1、3.1.2用二分法求方程的近似解教学设计 一、教学内容分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学1必修本（A版）的第三章3.1.2用二分法求方程的近似解本节课要求学生结合具体的函数图象能够借助计算机或计算器用二分法求相应方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系，它既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，在教学过程要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步。二、学生学习情况分析学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和
2、超越方程对应函数零点的寻求会有困难另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题三、设计思想倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识；与时俱进地认识“双基”，强调数学的内在本质，注意适度形式化；在教与学的和谐统一中体现数学的文化价值；注重信息技术与数学课程的合理整合.四、教学目标知识与技能目标：（1）了解二分法是求方程近似解的一种方法。 （2）体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识。 （3）根据具体函数的图像，能够借助计算器或计算机用二分法求相应方程的近似解。过程与方法目标： （1）通过经历“用
3、二分法求方程近似解”的探索过程，初步体会数形结合思想、逼近思想等。（2）通过设置数学学习环境，让学生了解更多的获取知识的手段和途径。情感态度与价值观目标：（1）在具体的问题情境中感受无限逼近的过程，感受精确与近似的相对统一。（2）在探究解决问题的过程中，培养学生合作的态度、表达与交流的意识和勇于探索的精神。 五、教学重、难点：重点：二分法基本思想的理解，用二分法求方程近似解的步骤。难点：求方程近似解一般步骤的理解和概括。六、教学过程设计（一）、复习回顾，承上启下复习什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？零点个数的求法？设计意图：回归课本，抓好基础（二）、创设情景，揭示课题 提出问题：（1）
4、一元二次方程可以用公式求根，但是没有公式可以用来求解方程x2x6=0的根；联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求根呢？（图像法和零点定理）（2）通过前面一节课的学习，函数f(x)=x2x6在区间（2,3）内有零点；进一步的问题是，如何找到这个零点呢？精确度0.01的解呢？设计意图：1开门见山，延续上一节课的内容继续深入地研究，使得知识有一个链接，让学生能够很容易地将新知识建构到旧的知识体系中 2运用问题，将学生的思路与前面已解决的问题联系起来，引导学生层层深入，抽丝拨茧，学习如何分析问题、如何利用新的知识解决问题；培养学生分析问题、解决问题的能力，以及运用知识、驾驭知识的
5、能力 （三）情景导入、展示目标。探究任务：二分法的思想及步骤提出问题1：有16枚硬币，质量均匀，只有一个假币是比别的轻，你用天平称几次可以找出这个假币，要求次数越少越好,解法：第一次，两端各放 个球，高的那一端一定有假币；第二次，两端各放 个球，高的那一端一定有假币；第三次，两端各放 个球，高的那一端一定有假币；第四次，两端各放 个球，高的那一端的一定是假币；设计意图：1.学生能够主动参与游戏，并且参与游戏的同学可以比较并总结经验学生会有很多种方案此时教师通过“问题1”引导学生进行比较哪种方法更快更好从中学生可以得到用二分法解决问题的思路二分指的是将解所在区间平均地分为两个区间.2. 培养学生
6、联系实际的能力，让学生体会数学与实际生活的密切联系 （四）引导探究，获得新知思考：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方法，解决问题2：寻找直管中的珍珠，直管中藏有一颗珍珠，你能用手中的工具将它找出来吗，要求次数越少越好，解法：生：如果能够将珍珠所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.师：如何有效缩小根所在的区间？生1：通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围生2：是否也可以通过“取三等分点或四等分点”的方法逐步缩小零点所在的范围？师：很好，一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，可以得到零点的近似值.其实“取
7、中点”和“取三等分点或四等分点”都能实现缩小零点所在的范围.但是在同样可以实现缩小零点所在范围的前提下，“取中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更简便.因此，为了方便，下面通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.引导学生分析理解求区间的中点的方法 合作探究：（学生3人一组互相配合寻找珍珠）第一次： 第二次： 第三次： 第四次： 设计意图： 1让学生在游戏中和教师的指导下学会发现问题、分析问题，初步体会极限思想 2引导学生从具体的实例出发，总结出一般性的规律，符合学生的思维意识，并让学生充分体会二分法思想 3引导学生将函数零点的近似值求出来，让学生体会精确度的作用（五）例题剖析，巩固
8、新知例1：求方程x2x6=0的近似解(精确度为0.0 1)。解：分别画出函数y=lnx和y=-2x+6的图象，这两个图象交点的横坐标就是方程lnx2x6 的解，由图象可以发现，方程有惟一解，记为 ,并且这个解在区间（2,3）内。设函数f(x)lnx+2x6,用计算器计算得：因为f(2)0 所以(2,3) 取中点2.5 因为f(2.5)0 所以(2.5,3) 取中点2.75因为f(2.5)0 所以(2.5,2.75) 取中点2.625因为f(2.5)0 所以(2.5,2.625) 取中点2.5625因为f(2.5)0 所以(2.5,2.5625) 取中点2.53125因为f(2.53125)0
9、所以(2.53125,2.5625) 取中点2.546875因为f(2.53125)0 所以(2.53125,2.546875) 取中点2.5390625因为f(2.53125)0 所以(2.53125,2.5390625)x=2.53125为函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内的零点近似值，也即方程lnx=2x6的近似解2.53。思考提问：你手中的管子总长相当于区间（2，3）；在检验珍珠宝石在哪段管子时相当于零点定理；木棍是近似值；宝石是方程的近似解问题3：对于其他函数，如果存在零点是不是也可以用这种方法去求它的近似解呢？ 引导学生把上述方法推广到一般的函数，经历归纳方法的一般性
10、过程之后得出二分法及用二分法求函数的零点近似值的步骤 对于在区间，上连续不断且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法给定精确度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：1、确定区间，验证，给定精确度；2、求区间，的中点；3、计算：（1）若=，则就是函数的零点；（2）若，则令=（此时零点）；（3）若，则令=（此时零点）；4、判断是否达到精确度：即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤24口诀定区间，找中点， 中值计算两边看.同号去，异号算， 零点落在异号间.周而复始怎么办? 精确度上来判断.设计意图：从特殊到一般，揭
11、示数学通常的发现过程，给学生“数学创造”的体验这种教学方式易于学生接受和形成二分法的算法思想与计算原理思考：问题（1）：用二分法只能求函数零点的“近似值”吗？问题（2）：是否所有的零点都可以用二分法来求其近似值？教师有针对性的提出问题，引导学生回答，学生讨论，交流. 反思二分法的特点，进一步明确二分法的适用范围以及优缺点，指出它只是求函数零点近似值的“一种”方法.（六）尝试练习，检验成果：1、下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )设计意图：引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，进一步明确二分法的适用范围设计意图：让学生体会一
12、分为二的过程3、借助计算器或计算机，利用二分法求方程的近似解.解析：如何进一步有效的缩小根所在的区间。解：原方程即为，令，用计算器或计算机作出对应的表格与图象（见课本90页）则，说明在区间内有零点，取区间的中点，用计数器计算得，因为，所以.再取区间的中点，用计数器计算得，因为，所以.同理可得由于所以方程的近似解可取为(在教学中教师要引导学生利用二分法逐步寻求函数零点的近似值，注意规范方法、步骤与书写格式学生要根据二分法的思想与步骤独立完成思考，并进行交流、讨论、评析)设计意图：该例题是对这节课前面所学知识和数学思想的综合运用和巩固，解题过程体现了数学表达的简洁性和数学思维的严谨性，也体现了函数
13、思想在解方程中的应用（七）课堂小结，回顾反思以学生发言的形 式对本堂课进行小结，教师归纳强调：今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获和经验？课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。函数与方程的思想；二分法求方程的近似解；（算法的思想）（八）课外作业1根据下表，能判断方程f(x)g(x)有实数解的区间是()x10123f(x)0.6773.0115.4325.9807.651g(x)0.5303.4514.8905.2416.892A.(1,0) B(0,1) C(1,2) D(2,3) 2下列函数中不能用二
14、分法求零点的是()Af(x)3x1Bf(x) Cf(x)|x| Df(x)lnx3.拓展作业在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们相同的假币(重量较轻)，现在只有一台天平，请问：最多几次就可以发现这枚假币？六、板书设计3.1.2 用二分法求方程的近似解一、复习什么叫零点？零点的等价性？ 1、二分法的定义：零点存在性定理？ x2x6=0 2、二分法求函数零点的步骤： 二、例1 七、教学反思整个过程让学生通过自主探索、合作交流，亲身经历了“情境思考”“提出问题”“研究特例”“实验探究”“理论探究”“解决问题”“反思总结”的历程，增强学习数学的信心，体验学习数学的乐趣.使学生成为利用二分法求方程近似解的“发现者”和“创造者”。