1、章末质量检测(三)立体几何初步一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列结论正确的是()A各个面都是三角形的几何体是三棱锥B以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：A错误如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥B错误如图2，若ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥C错误若六棱锥的所有棱长都相
2、等，则底面多边形是正六边形由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长D正确答案：D2关于直观图画法的说法中，不正确的是()A原图形中平行于x轴的线段，其对应线段仍平行于x轴，其长度不变B原图形中平行于y轴的线段，其对应线段仍平行于y轴，其长度不变C画与坐标系xOy对应的坐标系xOy时，xOy可画成135D作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同解析：根据斜二测画法的规则可知B不正确答案：B3若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是()A4SB4SCS D2S解析：由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R，则2R2R4S，得R2S.所以底面面积为R2S.答
3、案：C4如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9 cm3，则其表面积为()A18 cm2 B18 cm2C12 cm2 D12 cm2解析：设正四面体的棱长为a cm，则底面积为a2 cm2，易求得高为a cm，则体积为a2aa39，解得a3，所以其表面积为4a218(cm2)答案：A5一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为()A16 B32C36 D64解析：将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为4，即球的半径为2，故这个球的表面积为4r216.答案：A6若平面平面，直线a平面
4、，点B在平面内，则在平面内且过点B的所有直线中()A不一定存在与a平行的直线B只有两条与a平行的直线C存在无数条与a平行的直线D存在唯一与a平行的直线解析：当直线a平面，且点B在直线a上时，在平面内且过点B的所有直线中不存在与a平行的直线故选A.答案：A7若，A，C，B，D，且ABCD28，AB、CD在内的射影长分别为9和5，则AB、CD的长分别为()A16和12 B15和13C17和11 D18和10解析：如图，作AM，CN，垂足分别为M、N，设ABx，则CD28x，BM9，ND5，x281(28x)225，x15,28x13.答案：B8.如图，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，
5、P是A1B1上一点，且PB1A1B1，则多面体PBCC1B1的体积为()A. B.C4 D5解析：V多面体PBCC1B1S正方形BCC1B1PB1421.答案：B9如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为A1B1的中点，ABBCBB12，AC2，则异面直线BD与AC所成的角为()A30 B45C60 D90解析：如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则ACA1C1DE，则BDE即为异面直线BD与AC所成的角(或其补角)由条件可知BDDEEB，所以BDE60，故选C.答案：C10如图，在三棱锥PABC中，不能证明APBC的条件是()AAPPB，APPCBAPPB，BCPBC平面BCP平面P
6、AC，BCPCDAP平面PBC解析：A中，因为APPB，APPC，PBPCP，所以AP平面PBC，又BC平面PBC，所以APBC，故A正确；C中，因为平面BCP平面PAC，BCPC，所以BC平面APC，AP平面APC，所以APBC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出APBC，故选B.答案：B11在等腰RtABC中，ABBC1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角CBMA的大小为()A30 B60C90 D120解析：如图所示，由ABBC1，ABC90，得AC.M为AC的中点，MCAM，且CMBM，AMBM，CMA为二面角CBMA的平面角AC1，MC
7、AM，CMA90.答案：C12在矩形ABCD中，若AB3，BC4，PA平面AC，且PA1，则点P到对角线BD的距离为()A. B.C. D.解析：如图，过点A作AEBD于E，连接PE.PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD，BD平面PAE，BDPE.AE，PA1，PE.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)13正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是_解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体答案：两个同底的圆锥组合体14若某空间几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积是_解析：根据直观图可知该几何体是横着放的
8、直三棱柱，所以S侧(1)2，S底1，故S表2222.答案：2215如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_解析：EF平面AB1C，EF平面ABCD，平面ABCD平面AB1CAC，EFAC，F为DC中点故EFAC.答案：16矩形ABCD中，AB1，BC，PA平面ABCD，PA1，则PC与平面ABCD所成的角是_解析：tanPCA，PCA30.答案：30三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)如图是由正方形ABCE和正三角形CDE所组成的平面图形，试画出其水平放
9、置的直观图解析：(1)以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，如图(1)，再建立坐标系xOy，使两轴的夹角为45，如图(2)(2)以O为中点，在x轴上截取ABAB，分别过A，B作y轴的平行线，截取AEAE，BCBC.在y轴上截取ODOD.(3)连接ED，EC，CD，并擦去作为辅助线的坐标轴，就得到所求的直观图，如图(3)18(12分)如图，正方体ABCDABCD的棱长为a，连接AC，AD，AB，BD，BC，CD，得到一个三棱锥求：(1)三棱锥ABCD的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥ABCD的体积解析：(1)ABCDABCD是正方体，ABACADBCBDCDa，三棱锥
10、ABCD的表面积为4aa2a2.而正方体的表面积为6a2，故三棱锥ABCD的表面积与正方体表面积的比值为.(2)三棱锥AABD，CBCD，DADC，BABC是完全一样的故V三棱锥ABCDV正方体4V三棱锥AABDa34a2a.19(12分)如图，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点求证：(1)BE平面DMF；(2)平面BDE平面MNG.证明：(1)设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O，且O为AE的中点，连接MO，则MO为ABE的中位线，所以BEMO.因为BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因为N，G分别为AD，EF
11、的中点，四边形ADEF为平行四边形，所以DEGN.因为DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.因为M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为ABD的中位线，所以BDMN.因为BD平面MNG，MN平面MNG，所以BD平面MNG.因为DEBDD，BD，DE平面BDE，所以平面BDE平面MNG.20(12分)S是RtABC所在平面外一点，且SASBSC，D为斜边AC的中点(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在RtABC中，D、E分别为AC、AB的中点，DEBC，DEAB，SASB，SAB为等腰三角形，S
12、EAB.又SEDEE，AB平面SDE.又SD平面SDE，ABSD.在SAC中，SASC，D为AC的中点，SDAC.又ACABA，SD平面ABC.(2)由于ABBC，则BDAC，由(1)可知，SD平面ABC，BD平面ABC，SDBD，又SDACD，BD平面SAC.21(12分)如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，点E是AB的中点(1)求证：OE平面BCC1B1；(2)若AC1A1B，求证：AC1BC.证明：(1)连接BC1，因为侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，所以O为AC1的中点，又因为E是AB的中点，所以OEBC1，因为OE平面
13、BCC1B1，BC1平面BCC1B1，所以OE平面BCC1B1.(2)因为侧面AA1C1C是菱形，所以AC1A1C，因为AC1A1B，A1CA1BA1，A1C平面A1BC，A1B平面A1BC，所以AC1平面A1BC，因为BC平面A1BC，所以AC1BC.22(12分)如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E为D1C1的中点，连接ED，EC，EB和DB.(1)求证：平面EDB平面EBC；(2)求二面角EDBC的正切值解析：(1)证明：在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E为D1C1的中点所以DD1E为等腰直角三角形，D1ED45.同理C1EC45.所以DEC90，即DEEC.在长方体ABCDA1B1C1D1中，BC平面D1DCC1，又DE平面D1DCC1，所以BCDE.又ECBCC，所以DE平面EBC.因为DE平面DEB，所以平面DEB平面EBC.(2)如图所示，过E在平面D1DCC1中作EODC于O.在长方体ABCDA1B1C1D1中，因为平面ABCD平面D1DCC1，且交线为DC，所以EO面ABCD.过O在平面DBC中作OFDB于F，连接EF，所以EFBD.EFO为二面角EDBC的平面角利用平面几何知识可得OF，又OE1，所以tanEFO.