1、向量的数量积的概念【例1】设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题(ab)c(ca)b0；|a|b|ab|；(bc)a(ca)b不与c垂直；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中是真命题的有_【解析】对于，b与c是不共线的两个非零向量，且ab与ca不能都为零，故错误对于，由三角形的两边之差小于第三边知正确对于，由向量的数量积的运算法则，得(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0，所以(bc)a(ca)bc，故错误对于，由于(3a2b)(3a2b)9a24b29|a|24|b|2，故正确答案：判断上述问题的关键是掌握向量的数量积的含义向量的数量积的运
2、算律不同于实数乘法的运算律例如，由ab0并不能得出a0或b0.特别是向量的数量积不满足结合律，即(ab)ca(bc)【变式练习1】下列命题中正确的个数是_.若ab0，则a0或b0；(ab)ca(bc)；若abbc(b0)，则ac；abba；若a与b不共线，则a与b的夹角为锐角【解析】当a0时，由ab0/b0，且对任意与a垂直的非零向量b，都有ab0，故错(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a通常并不是共线的，故错设a与b的夹角为，b与c的夹角为，则由abbc，得|a|cos|c|cos/ac，故错由于向量数量积满足交换律，故正确向量的夹角是指两向量起点相
3、同时两个方向所成的角，可为0，180范围内的角，故错答案：1向量的夹角 137547223524ab已知，是两个非零向量，且 与 垂直，与垂直试求 与 的夹角大小；已知，和 的夹角为，求使向量 与 的夹角是钝角时的取值【例】范围abababababa2 bababab 2222222222375(3)(75)0716150.472(4)(72)073080.46232.112cos.|201bb因为 与 垂直，所以 ，即 又因为 与垂直，所以 ，即 得，即代入可得，即设 与 的夹角为，则【又因为，所解析】ababababaa bbababababaa bbaba bbababaa baaba.
4、2以 222222222cos453 23.2()()0()0.32 9 113113011851185662由已知，得因为 与 的夹角是钝角，所以，且 与 不共线由得把，代入得，解得a babababababababa baba ba babab()111.1.11851185|166 又若 与 共线，则有 ，即 且 ，解得 或 所以 与 不共线时，有综上知，的取值范围是且 abababababab数量积的定义和性质是解决垂直问题与夹角问题的重要方法(1)题中通过垂直的充要条件，得到|a|b|，这是本题的突破口在等式2abb2中，不能“约去b”，得出“2ab”，注意这一点与实数乘法不同(2)
5、题中，向量的夹角范围是0，并且注意a2|a|2及夹角公式的应用同时，a与b的夹角是钝角，可以得到ab0，但这并不是a与b的夹角为钝角的充要条件因为a与b的夹角是180时也有ab0.因此第二问要排除掉a与b反向的情形想一想：若a与b的夹角是锐角时又要注意什么呢？【变式练习2】已知a和b的夹角为60，|a|10，|b|8，求：(1)|ab|；(2)ab与a的夹角的余弦值 2222|2|cos60?1108122 10 822 61.7 61cos|61102 61 【解析】2222ababa2a bbababaabaa baab向量的平行与垂直【例3】设 向 量 a (4cos，sin)，b (s
6、in，4cos)，c(cos，4sin)(1)若a(b2c)，求tan()的值；(2)求|bc|的取值范围；(3)若tantan16，求证ab.【解析】(1)b2c(sin2cos，4cos8sin)，a(b2c)4cos(sin2cos)sin(4cos8sin)4sin()8cos()0.所以tan()2.22(sincos4cos4sin)|(sincos)(4cos4sin)1715sin 2()|24()|4 2.4|2,4 2.4cossintantan16,sin4cos/.23kkZkkZ，当，有最小值；当，有最大值所以的取值范围是由，得所以bcbcbcbcbcab向量的平行与
7、垂直问题是高考的热门话题，要牢记向量平行与垂直的充要条件，根据已知条件灵活运用 1,212 5/532222.已知、是同一个平面内的三个向量，其中 若，且，求 的坐标；若，且【变式练 与习垂直，求与角】的夹abcaccacbababab 222222()2 52 520./1,2202.222.20442,441(2)cxyxyxyxyyxyxxxxyyy 设 ，因为，所以，所以 因为，所以 ，即 由，解得或所以【解析或，】ccaacc 2222222(2)(2)(2)(2)023202320*55()*45525 320.42552.cos1.2|552.20因为 ，所以 ，即，所以因为，将
8、它们代入中，得，所以因为，所以因为，所以 ababababaa bbaa bb5ab2a ba ba ba5 bab综合应用 213(31)()2212(324)3ktxtyktxykf tkf t已知平面向量，证明：；若存在实数 和，使 ，且，试求函数关系式；根据的结论，【确定 的单调区间例】abababab 2222330.2 3333 32()2213(3)222 331(3)2233 323()022133401.1442ttxytktktxyx ytkttkttkktt证明：因为，所以由题意知，又，故 ，整理得 ，方法【解析】即：33a bab22 222333213(31)(,),
9、2221.0(3)013340.44132,44333(1)(1)444011011.(1,1)23xyx ykt tttkkttkf tttkfttttktkttkf t因为，所以，且因为，所以，即，所以 ，即 由知 则 令 ，得 ；令 ，得 或 故 的单调递减区间是，单调递增是方区间法：abababab(1)(1)，和，本例是向量、函数、导数应用的典型例子第(2)问中两种解法是解决向量垂直的常见方法：方法1是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；方法2是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的(但运算过程大大简化
10、，值得注意)第(2)问中求函数的单调区间运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用 4(2)0.122 3ABCABCabcac BC BCcCA CBBbAB CB设的三个内角、所对的边分别为、，且满足求角【变式练习】的盐大小；若，求的最小值(2010 城三模)(2)0(2)coscos00(2)coscos0(2sinsin)cossin cos02sin cossin()02sin cossin012co.21s3ac BC BCcCA CBac acBcabCacacBbCACBBCABCBABABB因为，所以，因为，所以，则，所以，即，所以【解析】2222222cos,312
11、3421cos232“”.22bacacacacacacAB CBacacacAB CB因为 所以 ，所以，当 时取得 ，故的最小值为1._2.2,110|5 2,|_化简的结果是已知向量，则ab a cc a baa babb0 522222,15.|5 2()50250255.因为，所以因为，所以 ，即，得，所以【析】解aaababaabbbb23133.(3,1)(,)22(3)340 xyxxxy 已知，且 ，则 与 的夹角等于_ _ _ _ _mpumpvmpuv22222410(3)4(3)0.2yx xyx x，所以【解 ，所以析与 的夹角等】于2mpm pu vmpuv24.(
12、21)3,2(31).ABCABCBCADDAD已知中，边上的高为，求点 的坐标和向量000000000000()(21)(63)(32)6231062330/11,1(1,2)1D xyADxyBCBDxyxyADBCyxBCBDxDADy 设，则，因为，所以，解得，所以，则【解析】5.1,75,12,1121cosOAOBOPXOPXA XBOXXAXB平面内有向量，点 为直线上的一个动点当取最小值时，求的坐标；当点 满足的条件和结论时，求的值()2,1202(2)1,7(12,71)(52,1)OXxyXOPOXOPOPxyxyOXyyXA OAOX OAXAyyXB OBOXyy设，因
13、为点 在直线上，所以向量与共线又，所以 ，即 ，所以，又，所以 同样，析】【解 22(12)(52)(7)(1)520125(2)8.284,24,22(3,5)(11)34,2,c2osXA XByyyyyyyyXA XBOXOXyXAXBXAXBXA XBAXBXA于是 所以，当 时，有最小值，此时当，即 时，有，所以所以4 1717XB1两向量的夹角：如图，AOB(0180)叫做向量a与b的夹角当0时，a与b同向；当180时，a与b反向；当90时，a与b垂直，记作ab.2向量的数量积的几何意义：对于ab|a|b|cos，其中|b|cos叫向量b在a方向上的射影(为a、b的夹角)，向量的数
14、量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cos的乘积当为锐角时，值为正；当为钝角时，值为负；当为直角时，值为零；当为零时，值为|a|b|；当为180时，值为|a|b|.21212112222221122 3|cos().cos|()()|.1234abx xy yxyxyx yx y 向量的数量积的性质：为 与 的夹角；若 与 同向，则；若 与 反向，则特别地，或若 为 与 的夹角，则已知，e aa eaaeaba ba baba ba ba aaaa aa bababa ba b4运用平面向量的数量积应该注意以下几个方面：(1)两个向量的夹角的取值范围为0，180；(2)两向量的
15、数量积是一个数，而不是一个向量，并且数量积是向量间的一种乘法，与以前所学的乘法是有区别的，书写时要区分开；(3)当a0时，ab0不能推出b一定是零向量，因为当ab(a0)时，ab0；(4)用向量的数量积可解决有关长度、角度和垂直的问题；(5)对于实数abbc(b0)ac；但对于向量，由abbc不能得到ac；(6)向量的数量积只适合交换律、加法分配律、数乘向量结合律，不适合乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，因(ab)c表示与c共线的向量，而a(bc)表示与a共线的向量13|2 2_1(2010)_.2南通一模卷 设向量，满足：，则abaa babb答案：2选题感悟：向量的数量积在考试
16、说明中 是“C”级 要 求，是 每 年 高 考 的 重点在填空题中多以直接应用或变用数量积公式为主，属容易题4_2ABCDACCA AB在菱形中，若，则(2010泰州三模卷)()428.ACBDOCA ABCAAOOBCA AOOB CA AO设与相交于，【】解析答案：8选题感悟：平面向量经常与平面图形的几何性质相联系，将向量进行转化，化为共线或垂直向量的数量积是常用手段 (12)2,3(21)12()?30 xOyABCABACtABtOC OCt在平面直角坐标系中，已知点，求以线段，为邻边的平行四边形的两条对角线长；设实数 满足，求 的值苏(2010江高考卷)3,5(1,1)2,64,42 10,4 24 2,2 10.(21)(32,5)()12ABACABACABACABACABACOCABtOCttABtOCOC由题设知，则，所以，故所求的两条对角线长分别为由题设知 ，【解，由析】0(32,5)(21)011511.5tttt得，从而，所以 选题感悟：平面向量的几何意义、线性运算、数量积是高考考查的热点，主要出现在解答题第一题中