1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系 章末复习 高中数学必修2人教A版 知识网络第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修要点归纳第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修1线线关系空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况(1)证明线线平行的方法线线平行的定义；公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；线面平行的性质定理：a，a，bab；要点归纳第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修线面垂直的性质定理：a，bab；面面平行的性质定理：，a，bab.(2)证明线线垂直的方法线线垂
2、直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线；线面垂直的性质：a，bab；线面垂直的性质：a，bab.要点归纳第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修2线面关系直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种(1)证明直线与平面平行的方法线面平行的定义；判定定理：a，b，aba；平面与平面平行的性质：，aa.要点归纳第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修(2)证明直线与平面垂直的方法线面垂直的定义；判定定理 1：m，n，mnAlm，lnl；判定定理 2：ab，ab；面面平行的性质定理：，aa；面
3、面垂直的性质定理：，l，a，ala.要点归纳第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修3面面关系两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种(1)证明面面平行的方法面面平行的定义；面面平行的判定定理：a，b，a，b，abA；线面垂直的性质定理：a，a；公理 4 的推广：，.要点归纳第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修(2)证明面面垂直的方法面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角；面面垂直的判定定理：a，a.4证明空间线面平行或垂直需注意的三点(1)由已知想性质，由求证想判定(2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一(3)用定理时要先明
4、确条件，再由定理得出相应结论要点归纳第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修5“升降维”思想用降维的方法把空间问题转化为平面或直线问题，可以使问题得到解决用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空间推广，可以从已知探索未知，是“学会学习”的重要方法平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修题型一 空间中的平行关系 在本章中，空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从
5、“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理特别注意，转化的方法总是由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律如下图所示是平行关系相互转化的示意图题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修例1 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB平面ABCD，MAPB，PB2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置
6、关系知识网络要点归纳题型研修解 当点 F 是 PB 的中点时，平面 AFC平面 PMD，证明如下：如图连接 AC 和 BD 交于点 O，连接 FO，那么 PF12PB.四边形 ABCD 是平行四边形，O 是 BD 的中点OFPD.又OF平面PMD，PD平面PMD，OF平面PMD.题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修又 MA 綉12PB，PF 綉 MA.四边形 AFPM 是平行四边形AFPM.又 AF平面 PMD，PM平面 PMD.AF平面 PMD.又 AFOFF，AF平面 AFC，OF平面 AFC.平面 AFC平面 PMD.题型研修第二章 点、直线、平面之间的位
7、置关系知识网络要点归纳题型研修跟踪演练1(2013辽宁高考)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点(1)求证：BC平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG平面PBC.题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修证明(1)由AB是圆O的直径，得ACBC，由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修(2)连接OG并延长交AC于点M，连接QM，QO，由G为AOC的重心，得M为AC中点由Q为PA中
8、点，得QMPC，又O为AB中点，得OMBC.因 为 QMMO M，QM 平 面 QMO，MO 平 面 QMO，BCPCC，BC平面PBC，PC平面PBC，所以平面QMO平面PBC.因为QG平面QMO，所以QG平面PBC.题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修题型二 空间中的垂直关系 空间垂直关系的判定方法：(1)判定线线垂直的方法：计算所成的角为 90(包括平面角和异面直线所成的角)；线面垂直的性质(若 a，b，则 ab)(2)判定线面垂直的方法：线面垂直定义(一般不易验证任意性)；线面垂直的判定定理(ab，ac，b，c，bcMa)；题型研修第二章 点、直线、平面
9、之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修平行线垂直平面的传递性质(ab，ba)；面面垂直的性质(，l，a，ala)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(l，l)(3)面面垂直的判定方法：根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90)；面面垂直的判定定理(a，a)题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修例 2(2014九江高一检测)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，A1B1A1C1，D，E 分别是棱 BC，CC1 上的点(点 D 不同于点 C)，且 ADDE，F 为 B1C1 的中点求证：(1)平面 ADE平面 BCC1B1；(2)直线 A1F平面
10、ADE.题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修证明(1)因为 ABCA1B1C1 是直三棱柱，所以 CC1平面 ABC.又 AD平面 ABC，所以 CC1AD.又因为 ADDE，CC1，DE平面 BCC1B1，CC1DEE，所以 AD平面 BCC1B1.又 AD平面 ADE，所以平面 ADE平面 BCC1B1.题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修(2)因为 A1B1A1C1，F 为 B1C1 的中点，所以 A1FB1C1.因为 CC1平面 A1B1C1，且 A1F平面 A1B1C1，所以 CC1A1F.又因为 CC1，B1C1平面
11、BCC1B1，CC1B1C1C1，所以 A1F平面 BCC1B1.由(1)知 AD平面 BCC1B1，所以 A1FAD.又 AD平面 ADE，A1F平面 ADE，所以 A1F平面 ADE.题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修跟踪演练 2(2014黄石高一检测)如图，A，B，C，D 为空间四点在ABC 中，AB2，ACBC 2，等边ADB 以AB 为轴转动(1)当平面 ADB平面 ABC 时，求 CD；(2)当ADB 转动时，是否总有 ABCD？证明你的结论题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修解(1)取 AB 的中点 E，连接 DE
12、，CE，因为ADB 是等边三角形，所以 DEAB.当平面 ADB平面 ABC 时，因为平面 ADB平面 ABCAB，所以 DE平面 ABC，可知 DECE，由已知可得 DE 3，EC1，在 RtDEC 中，CD DE2EC22.题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修(2)当ADB 以 AB 为轴转动时，总有 ABCD.证明如下：当 D 在平面 ABC 内时，因为 ACBC，ADBD，所以 C，D 都在线段 AB 的垂直平分线上，即 ABCD.当 D 不在平面 ABC 内时，由(1)知 ABDE.又因 ACBC，所以 ABCE.又 DE，CE 为相交直线，所以 AB
13、平面 CDE，由 CD平面 CDE，得 ABCD.综上所述，总有 ABCD.题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修题型三 空间角的计算 空间中的角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角(简称线线角、线面角、面面角)用直接法：求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)(3)二面角的平面角的作法常有三种：定义法；垂线法；垂面法题型
14、研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修例 3 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，ADPD，BC1，PC2 3，PDCD2.(1)求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值；(2)证明平面 PDC平面 ABCD；(3)求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修(1)解 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，因为底面 ABCD是矩形，所以 ADBC 且 ADBC.故PAD 为异面直线 PA与 BC 所成的角又因为 ADPD，在 RtPDA 中，tanPADPDAD2，所以异面直
15、线 PA 与 BC 所成角的正切值为 2.题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修(2)证明 由于底面 ABCD 是矩形，故 ADCD.又因为 ADPD，CDPDD，所以 AD平面 PDC.而 AD平面 ABCD，所以平面 PDC平面 ABCD.(3)解 在平面 PDC 内，过点 P 作 PECD 交直线 CD 于点E，连接 EB.由于平面 PDC平面 ABCD，而直线 CD 是平面 PDC 与平面 ABCD 的交线，故 PE平面 ABCD.由此得PBE 为直线PB 与平面 ABCD 所成的角在PDC 中，由于 PDCD2，PC2 3，可得PCD30.题型研修第二章
16、 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修在 RtPEC 中，PEPCsin 30 3.由 ADBC，AD平面 PDC，得 BC平面 PDC，因此 BCPC.在 RtPCB 中，PB PC2BC2 13.在 RtPEB 中，sinPBEPEPB 3913.所以直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 3913.题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修跟踪演练 3 如图，正方体的棱长为 1，BCBCO，求：(1)AO 与 AC所成角的度数；(2)AO 与平面 ABCD 所成角的正切值；(3)平面 AOB 与平面 AOC 所成角的度数题型研修第二章 点
17、、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修解(1)ACAC，AO 与 AC所成的角就是OAC.AB平面 BC，OC平面 BC，OCAB，又 OCBO，ABBOB.OC平面 ABO.又 OA平面 ABO，OCOA.在 RtAOC 中，OC 22，AC 2，sinOACOCAC12，OAC30.即 AO 与 AC所成角的度数为 30.题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修(2)如图，作 OEBC 于 E，连接 AE.平面 BC平面 ABCD，OE平面 ABCD，OAE 为 OA 与平面 ABCD 所成的角在 RtOAE 中，OE12，AE12122 52，ta
18、nOAEOEAE 55.题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修(3)OCOA，OCOB，OAOBO，OC平面 AOB.又OC平面 AOC，平面 AOB平面 AOC.即平面 AOB 与平面 AOC 所成角的度数为 90.题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修题型四 等价转化思想 通过添加辅助线或面，将空间几何问题转化为平面几何问题，这是一种降维转化思想线线、线面、面面的位置关系可以相互转化，使它们建立联系，揭示本质点面距、线面距、面面距、点线距之间也可相互转化例如求点面距时，可沿平行线平移，找到一个合适的点求点面距离，这就体现了“点面距
19、线面距点面距”的转化思想题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修例 4(2014衡水高一检测)如图所示，矩形 ABCD 中，AB6，BC2 3，沿对角线 BD 将ABD 折起，使点 A 移至点 P，P 在平面 BCD 内的射影为 O，且 O 在 DC 上(1)求证：PDPC；(2)求二面角 PDBC 的平面角的余弦值题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修(1)证明 P 在平面 BCD 内的射影为 O，则 PO平面 BCD，BC平面 BCD，POBC.BCCD，CDPOO，BC平面 PCD.DP平面 PCD，BCDP.又DPPB，PBBC
20、B，DP平面 PBC.而 PC平面 PBC，PDPC.题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修(2)解 PBD 在平面 BCD 内的射影为OBD，且 SPBD1262 36 3，SOBDSCBDSBOC6 3122 3OC.在 RtDPC 中，PC2DC2DP224.题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修设 OCx，则 OD6x，PC2OC2DP2DO2，即 24x212(6x)2.解得 x4.SBOD6 34 32 3.过点 P 作 PQDB，连接 OQ，则 DB平面 OPQ，OQP 即为二面角 PDBC 的平面角，cosOQPSBO
21、DSPBD2 36 313.所以二面角 PDBC 的平面角的余弦值为13.题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修跟踪演练 4 如图所示，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，底面边长为 2 2，侧棱长为 4，E，F 分别为棱 AB，BC 的中点，EFBDG.(1)求证：平面 B1EF平面 BDD1B1；(2)求点 D1 到平面 B1EF 的距离题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修(1)证明 连接 AC.正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面是正方形，ACBD.又 ACDD1，且 BDDD1D，故 AC平面 BDD1B1，E，F
22、 分别为棱 AB，BC 的中点，故 EFAC，EF平面BDD1B1，又EF平面 B1EF，平面 B1EF平面 BDD1B1.题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修(2)解 由(1)平面 B1EF平面 BDD1B1 且交线为 B1G，所以作 D1HB1G 于 H，则 D1H平面 B1EF，即 D1H 为 D1 到平面 B1EF 的距离B1D1BD，D1B1HB1GB，sinD1B1HsinB1GB44212 417.D1B1H 中，D1B14，sinD1B1H 417，D1H 161716 1717.题型研修第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识网络要点归纳题型研修转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为
