1、第三章 不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 学 习 目 标核 心 素 养 1.会从实际情景中抽象出二元一次不等式(组).2.理解二元一次不等式(组)的几何意义3.会画二元一次不等式(组)表示的平面区域(重点、难点)通过二元一次不等式(组)表示的平面区域及其应用的学习，培养直观想象素养自 主 预 习 探 新 知 1二元一次不等式的概念我们把含有未知数，并且含有未知数的项的次数是 的不等式称为二元一次不等式2二元一次不等式组的概念我们把由几个 组成的不等式组称为二元一次不等式组两个1二元一次不等式思考：点(2，1)是否是不等式 3x
2、2y10 的解？提示 是把(2，1)代入，不等式成立3二元一次不等式(组)的解集概念满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成一个有序数对(x，y)，称为二元一次不等式(组)的一个，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的 解解集思考：把二元一次不等式的解看作有序数对，它与平面内的点之间有什么关系？提示 一一对应4二元一次不等式表示的平面区域及确定(1)直线 l：axbyc0 把直角坐标平面分成了三个部分：直线 l 上的点(x，y)的坐标满足 直线 l 一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足 axbyc0，另一侧平面区域内的点(x，y)的坐标满足 (2)在直角
3、坐标平面内，把直线 l：axbyc0 画成 ，表示平面区域包括这一边界直线；画成 表示平面区域不包括这一边界直线axbyc0axbyc0表示的是直线axbyc0哪一侧的平面区域5二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的相同ax0by0c公共部分思考：yaxb 所表示的平面区域与 yaxb 表示的平面区域有什么不同？如何体现这种区别？提示 前者表示的平面区域含有该直线上的点，后者表示的平面区域不含该直线上的点画图时用实线表示前者，用虚线表示后者D 将点(0，0)代入不等式验证即可1以下不等式所表示的平面区域中包含原点的是()Axy10 B2x3y6
4、0C2x5y100 D4x3y12x2y10 用右上方特殊点(1，1)代入 x2y1 得结果为 20.所以所求为 x2y10.2直线 x2y10 右上方的平面区域可用不等式 表示10 画出不等式组表示的平面区域(图略)，它是一个底边长为 5，高为 4 的三角形区域，其面积 S125410.3 不 等 式 组4x3y120，2xy40所 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积是 mm12 因为 A，B 两点在直线 x2y30 的同侧，所以把点 A(1，0)，B(2，m)代入可得 x2y3 的符号相同，即(1203)(22m3)0，解得 m12.4已知点 A(1，0)，B(2，m)，若 A，B 两
5、点在直线 x2y30 的同侧，则 m 的取值集合是 合 作 探 究 释 疑 难【例 1】(1)画出不等式 3x2y60 表示的区域；(2)写出如图表示平面区域的二元一次不等式：二元一次不等式表示的平面区域解(1)如图：第一步：画出直线 3x2y60(注意应画成虚线)，第二步：直线不过原点，把原点坐标(0，0)代入 3x2y6 得 60，不等式表示的区域为原点所在的一侧(2)xy10；x2y20；xy0.二元一次不等式表示平面区域的判定方法第一步：直线定界画出直线 axbyc0，不等式为 axbyc0(0)时直线画虚线，不等式为 axbyc0(0)时画成实线；第二步：特殊点定域在平面内取一个特殊
6、点，当 c0 时，常取原点(0，0).若原点(0，0)满足不等式，则原点所在的一侧即为不等式表示的平面区域；若原点不满足不等式，则原点不在的一侧即为不等式表示的平面区域当 c0 时，可取(1，0)或(0，1)作为测试点简记为：直线定界，注意虚实；特殊点定域，常取原点跟进训练1画下列不等式表示的平面区域：(1)2xy100；(2)y2x3.解(1)先画出直线 2xy100(画成虚线).取原点(0，0)，代入 2xy10200100，原点在 2xy100 表示的平面区域内，不等式 2xy100 表示的平面区域如图所示(2)先画出直线 2xy30(画成实线).取原点(0，0)，代入 2xy32003
7、0，即(m5)(m2)0，所以 m5 或 m2，xy0，x2，xy0，x1，y1，10，y2，24，则 0y2，xy0，x0，y0，4x3y12.(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)求不等式组所表示的平面区域的面积；(3)求不等式组所表示的平面区域内的整点坐标思路探究：(1)怎样画出不等式组表示的平面区域？(2)该平面区域是什么图形？如何求其面积？(3)整点是什么样的点？怎样求其坐标？解(1)不等式 4x3y12 表示直线 4x3y12 上及其左下方的点的集合；x0 表示直线 x0 右方的所有点的集合；y0 表示直线y0 上方的所有点的集合，故不等式组表示的平面区域如图(1)所示(1)(2
8、)(2)如图(1)所示，不等式组表示的平面区域为直角三角形，其面积S12436.(3)当 x1 时，代入 4x3y12，得 y83，整点为(1，2)，(1，1).当 x2 时，代入 4x3y12，得 y43，整点为(2，1).区域内整点共有 3 个，其坐标分别为(1，1)，(1，2)，(2，1).如图(2).1(变条件)若将例题中的条件“x0，y0，4x3y12”变为“x2y10，2xy50，yx2”求此不等式组所表示区域的面积解 如图所示，其中的阴影部分便是不等式组所表示的平面区域由xy20，2xy50，得 A(1，3).同理得 B(1，1)，C(3，1).|AC|22（4）22 5，而点
9、B 到直线 2xy50 的距离为 d|215|5 65，SABC12|AC|d122 5 656.2若将例题中的条件“x0y04x3y12”变为“y2|x|y|x|1”求此不等式组所表示的平面区域的面积解 可将原不等式组分解成如下两个不等式组：x0，yx，yx1，y2，或x0，yx，yx1，y2.上述两个不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，所围成的面积S124212213.1在应用平面区域时，准确画出不等式组表示的平面区域是解题的关键2画出不等式组表示的平面区域后，常常要求区域面积或区域内整点的坐标(1)求区域面积时，要先确定好平面区域的形状，注意与坐标轴垂直的直线及区域端点的坐标，这样
10、易求底与高必要时分割区域为特殊图形(2)整点是横、纵坐标都是整数的点，求整点坐标时要注意虚线上的点和靠近直线的点，以免出现错误课 堂 小 结 提 素 养 1对于任意的二元一次不等式 AxByC0(或0)，无论 B为正值还是负值，我们都可以把 y 项的系数变形为正数，当 B0 时，(1)AxByC0 表示直线 AxByC0 上方的区域；(2)AxByC0 表示直线 AxByC0 下方的区域2画平面区域时，注意边界线的虚实问题1判断正误(1)由于不等式 2x10 不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域()(2)点(1，2)不在不等式 2xy10 表示的平面区域内()(3)不等式AxByC0与
11、AxByC0表示的平面区域是相同的()(4)二元一次不等式组中每个不等式都是二元一次不等式()(5)二元一次不等式组所表示的平面区域都是封闭区域()答案(1)(2)(3)(4)(5)提示(1)错误不等式 2x10 不是二元一次不等式，表示的区域是直线 x12的右侧(不包括边界).(2)错误把点(1，2)代入 2xy1，得 2xy130，所以点(1，2)在不等式 2xy10 表示的平面区域内(3)错误不等式 AxByC0 表示的平面区域不包括边界，而不等式 AxByC0 表示的平面区域包括边界，所以两个不等式表示的平面区域是不相同的(4)错误在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式，如2xy1
12、0，3x20也称为二元一次不等式组(5)错误二元一次不等式组表示的平面区域是每个不等式所表示的平面区域的公共部分，但不一定是封闭区域23，因为直线 2x3y60 的上方区域可以用不等式 2x3y60 表示，所以由点(2，t)在直线 2x3y60 的上方得43t623.2点(2，t)在直线 2x3y60 的上方，则 t 的取值范围是 等腰直角三角形 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知平面区域为等腰直角三角形3平面直角坐标系中，不等式组2x2y10，3x3y40，x2表示的平面区域的形状是 解 不等式 x0 表示直线 x0(y轴)右侧的点的集合(不含边界).不等式 y0 表示直线 y0(x 轴)上方的点的集合(不含边界).不等式 xy30，y0，xy30表示的平面区域点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!