1、大二轮理2大二轮 数学 理第二步 高考题型大突破第二讲 填空题速解方法六大方法巧解填空题 第三编 考前冲刺攻略3大二轮 数学 理题型地位数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，填空题的类型一般可分为完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题，这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现填空题的分值一般占全卷的 10.6%左右4大二轮 数学 理题型特点根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：(1)定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等由于填空题和
2、选择题相比，缺少选项的信息，所以高考题多以定量型问题出现(2)定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质，如填写给定二次曲线的焦点坐标、离心率等，近几年又出现了定性型的具有多重选择性的填空题5大二轮 数学 理解题策略数学填空题绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断，几乎没有间接方法可言，更是无从猜答，所以在解填空题时，一般要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步都正确无误，并且还要将答案表达准确、完整合情推理、优化思路、少算多思是快速、准确解答填空题的基本要求，简言之，解填空题的基本原
3、则是“小题不能大做”，基本策略就是“准”“巧”“快”其基本方法一般有直接求解法、图象法和特殊法以及等价转化法等另外，在解答填空题时还应注意以下几点：6大二轮 数学 理(1)结果要书写规范，如分式的分母不含根式，特殊角的函数要写出函数值，近似计算要达到精确度要求等(2)结果要完整，如函数的解析式要写出定义域，应用题不要忘记写单位，求轨迹要排除不满足条件的点等(3)结果要符合教材要求，如求不等式的解集要写成集合或区间的形式，不能只用一个不等式表示.总之，解填空题的基本原则是“直扑结果”7大二轮 数学 理方法一直接法对于计算型的试题，多通过直接计算求得结果，这是解决填空题的基本方法它是直接从题设出发
4、，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题8大二轮 数学 理例1 设 F1，F2 是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的两个焦点，P 是 C 上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为 30，则 C 的离心率为_3解析 设 P 点在双曲线右支上，由题意得|PF1|PF2|6a，|PF1|PF2|2a，故|PF1|4a，|PF2|2a，由条件得PF1F230，由 2asin304asinPF2F1，9大二轮 数学 理得 sinPF2F11，PF2F190，在 RtPF2F1 中，2c 4a22a22
5、 3a，eca 3.10大二轮 数学 理探究提高 直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键.11大二轮 数学 理跟踪训练 1 2016江西南昌调研等差数列an的前 n项和为 Sn，已知 f(x)2x12x1，且 f(a22)sin20143，f(a20142)cos20156，则 S2015_.4030解析 因为 f(x)2x12x1，所以 f(x)2x12x112x2x1，所以 f(x)f(x)0，即 f(x)f(x)因为 f(x)2x12
6、x1122x1，所以 f(x)是 R 上的增函数12大二轮 数学 理因为 f(a22)sin20143sin6713 sin3 32，f(a20142)cos20156cos3366 cos6 32，所以 f(a22)f(a20142)f(2a2014)，所以 a222a2014，所以 a2a20144.所以 S20152015a1a201522015a2a201422015424030.13大二轮 数学 理方法二特例法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列
7、、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例14大二轮 数学 理 例2 2015山东高考名校联考抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，其准线经过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左顶点，点 M 是这两条曲线的一个交点，且|MF|2p，则双曲线的渐近线方程为_y 62 x15大二轮 数学 理解析 由抛物线的定义可知，点 M 到准线 xp2a的距离就是|MF|2p，不妨设点 M 在第一象限，则点 M 的横坐标为3p2，代入 y22px，得点 M3p2，3p，即 M(3a,2 3a)，代入x2a2y2b21 得b
8、2a232，所以双曲线的渐近线方程为 y 62 x.16大二轮 数学 理探究提高 特例法的理论依据：若对所有值都成立，那么对特殊值也成立.我们可以利用填空题不需要过程、只需要结果这一“弱点”，“以偏概全”来求解.17大二轮 数学 理跟踪训练 2 如图，在ABC 中，点 M 是 BC 的中点，过点 M 的直线与直线 AB、AC 分别交于不同的两点 P、Q，若APAB，AQ AC，则11_.2解析 由题意可知，11的值与点 P、Q 的位置无关，而当直线 PQ 与直线 BC 重合时，则有 1，所以112.18大二轮 数学 理方法三图象分析法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合
9、题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形19大二轮 数学 理例3 定义在区间0，2 上的函数 y6cosx 的图象与 y5tan x 的图象的交点为 P，过点 P 作 PP1x 轴于点 P1，直线 PP1 与 ysinx 的图象交于点 P2，则线段 P1P2 的长为_2320大二轮 数学 理解析 如题图所示，线段 P1P2 的长即为 sinxP1 的值，且其中的 xP1 满足 6cosx5tan x，解得 sinx23，即线段 P1
10、P2的长为23.21大二轮 数学 理探究提高 数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维.使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解.22大二轮 数学 理跟踪训练 3 已知函数 f(x)sinx，0 x1，log2014x，x1，若f(a)f(b)f(c)，a，b，c 互不相等，则 abc 的取值范围是_(2,2015)解析 如图，作出函数 f(x)的图象，易知 f(x)sinx 在0,1上的图象关于直线 x12对称，且 f(0)f(1)0，f1
11、2 sin21，所以 f(x)在0,1上的取值范围为0,1设 f(a)f(b)f(c)m，则 0m1，不妨设 abc，则由图可知，A，B 关于直23大二轮 数学 理线 x12对称，故 ab2121.由 a，b，c 互不相等可得f(c)log2014c(0,1)，解得 1c2014，所以 abc1c(2,2015).24大二轮 数学 理方法四 构造法用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻
12、地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的25大二轮 数学 理例4 如图，已知球 O 的球面上有四点 A，B，C，D，DA平面 ABC，ABBC，DAABBC 2，则球 O 的体积等于_ 626大二轮 数学 理解析 如图，以 DA，AB，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球 O 的半径为 R，则正方体的体对角线长即为球 O 的直径，所以|CD|22 22 222R，所以 R 62，故球 O 的体积 V4R33 6.27大二轮 数学 理探究提高 构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构
13、造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决.28大二轮 数学 理跟踪训练 4 2015山东高考命题专家原创设 f(x)是定义在(0，)上的函数，其导函数为 f(x)，且 f(x)f(x)，则关于 x 的不等式 xf(1)ef(ln x)的解集为_(1，e)解析 设函数 g(x)fxex，则 g(x)exfxexfxex2fxfxex0 时，不等式 xf(1)f1e，即fln xeln x f1e，所以 0ln x1，即 1xcosx，给出下列四个结论：该函数是以 为最小正周期的周期函
14、数；当且仅当 xk(kZ)时，该函数取得最小值1；该函数的图象关于 x54 2k(kZ)对称；当且仅当 2kx22k(kZ)时，0f(x)22.其中正确结论的序号是_(请将所有正确结论的序号都填上)31大二轮 数学 理解析 如图所示，作出 f(x)在区间0,2上的图象由图象易知，函数 f(x)的最小正周期为 2；在 x2k(kZ)和 x32 2k(kZ)时，该函数都取得最小值1，故错误由图象知，函数图象关于直线 x54 2k(kZ)对称；当且仅当 2kx22k(kZ)时，0f(x)22，故正确32大二轮 数学 理探究提高 正反互推法适用于多选型问题，这类问题一般有两种形式，一是给出总的已知条件
15、，判断多种结论的真假；二是多种知识点的汇总考查，主要覆盖考点功能.两种多选题在处理上不同，前者需要扣住已知条件进行分析，后者需要独立利用知识逐项进行判断，利用正反互推结合可以快速解决这类问题.33大二轮 数学 理跟踪训练 5 已知 f(x)为定义在 R 上的偶函数，当 x0时，有 f(x1)f(x)，且当 x0,1)时，f(x)log2(x1)，给出下列命题：f(2013)f(2014)的值为 0；函数 f(x)在定义域上是周期为 2 的周期函数；直线 yx 与函数 f(x)的图象有 1 个交点；函数 f(x)的值域为(1,1)其中正确的命题序号有_ 解析 根据题意，可在同一坐标系中画出直线
16、yx 和函数 f(x)的图象如下：34大二轮 数学 理根据图象可知f(2013)f(2014)0 正确，函数 f(x)在定义域上不是周期函数，所以不正确，根据图象确实只有一个交点，所以正确，根据图象，函数 f(x)的值域是(1,1)，正确.35大二轮 数学 理方法六 归纳推理法对于概念与性质的判断等类型的填空题，应按照相关的定义、性质、定理等进行合乎逻辑的推理和判断，尤其是新定义型问题，必须进行严密的逻辑推理，才能得到正确的结果36大二轮 数学 理例6 2015湖北八校联考设数列an共有 n 项(n3，且 nN*)，且 a1an1，对于每个 i(1in1)均有ai1ai 13，1，3.(1)若
17、 n3，则满足条件的所有数列an的个数为_；(2)若 n10，则满足条件的所有数列an的个数为_3 313937大二轮 数学 理解析(1)因为a2a113，1，3，a3a213，1，3，a1a31，所以 a213，1，3，1a213，1，3，所以 a213或 a21 或a23.所以满足条件的所有数列an的个数为 3.(2)令 biai1ai(1i9)，则 b1b2b9a2a1a3a2a10a9 a10a11，且 bi13，1，3(1i9)易知符合上述条件的项数为 9 的数列bn可唯一确定一个符合条件的项数为 10 的数列an。38大二轮 数学 理记符合条件的数列bn的个数为 N，显然 b1，b
18、2，b9 中有 k 个 3，k 个13，92k 个 1.当 k 给定时，bn的取法有 Ck9Ck9k种，又易得 k 的所有可能值为 0,1,2,3,4，故 N1C19C18C29C27C39C36C49C453139.所以满足条件的所有数列an的个数为 3139.39大二轮 数学 理探究提高 推理法多用于新定义型填空题，只要能读懂题意，认真归纳类比即可得出结论，但在推理过程中要严格按照定义的法则或相关的定理进行，关键是找准归纳的对象.40大二轮 数学 理跟 踪 训 练 6 已 知 12 16 123,12 22 16235,12 22 32 16 347,12 22 32 42 16459，则 1222n2_(其中 nN*)16n(n1)(2n1)41大二轮 数学 理解析 根据题意归纳出 1222n216n(n1)(2n1)，下面给出证明：(k1)3k33k23k1，则 2313312311,3323322321，(n1)3n33n23n1，累加得(n1)3133(1222n2)3(12n)n，整理得 1222n216n(n1)(2n1)，故填16n(n1)(2n1).