1、利用基本不等式的转化求最值【例1】已知x0，y0，且2x8yxy0，求xy的最小值及此时x、y的值8228018282()()10+8210+2=18822821126.12618.xyxyxyyxxyxyxyxyyxxyyxxyxyyxxyxyxyxy因为 ，所以 ，所以 当且仅当，即 时，等号成立又，所以，故当，时，的最【小值是解析】本题是一个二元条件最值问题，看似平淡，但思想方法深刻、解法灵活多样，本解法是其中之一对于xy与xy在同一等式中出现的问题往往可以利用基本不等式“”将它们联系起来进行放缩，以此来求取值范围是非常有效的2xyxy52(1)1xxyxx 求函数【变的式练习1】最大值
2、104145402 4=445121231.xttttyttttttytxx 令 ，则，则 ，因为，所以 ，所以 ，当且仅当 ，即 ，时取 ，故函数的最大【解值为析】注意基本不等式的适用条件224sin2.sinyxx【求】的最小值例22222222222222222222413sinsinsinsinsin1sinsin1sin11sin2 sin2sinsin1sin1sin2.sin33sin133.sinsin4sin5.sin1yxxxxxxxxxxxxxxxxxxyxx，当，即时，可以取等号，即当 时，的最小值是又当 时，即的最小值是所以【解析】函数 的最方小值是法：2222min
3、4sin01441.011040,1415.sin01.40,2152.3txtyttytyttytttytttxtyttty 令，则，所以 当时，即 在上是减函数，所以当 时，的最小值是令，则因为函数 在上是减函数，所以，当 时，方方法：法：22222“2”44sin2 sin4sinsin4sin2xyxyyxxyxxx 本题是利用基本不等式求函数的最值问题用基本不等式时，要注意 正、定、等 三要素缺一不可！下面的解法太有诱惑力了：，因此 的最小值是，为什么不对呢？因为等号只有在 才能取到，而这是不可能的！这类问题用导数方法求解是非常有效的 22122121 22bcRf xxxxbxcg
4、 xxf x已知、，在区间，上，函数 与函数在同一点取得相同的最小值，求在区间【变，上的式练习】最大值 22221111213113.4()()24xxg xxxxxxxxxg xf xg xbcbf xxbxcx因为 ，当且仅当 ，即 时，“”成立，即的最小值为【因为与在同一点处取得相同最小值，而的图象是开口向上的解析】抛物线，221122124234.41(1)3.2224.f xbcbbcf xxxxf x且，所以只能在顶点处取得最小值，所以，即 时，所以 所以 又，所以当 时，的最大值为利 用 基 本 不 等 式解实际问题【例3】某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、
5、汽油费约为0.9万元，维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？*2()0.20.20.20.220.20.2100.9100.1210101213(101010)103.10 x xyxxxxxxxxyxxxxxxxxyN设使用年的年平均费用为 万元，由已知条件可知年维修费构成一个以万元为首项，万元为公差的等差数列，因此使用 年的总维修费用为万元，所以 ，当且仅当 时取等号 所以当 时，取最小值答：这种汽车使用 年时，【解析】年平均费用最小解决应用题时，先要认真阅读题目，理解题意，处理好题目中的数量关系，选择适当的数学模型，将实际问题转化为
6、数学问题，再用数学知识和方法加以解决【变式练习3】2008年5月12日四川省汶川县发生了8.0级大地震，牵动了全国各地人民的心为了安置广大灾民，抗震救灾指挥部决定建造一批简易房(每套长方体状，房高2.5米)，前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算(即钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)，每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元每套房材料费控制在32000元以内，试计算：(1)设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，所用材料费为P，试用x，y表示P；(2)求简易房面积S的最大
7、值是多少？并求S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？2450220020090040020090040020120.320002009004002002 900400PxyxyxyxyPxyxySxyPPSxySS，即 依题意，且，则可得【解析】，2200120032000()6160001010090040010020.3100203SSPSSSSxyxyxSS得，即，得，当且仅当，即时，取最大值答：简易房面积 的最大值为平方米，此时前面墙的长度应设计为米11.(3)3_yxxx 函数 的值域是(，15，)13333231232354(15)yxxxyxxyx ，当时，当 时取“”；当时，当
8、 时取“”，所以函数的值域是 ，析】，【解2.若log2xlog2y4，则xy的最小值为_.222logloglog4162848.xyxyxyxyxyxyxy因为，所以，所以 ，当且仅当 时，“【”成立故 的】最小值为解析823.230_.yxyzxyzxzR 已知，则的最小值为 2223,29619(6)4419(26)3.43xzyyxzxzxzxzxzzxxzzxxyz由已知 所以 当且仅当 时取得【解析】最小值3 224.0041.1112loglogxyxyxyxy已知，且 求 的最小值；求的最大值 1111()(4)44525925941163119.1xyxyxyyxyxxyx
9、yyxxyxyxy因为 ，当且仅当，即 ，时取等号所以 的最小【解值为析】2222222221loglogloglog(4)41 41log ()log4421611482loglog4.2xyxyx yxyxyxyxy，当且仅当 ，即 ，时取等号所以的最大值为 4225.4812213.4xxf xf xxabf abb 设函数求的最大值及此时的 的值；证明：对任意的实数、，恒有 42216 248281616162 2884 222 22282232 21.2xxxxxxxxxf xxxf x【解，+当且仅当.即 时，的最大值为析】222222193(3)3443()3322133.412
10、 2.2 23213.42bbbbbbbf xabf abb证明：因为 ，所以 的最小值为由知，的最大值为而，所以对任意的实数、，恒有 本节内容是不等式的基础知识，主要从三个方面考查：一是利用基本不等式求两个正数的和的最小值，或积的最大值，或者将一个式子转化为可以利用基本不等式求最值的问题；二是利用基本不等式比较两个实数(或代数式)的大小或证明不等式(放缩法等)；三是将一个实际问题构造成函数模型，利用基本不等式来解决 12“”123xyxyxyxy利用基本不等式时，要注意 正、定、等 三要素正，即，都是正数；定，即不等式另一边为定值；等，即当且仅当 时取 2sin0sinsin2 22 2si
11、n2sin22sinxyxxyxxxxx如：当时，虽然有，但并不是 的最小值，因为不可能成立又如：并不一定有，因为 的符号没有确定 22“”00121xyxyxyxyxy利用基本不等式时，要注意 积定和最小，和定积最大 这一口诀，并适当运用拆、拼、凑等技巧但应注意，一般不要出现两次不等号例如：已知，且 ，求 的最小值0011216.122002213113216.xyxyxyxyxyxxyyxyxy因为，且 ，所以当 时，的最小值为因为，由，得，所以 的最小方方法：值为法：121212224 2214 2.3xyxyxyxyxyxy因为 ，所以，所以，所以 的最小值为方法：1232212212
12、21xyxyxyxyxyxyxyxy三种方法似乎都有道理，但结果却不一样，哪一种对呢？其实三种都不对方法、方法 都是误用了等号成立的条件；方法 中，是当且仅当 时取“”，而是当且仅当时取“”，与不可能同时成立，所以错了00121212()()323232 222 22112132 2.xyxyyxxyxyxyxyyxxyyxxxyyxyxy本题比较好的方法是：因为，且 ，所以 ，当且仅当，即时，“”成立，所以 的最小值为 22232(12)21022.34xyxyxyxyxxxxyxyyx记住下列结论，对解题是有帮助的：；当时，；当、同号时，40031_2_.ababa bababababab
13、当两个正数、的和 与积出现在同一个式子中时，可以利用基本不等式互相转化来求取值范围如：已知，且 ，则；就可以这样来求：221323(3)(1)0.1099)23()2()4()12066)ababababababababababababababab因为 ，所以因为，所以，即，因为 ，所以 ，所以，所以，1(2011宿迁期中卷)已知实数a，b满足2ab1，则4a2b的最小值是_2 2答案：选题感悟：在考试说明中基本不等式是C级要求，在应用基本不等式时，应注意合理拆添项、配凑等变形技巧的灵活应用22220|127()xaxxbxabxabaab已知关于 的一元二次不等式 的解集为，则其中的最小值为
14、_扬(2010州期中卷)22200.44017279()63aaabababababababababab 由题意有，即所以 ，当且仅当 时取【解析】“”答案：6选题感悟：基本不等式的考查往往不是单独进行的，应用中考查是常见的题型，常需要对式子进行合理的变形，使之满足基本不等式的形式及等号成立的条件，这类问题在高考中经常出现 *(30)()()14()()115|15|.1()(130)32(f ttf tg tttg ttw tttt N经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内以天计，日旅游人数万人 与时间 天 的函数关系近似满足 ，人均消费元 与时间 天的函数关系近似满足 求该城市的旅游日收益
15、万元 与时间，的函数关系式；求该城市旅游日收益的最小值 万盐元(2010城一模卷)*1(4)(115|15|)(130)1(4+)(t+100)(115)1(4+)(130-t)(1530)1115(4)(100)254()40142 2540144112255w tf tg ttttttttw tttttw tttttttt NNN由题意得，当时，当且仅当【解析，即 时】取等号；15301130(4)(130)519(4)15,30130403.31403441314033tw tttttw ttw t 当时，易证在上单调递减，所以当 时，取最小值，为由于，所以该城市旅游日收益的最小值为万元选题感悟：基本不等式作为求最值问题的常用工具之一，经常与实际问题相结合本题是给出了函数模型的函数型应用题，这是高考的热点问题