与x轴的交点为H,由题意可知|AH|AF2|,则|AF1|+|AH|AF1|+|AF2|=2a,当AB过右焦点F2时,ABF1的周长取最大值4a=8,所以a=2,且b=3,所以椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)不存在直线l,使得OMP的面积为1.理由如下.假设直线l斜率存在且不为0,设直线l:y=kx+t,联立方程组y=kx+t,3x2+4y2=12,消去y得(3+4k2)x2+8ktx+4t2-12=0,由=64k2t2-4(3+4k2)(4t2-
28、12)=0,得t2=4k2+3,所以xM=-8kt2(3+4k2)=-4kt,因为直线OPl,所以直线OP的方程为y=-1kx,联立y=-1kx,y=kx+t,得xP=-ktk2+1,所以|MP|=1+k2-4kt+ktk2+1=1+k2-4k3-4k+kt2t(k2+1)=|k|t|k2+1.又因为|OP|=|t|1+k2,所以SOMP=12|MP|OP|=12|k|t|k2+1|t|k2+1=12|k|k2+1=121|k|+1|k|14,当且仅当k=1时,等号成立.因此不存在直线l,使得OMP的面积为1.6.(1)证明由题意可得Dx1,-y12,所以k2=-y12-(-y1)x1-(-x
29、1)=y14x1.又k1=y1x1,因此k1=4k2.因为A(x1,y1),E(x2,y2)都在T上,所以x124+y12=1,x224+y22=1.从而x22-x124+(y22-y12)=0,即y2-y1x2-x1y2-(-y1)x2-(-x1)=-14.又kAE=y2-y1x2-x1,kBE=y2-(-y1)x2-(-x1)=k2,所以kAEk2=-14.由k1=4k2,则k1kAE=-1,即ABAE.故ABE是直角三角形.(2)解由(1)得,直线AE:y=-x1y1(x-x1)+y1=-x1xy1+x12+y12y1.将直线AE代入椭圆T,并整理可得(4x12+y12)x2-8x1(x
30、12+y12)x+4(x12+y12)2-4y12=0,所以x1+x2=8x1(x12+y12)4x12+y12.SABE=12|AD|x2-(-x1)|=123y12|x2+x1|=6x1y1(x12+y12)4x12+y12.因为x124+y12=1,所以SABE=24x1y1(x12+y12)(4x12+y12)(x12+4y12)=24y1x1+x1y14x12y12+4y12x12+17.令y1x1+x1y1=t,则t2,当且仅当k1=y1x1=1时,等号成立.从而SABE=24t4t2+9=244t+9t,因为4t+9t在2,+)上单调递增,所以t=2时,4t+9t取得最小值252,故k1=1时,SABE取得最大值4825.
