1、解一元二次不等式(组)【例1】解不等式5x23x11.2231131512041021142411.|2411xxxxxxxxxxxxxxxx 原不等式组与不等式组同解将它化为，或所以，解得或所以原不等式的解集或【解为析】解一元二次不等式的方法是：先解出相应的一元二次方程的两根a、b(ab)，然后根据不等号方向确定是取axb或x0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围 245 015.1305243011aaaaaxaxxa若 ，即 或 当 时，原不等式化为，该不等式对一切实数 恒成立；当 时，原不等式化为，该不等式对一切实数 不恒成立所以 符【解析】合题意 222245045016(1)12
2、(45)0(5)(1)0(1)(19)015119.1191,192aaaaaaaaaaaaaaaa 若，依题意有即，或所以，所以综上所述，实数 的取值范围是本题是由不等式恒成立求参数的取值范围问题因二次项前面的系数含有字母，故首先需讨论当a24a50时，求出a的两个值未必满足题目要求，所以要验证；当a24a50时，将左边视为一个二次函数，其图象是抛物线，要使不等式恒成立，必须满足两个条件：开口向上，与x轴无交点，这样就将问题转化为解一元二次不等式组，从而使问题得到解决【变式练习2】对任意a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零，求x的取值范围 222222(2)44.(2)44
3、.1,1(4)42(2)440 1,1(1)560(1)32013.|13f xxaxxg axaxxaf xxaxag axaxxgxxg agxxxxxx xx 令 因为对任意，函数 的值恒大于零，所以 在 上恒成立而是一次函数，所以，解得或所以 的取值范围是或【解析】解含参数的不等式【例3】解关于x的不等式ax2(a1)x10.121212010|10(1)(1)011.()0011|1()011x|.2x11axx xaaxxxxaaxxaxxaaxxaa若 ，则不等式变为 ，即解集为 若，则不等式可变为 ，对应方程的两个根分别为 ，若 且 ，即 时，原不等式的解集为 若 且 ，即 时
4、，原不等式的解集为【解析】12()01|1.10()(1)10(1)01(1)111(1)axxx xxaaaaaaaaa 若 ，显然有 ，则原不等式的解集为或综上所述，原不等式的解集为当 时，；当 时，；当 时，；当 时，；当 时，本 题 正 确 解 答 的 关 键 在 于 分类分类时，首先分为a0和a0两种情况，当a0时，要注意比较与1的大小及不等号的方向是否要改变1a【变式练习3】已知aR，解关于x的不等式x2(aa2)xa30.222222222()()0.100110(1)0010|01|10 xa xaaaaaaxaaaaaxaaaxxaax axaax axaaa原不等式化为 当
5、或时，所以原不等式的解为；当时，所以原不等式的解为；当 或 时，原不等式为 或，所以无解综上所述，当或时，原不等式的解【集为；当时，原不等式的解集为；当 或 时，原不等式析】的解集为解21.log13.aa若，则 的取值范围是 _ 2log1log.321,132010.32(1)(0,).3aa aaaaaaa当时，所以；当时，所以 的取值范围是，】【解析2(1)(0)3，12.011(1)()_2axxxa 已知关于 的不等式的解集是，则 01(1)()0.012.aa xxaaaa由已知可得且原不等式等价于由解集特点可得且，【得】解析2 3.若不等式x2(a1)xa0在(1,3)上 有
6、解，则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 _.【解析】方法1：原不等式可化为(x1)(xa)1.所以实数a的取值范围是(1，)(1，)22(1).111021401.(21)f xxaxaafaaaa 设 因为，所以只需，解得所以实数 的取值范围是：，方法4.已知f(x)ax2(b8)xaab，当x(3,2)时，f(x)0；x(，3)(2，)时，f(x)0，求不等式中的参数的取值范围问题，要看清楚题目的要求，再相应求解，不妨“对号入座”：120|00|00|03Mf xMx f xf xMMx f xf xMMx f x 若是的解集，则由来求；若在上有解，则由来求；若在上恒成立，则由来求3从
7、初中的一元二次方程、一元二次函数，到高中的一元二次不等式，跨度之大、连贯性之强、占中学教材版面之多，足以体现新课标对这部分知识的重视零点概念的出现更是给不等式的考查带来新意，它可以更好地将一元二次方程、一元二次函数和一元二次不等式这“三个二次”问题融为一体，也可以为用数形结合的方法解决一元二次函数和一元二次不等式提供更为广阔的空间，以至于近年来“三个二次”问题在高考试题中频繁亮相，所以，复习备考时应给予足够重视4含参数的一元二次不等式的解法，看重考查分类讨论思想，能力要求较高，因此，要引起重视122212()20.由于其解集是(，)，所以(a3)280，即a26a10.由题设知，t1，t2是方
8、程a26a10的两根，故t1t26.答案：6选题感悟：本题主要考查不等式的解法由于已知不等式的解集，因而其本质是解不等式的逆向思维，体现了考生的分析问题和解决问题的能力2(2011扬州期中卷)若关于x的不等式(2x1)2kx2的解集中整数恰好有2个，则实数k的取值范围是_22(4)410(4)410404004.11x,221111,242219 2523(.4 92kxxkxxkkkkkkkk因为原不等式等价于 ，从而方程 的判别式，且有，故又原不等式的解集为且，则一定为所求的整数解，所以，得 的取值范围为【解析】选题感悟：一元二次不等式在考试说明中是“C”要求，是每年高考 的 必 考 内
9、容，考 查 的 形 式 较多本题以含有参数的一元二次不等式为载体，对考生的逻辑思维能力、运算能力要求较高9 25(4 9 答案：2()00,332201,33f xaxbxc abcf xf xaxxaAAa R设函数、满足 的解集为，又 的解集为，启东且，求 的取范围学值(2010中期中卷)22200,309303032222.22.01,3309232066.()77aaxbxcabcbacf xaxxaaxxag xaxxaag xAgaaaa 【解由题意知，且分别为方程 的两个解，所以，所以 ，所以记由于，结合的图象知，要使，只需，即，得所以 的取值范围是，析】选题感悟：本题是在函数、方程、不等式的交汇处立意的，情景非常平凡，但内涵丰富，高考试题一直将三个“二次”的问题作为热点内容来考查6()7a的取值范围是，答案：