1、宁夏固原第一中学2021届高三数学上学期第四次月考试题 理（含解析）一.选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的,请将正确选项涂到答题卡相应的位置上.)1. 已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得集合A、B，根据交集运算的法则，即可求得答案.【详解】由题意得集合，集合，所以，故选：B2. 命题“若，则或”的否定是（ ）A. 若,则或B. 若,则且C. 若，则或D. 若，则且【答案】D【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断即可，注意若原命题为真命题，则其否定为假命题.【详解】命题：“若，则或”为真
2、命题，则其否定为：“若，则且”.故选：.【点睛】本题考查命题的否定形式，注意命题的否定与否命题的区别，若原命题为“若，则”则其否命题为“若，则”，否定为“若，则”，注意一般命题与全称命题、特称命题否定的区别.3. 下列函数中，既是奇函数，且在区间0,1上是减函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数、正弦函数、余弦函数、幂函数的性质进行逐一判断即可.【详解】A：函数是奇函数，因为，所以在区间0,1上是减函数不正确；B：函数是偶函数，不符合题意；C：函数是实数集上的增函数，不符合题意；D：函数是奇函数，在0,1上单调递减，符合题意.故选：D4. 中，则一定是（
3、）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定【答案】C【解析】【分析】表示出向量的点乘，结合已知条件进行判定三角形形状【详解】因为中，则，即，角为钝角，所以三角形为钝角三角形故选【点睛】本题考查了由向量的点乘判定三角形形状，只需运用公式进行求解，较为简单5. 若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用换底公式以及对数的运算性质即可求解.【详解】由，则.故选：D【点睛】本题考查了换底公式以及对数的运算性质，需熟记对数的运算法则，属于基础题.6. 刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“
4、割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到的近似值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,则每个等腰三角形的面积为,由割圆术可得圆的面积为,整理可得,当时即可为所求.【详解】由割圆术可知当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,所以每个等腰三角形的面积为,所以圆的面积为,
5、即,所以当时,可得,故选:A【点睛】本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力.7. 设，若，则与的夹角余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据，表示的坐标，再由建立方程求得k，得到的坐标，然后利用夹角公式求解.【详解】因为，所以，因为，所以，解得，所以，因为，所以，所以与的夹角余弦值为.故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算及应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义域，特殊点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可.【详解】解：由得，且，当时，此时，
6、排除B,C函数的导数，由得，即时函数单调递增，由得且，即或时函数单调递减，故选：D【点睛】此题考查函数图像的识别和判断，根据函数的性质，利用定义域，单调性，极值等函数特点是解决此题的关键，属于中档题.9. 已知，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据幂函数和指数函数的单调性可得，根据对数函数的单调性可得，故最大，由此可得答案.【详解】，故最大，结合四个选项可知选C.故选：C【点睛】思路点睛：指数式、对数式、幂值比较大小问题，思路如下：思路一、对于同底数的幂值或对数式，直接根据指数函数或对数函数的单调性比较大小；思路二、对于不同底数的幂值或对数式，化为同底数的
7、幂值或对数式，再根据思路一进行比较大小；或者找中间量（通常找和）进行比较.10. 一观览车的主架示意图如图所示，其中为轮轴的中心，距地面（即长），巨轮的半径长为，巨轮逆时针旋转且每分钟转一圈，若点为吊舱的初始位置，经过分钟，该吊舱距离地面的高度为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先通过计算得出转动的角速度，然后利用三角函数模型表示在转动的过程中点的纵坐标满足的关系式，则吊舱到底面的距离为点的纵坐标减.【详解】如图所示，以点为坐标原点，以水平方向为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系. 因为巨轮逆时针旋转且每分钟转一圈，则转动的角速度为每分钟，经过分钟之后，转过的角度为，所
8、以，在转动的过程中，点的纵坐标满足：则吊舱距离地面的距离.故选：B【点睛】建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）审题：审清楚题目条件、要求、理解数学关系；（2）建模：分析题目变化趋势，选择合适的三角函数模型；（3）求解：对所建立的数学模型进行分析研究，从而得到结论.11. 若将函数的图象向左平移个单位长度后.得到的函数图象关于对称.则函数在上的最小值是（ ）A. B. C. D. 0【答案】D【解析】【分析】写出平移后图象的函数解析式，由对称性求得，再由余弦函数性质得最小值【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后.得到图象解析式为，它的图象关于点对称，则，又，所以，所以，时，所以最小值
9、为0，此时故选：D【点睛】本题考查三角函数图象平移变换，考查正弦函数的对称性，余弦函数的最值掌握正弦函数与余弦函数性质是解题关键12. 已知定义在R上的可导函数函数的导函数为，满足，且为偶函数，,则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据为偶函数，可得的图象关于x=1对称，即，设函数，求导可得的单调性，结合题干条件，即可求得答案.【详解】因为为偶函数，则的图象关于x=0轴对称，所以的图象关于x=1对称，因为，所以，设函数，则，因为，所以，即，所以为减函数，因为，所以，即又，所以，所以，故选：D【点睛】解题的关键是适当构造函数，再利用导数判断函数单调性，结合题意
10、，求得范围，常见的构造方法有（1）若，构造；（2）若，构造；（3）若，构造；（4）若构造.二.填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应位置上.)13. 若向量且，实数_.【答案】【解析】【分析】利用向量平行的坐标运算公式求解即可.【详解】由得，解得.故答案为：.14. 设、都是锐角，且，则_.【答案】【解析】【分析】由是锐角，求出的值，再由是锐角，得出的值，将角转化成，利用两角和差的余弦公式化简计算，并验证即可.【详解】因为是锐角，所以，因为是锐角，所以，又，所以，所以当时， ，此时，即，与矛盾，舍去，当时， ，符合要求.故答案为：【点睛】本题主要考查了两角和与差的
11、正余弦公式以及同角三角函数基本关系，属于中档题，熟练掌无公式并应用是解题的关键.15. 若函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，则_.【答案】【解析】【分析】根据函数奇偶性与周期性，直接求出结果.【详解】是定义在上的奇函数，又在上的周期为2，.又，.故答案为：.【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与周期性求函数值，属于基础题型.16. 已知函数 的图象关于直线对称，若在区间上任取三个实数a,b,c总能使f(a)， f(b)， f(c)为边长构成三角形，则实数m的取值范围是_.【答案】【解析】分析】化简可得，根据对称性及的范围，可求得的值，即可得的解析式，将题意等价为恒成立，进而可得，且，代入数据
12、，即可求得答案.详解】=，因为的图象关于对称，所以，因为，所以令，解得，所以，当时，所以当时，取得最小值，且，当时，取得最大值，且，任取三个实数a,b,c总能使f(a)， f(b)， f(c)为边长构成三角形，等价为，所以，且，所以，解得，故答案为：【点睛】解题的关键是将题干条件等价为，即，且，结合三角函数图象与性质，进行求解，属中档题.三.解答题：(本大题共6小题，共70分，请将答案写在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 如图，在离地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，求山的高度.【答案】【解析】【分析】先根据题目条件确定出的长度，确定，的度数
13、，然后在中利用正弦定理可求得的长度，然后在直角三角形中确定的长度【详解】解：由题意可知，则,又,所以,中，由正弦定理得,即解得：,则，即山的高度为.【点睛】本题考查解三角形的实际运用，解答的关键在于利用已知条件得出一些边、角的大小，然后利用正弦定理、余弦定理等解三角形，一般已知三角形中的两个角及一边，适合运用正弦定理18. 已知函数为二次函数.的图象过点.对称轴为.函数在上的最小值为.（）求的解析式；（）当 时.求函数的最小值（用表示）.【答案】（）；（）当时.的最小值为；当时.函数的最小值为；当时.的最小值为【解析】【分析】() 设二次函数,根据题意可得，解出可得答案.（）由，则其对称轴方程
14、为，分对称轴与区间的相对位置关系进行讨论可得答案.【详解】（）解：设二次函数的解析式为.其中由题意可知. 解得 所以的解析式为 （）由，则其对称轴方程为.当时.函数在上单调递减.此时的最小值为； 当.即时.函数在上单调递减.在上单调递增.此时的最小值为； 当.即时.函数在上单调递增.此时的最小值为 综上所述.当时.的最小值为；当时.函数的最小值为；当时.的最小值为【点睛】本题考查根据条件求二次函数的解析式，求二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想的应用，属于中档题.19. 已知向量，(其中，) 函数图像相邻两对称轴之间的距离是，且过点.（1）求函数的解析式；（2）若对任意的恒成立，求的取值
15、范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据数量积的坐标表示结合二倍角公式、辅助角公式化简得，利用周期和点可求出和；（2）根据正弦函数的性质求出的最小值，即可求出.【详解】（1） ，由题可得，即，解得，又函数过点，则，解得，；（2），即在的最小值为2，若对任意的恒成立，则，所以.【点睛】关键点睛：本题考查根据三角恒等变换求解析式，考查不等式的恒成立问题，解题的关键是正确利用二倍角公式和辅助角公式化简，解不等式恒成立问题只需求出的最小值即可.20. 如图，D、E分别是的边BC的三等分点，设， .（1）用分别表示；（2）若，求ABC的面积.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1
16、）根据向量的线性运算法则，化简得到，即可求解；（2）由和，集合向量的数量积的运算公式，求得，得到以，结合面积公式，即可求解.【详解】（1）根据向量的线性运算法则，可得，.（2）由，因为，可得,即，又由，解得，所以，所以的面积.【点睛】平面向量的数量积的运算策略：1、定义法：建立一个平面基底，结合向量的线性运算法则表示出向量，利用向量的数量积的定义，即可求解；2，坐标运算法：先建立适当的平面直角坐标系，写出向量的应用坐标，结合坐标运算的公式，即可求解，可起到化繁为简的妙用21. 已知实数，设函数 （1）当时，求函数的单调区间；（2）对任意均有 求的取值范围.注：为自然对数的底数.【答案】（1）的
17、单调递增区间是,单调递减区间是；（2）.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的单调区间即可.(2)由题意首先由函数在特殊点的函数值得到a的取值范围，然后证明所得的范围满足题意即可.【详解】(1)当时，函数的定义域为，且：，因此函数的单调递增区间是,单调递减区间是.(2)由，得，当时，等价于，令，则，设，则，（i）当时，则，记，则列表讨论： x （） 1 （1，+） p（x） 0+ P（x） p（）单调递减 极小值p（1）单调递增 （ii）当时，令，则，故在上单调递增，由（i）得，由（i）（ii）知对任意，即对任意，均有，综上所述，所求的a的取值范围是【点睛
18、】导数是研究函数单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用选考题：共10分.请考生在第、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修：坐标系与参数方程 22. 设曲线C的参数方程为（为参数），直线l的极坐标方程为.（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设P是曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值，并求出距离取最小值时点P的坐标.【答案】（1），；（2），.【解析】【分析】（1）根据参数方程和极坐标方程的知识直接可得答案；（2）设点P的坐标为，然后利用点到直线的距离公式和三角函数的知识可得答案.【详解】（1）由题意，；（2）设点P的坐标为，点P到直线l的距离为d，其中，当时，d取最小值，此时，点P的坐标为.选修4-5：不等式选讲23. 设不等式的解集为M.（1）求集合M；（2）若时，试比较与的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接解出即可；（2）利用作差法比较即可.【详解】（1）由可得，解得所以；（2）时， 所以