1、第二章 数列 2.4 等比数列 第1课时 等比数列 学 习 目 标核 心 素 养 1.理解等比数列的定义(重点)2.掌握等比数列的通项公式及其应用(重点、难点)3.熟练掌握等比数列的判定方法(易错点)1.通过等比数列的通项公式及等比中项的学习及应用，体现了数学运算素养2.借助等比数列的判定与证明，培养逻辑推理素养自 主 预 习 探 新 知 1等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比等于 ，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母 q 表示(q0).(2)符号语言：an1an (q 为常数，q0，nN*).2同一常数公比q思考：能将
2、定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？提示 不能2等比中项(1)前提：三个数 a，G，b 成等比数列(2)结论：叫做 a，b 的等比中项(3)满足的关系式：G2 Gab思考：当 G2ab 时，G 一定是 a，b 的等比中项吗？提示 不一定，如数列 0，0，5 就不是等比数列3等比数列的通项公式一般地，对于等比数列an的第 n 项 an，有公式 an 这就是等比数列an的通项公式，其中 a1 为首项，q 为公比4等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为 ana1q qn，而 ya1q qx(q1)是一个不为 0 的常数a1q 与指数函数 qx 的乘积，从图象上看，表
3、示数列a1q qn中的各项的点是函数 ya1q qx 的图象上的 点a1qn1孤立思考：除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式？提示 还可以用累乘法当 n2 时，anan1q，an1an2q，a2a1q，ana1a2a1a3a2an1an2 anan1a1qn1.C 设 2 3和 2 3的等比中项为 a，则 a2(2 3)(2 3)1.即 a1.12 3和 2 3的等比中项是()A1 B1 C1 D2 222 32222，所以不是等比数列；是首项为1a，公比为1a的等比数列；中，当 s1 时，数列为 0，0，0，0，0，所以不是等比数列；显然不是等比数列2下列数列为等比数
4、列的序号是 2，22，322；1a，1a2，1a3，1a4，1a5(a0)；s1，(s1)2，(s1)3，(s1)4，(s1)5；0，0，0，0，0.12 由定义知a2a1a3a2a4a3a5a4q，则a2a1q2，a5a4qa3q2a2q3a1q414，所以得q318，所以q12.3等比数列an中，a22，a514，则公比q 合 作 探 究 释 疑 难【例 1】在等比数列an中(1)a112，q12，an 132，求项数 n；(2)已知 a320，a6160，求 an.等比数列的通项公式及应用解(1)因为 ana1qn1，所以1212n1 132，即12n125，解得 n5.(2)设等比数列
5、的公比为 q，那么a1q220，a1q5160，解得q2，a15.所以 ana1qn152n1.1等比数列的通项公式涉及 4 个量 a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1 和 q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解2关于 a1 和 q 的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于 a1，q 的方程组，求出 a1，q 后再求an，这是常规方法(2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求 a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算跟进训练1(1)在等比数列an中，若它的前三项分别为5，15，45，求a5；(2
6、)已知等比数列an为递增数列，且a25a10，2(anan2)5an1，求an.解(1)a5a1q4，而a15，qa2a13，a5405.(2)由2(anan2)5an12q25q20q2或12，由a25a10a1q90a10，又数列an递增，所以q2.a25a10(a1q4)2a1q9a1q2，所以数列an的通项公式为an2n.【例 2】(1)等比数列an中，a118，q2，则 a4 与 a8 的等比中项是()A4 B4 C14 D14(2)已知 b 是 a，c 的等比中项，求证：abbc 是 a2b2 与 b2c2的等比中项思路探究：(1)用定义求等比中项(2)证明(abbc)2(a2b2
7、)(b2c2)即可等比中项(1)A 由 an182n12n4 知，a41，a824，所以 a4 与 a8 的等比中项为4.(2)证明 b 是 a，c 的等比中项，则 b2ac，且 a，b，c 均不为零，又(a2b2)(b2c2)a2b2a2c2b4b2c2a2b22a2c2b2c2，(abbc)2a2b22ab2cb2c2a2b22a2c2b2c2，所以(abbc)2(a2b2)(b2c2)，即 abbc 是 a2b2 与 b2c2 的等比中项等比中项应用的三点注意(1)由等比中项的定义可知GabGG2abG ab，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项(2)在一个
8、等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项(3)a，G，b成等比数列等价于G2ab(ab0).B 因为 b2(1)(9)9，且 b 与首项1 同号，所以 b3，且 a，c 必同号所以 acb29.跟进训练2如果1，a，b，c，9 成等比数列，那么()Ab3，ac9 Bb3，ac9Cb3，ac9 Db3，ac9B an(n8)d，又a2ka1a2k，(k8)d29d(2k8)d，解得 k2(舍去)，k4.3设等差数列an的公差 d 不为 0，a19d，若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项，则 k 等于()A2 B4C6 D8探究问题1若数列an是等
9、比数列，易知有an1an q(q 为常数，且 q0)或 a2n1anan2(an0，nN*)成立反之，能说明数列an是等比数列吗？提示 能若数列an满足an1an q(q 为常数，q0)或 a2n1anan2(an0，nN*)都能说明an是等比数列等比数列的判断与证明2若数列an是公比为 q 的等比数列，则它的通项公式为 ana1qn1(a，q 为非零常数，nN*).反之，能说明数列an是等比数列吗？提示 能根据等比数列的定义可知【例 3】已知数列的前 n 项和为 Sn2na，试判断an是否是等比数列思路探究：如何由求和公式得通项公式？a1 是否适合 anSnSn1(n2)？需要检验吗？解 a
10、nSnSn12na2n1a2n1(n2).当 n2 时an1an 2n2n12；当 n1 时，an1an a2a1 22a.故当 a1 时，数列an成等比数列，其首项为 1，公比为 2；当 a1 时，数列an不是等比数列1(变条件)将例题中的条件“Sn2na”变为“Sn2an”求证数列an是等比数列证明 Sn2an，Sn12an1，an1Sn1Sn(2an1)(2an)anan1，an112an.又S12a1，a110.又由 an112an 知 an0，an1an 12，an是等比数列2(变条件，变结论)将例题中的条件“Sn2na”变为“a11，an12an1”证明数列an1是等比数列，并求出
11、数列an的通项公式解 因为 an12an1，所以 an112(an1).由 a11，知 a110，从而 an10.所以an11an1 2(nN*)，所以数列an1是等比数列所以an1是以 a112 为首项，2 为公比的等比数列，所以an122n12n，即 an2n1.判断一个数列an是等比数列的方法(1)定义法：若数列an满足an1an q(q 为常数且不为零)或 anan1q(n2，q 为常数且不为零)，则数列an是等比数列(2)等比中项法：对于数列an，若 a2n1anan2 且 an0，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列an的通项公式为 ana1qn1(a10，q0)，则数列a
12、n是等比数列课 堂 小 结 提 素 养 1等比数列的判断或证明(1)利用定义：an1an q(q 为与 n 无关的常数且不为零).(2)利用等比中项：a2n1anan2(nN*).2两个同号的实数 a，b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(ab)，而不是一个(ab)，这是容易忽视的地方3等比数列的通项公式 ana1qn1 共涉及 a1，q，n，an 四个量，已知其中三个量可求得第四个量1判断正误(1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列()(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零()(3)常数列一定为等比数列()(4)任何两个数都有等比中项()答案(1)(
13、2)(3)(4)提示(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列；(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零；(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列；(4)错误当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项D 因为a5a2q38，故 q2.2在等比数列an中，若 a24，a532，则公比 q 应为()A12 B2 C12 D2729 a7a4q327(3)3729.3在等比数列an中，a427，q3，则 a7 4已知数列an是首项为 2，公差为1 的等差数列，令 bn12an，求证数列bn是等比数列，并求其通项公式解 依题意 an2(n1)(1)3n，于是 bn123n.而 bnbn1123n124n1212.数列bn是公比为 2 的等比数列，通项公式为 bn2n3.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!