1、第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第2课时 一元二次不等式的应用 学 习 目 标核 心 素 养 1.掌握一元二次不等式的实际应用(重点)2.理解三个“二次”之间的关系3.会解一元二次不等式中的恒成立问题(难点)1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养2.借助一元二次不等式的应用，培养数学建模素养自 主 预 习 探 新 知 1分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式 f（x）g（x）0(0（0或f（x）0），g（x）0(0或f（x）0（0），g（x）a0 与(x3)(x2)0 等价吗？将x3x20 变形为(x3)(x2)0，有什么
2、好处？提示 等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式2(1)不等式的解集为 R(或恒成立)的条件不等式ax2bxc0ax2bxc0b0，c00a00 在区间2，3上恒成立的几何意义是什么？区间2，3与不等式 x10 的解集有什么关系？提示 x10 在区间2，3上恒成立的几何意义是函数 yx1在区间2，3上的图象恒在 x 轴上方区间2，3内的元素一定是不等式 x10 的解，反之不一定成立，故区间2，3是不等式 x10 的解集的子集3从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系(2)设出起关键作用的未知量，用
3、不等式表示不等关系(或表示成函数关系).(3)解不等式(或求函数最值).(4)回扣实际问题思考：解一元二次不等式应用题的关键是什么？提示 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为 x，用 x 来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解B Ax|1x1，Bx|0 x2，ABx|0 x11若集合 Ax|12x13，Bxx2x 0，则 AB 等于()Ax|1x0 Bx|0 x1Cx|0 x2 Dx|0 x1x0 x14 原 不 等 式 x1x 5xx 4x1x0 x（4x1）0，x0，解得 00 在 R 上恒成立，所以 a242a0，所以 0a0 在
4、R 上恒成立，则实数 a的取值范围是 10，30 设矩形高为 y，由三角形相似得：x4040y40，且 x0，y0，x40，y40，xy300，整理得 yx40，将 y40 x 代入 xy300，整理得 x240 x3000，解得 10 x30.4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 x(单位：m)的取值范围是 合 作 探 究 释 疑 难【例 1】解下列不等式：(1)x3x20；(2)x12x31.分式不等式的解法解(1)x3x20(x3)(x2)02x3，原不等式的解集为x|2x3(2)x12x31，x12x310，x42x3 0
5、，即x4x320.此不等式等价于(x4)x32 0 且 x320，解得 x32或 x4，原不等式的解集为xx32或x4.1对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零2对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解跟进训练1解下列不等式：(1)x1x30；(2)5x1x1 3.即知原不等式的解集为x|x1 或 x3(2)不等式5x1x1 3 可改写为5x1x1 30，即2（x1）x10.可将这个不等式转化成 2(x1)(x1)0，解得1x1.所以，原不等式的解集为x|1x1【
6、例 2】国家原计划以 2 400 元/吨的价格收购某种农产品 m吨按规定，农户向国家纳税为：每收入 100 元纳税 8 元(称作税率为8 个百分点，即 8%).为了减轻农民负担，制定积极的收购政策根据市场规律，税率降低 x 个百分点，收购量能增加 2x 个百分点试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的 78%.一元二次不等式的应用思路探究：将文字语言转换成数学语言：“税率降低 x 个百分点”即调节后税率为(8x)%；“收购量能增加 2x 个百分点”，此时总收购量为 m(12x%)吨，“原计划的 78%”即为 2 400m8%78%.解 设税率调低后“税收总收入”为 y
7、元y2 400m(12x%)(8x)%1225m(x242x400)(0 x8).依题意，得 y2 400m8%78%，即1225m(x242x400)2 400m8%78%，整理，得 x242x880，解得44x2.根据 x 的实际意义，知 0 x8，所以 x 的范围为(0，2.跟进训练2某校园内有一块长为 800 m，宽为 600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围解 设花卉带的宽度为 x m(0 x600)，则中间草坪的长为(800 2x)m，宽 为(600 2x)m.根 据 题
8、意 可 得(800 2x)(600 2x)12800600，整理得 x2700 x6001000，即(x600)(x100)0，所以 00 恒成立，如何求实数 a 的取值范围？提示 若 a0，显然 f(x)0 不能对一切 xR 都成立所以 a0，此时只有二次函数 f(x)ax22x2 的图象与直角坐标系中的 x 轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，则a048a12.不等式恒成立问题2若函数 f(x)x2ax3 对 x3，1上恒有 f(x)0 成立，如何求 a 的范围？提示 要使 f(x)0 在3，1上恒成立，则必使函数 f(x)x2ax3 在3，1上的图象在 x 轴的下方，由 f(x)的图
9、象可知，此时 a 应满足f（3）0，f（1）0，即3a60，a20，解得 a2.故当 a(，2)时，有 f(x)0 在 x3，1时恒成立3若函数 yx22(a2)x4 对任意 a3，1时，y0 恒成立，如何求 x 的取值范围？提示 由于本题中已知 a 的取值范围求 x，所以我们可以把函数f(x)转化为关于自变量是 a 的函数，求参数 x 的取值问题，则令 g(a)2xax24x4.要使对任意 a3，1，y0 恒成立，只需满足g（1）0，g（3）0，即x22x40，x210 x40.因为 x22x40 的解集是空集，所以不存在实数 x，使函数 yx22(a2)x4 对任意 a3，1，y0 恒成立
10、【例 3】已知 f(x)x2ax3a，若 x2，2，f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围思路探究：对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解解 设函数 f(x)x2ax3a 在 x2，2时的最小值为g(a)，则(1)当对称轴 xa24 时，g(a)f(2)73a0，解得 a73，与 a4 矛盾，不符合题意(2)当a22，2，即4a4 时，g(a)3aa24 0，解得6a2，此时4a2.(3)当a22，即 a4 时，g(a)f(2)7a0，解得 a7，此时7a4.综上，a 的取值范围为7a2.1(变结论)本例条件不变，若 f(x)2 恒成立，求 a 的取
11、值范围解 若 x2，2，f(x)2 恒成立可转化为：当 x2，2时，f(x)min2a22，f（x）minf（2）7a2，解得 a 的取值范围为5，22 2.2(变条件)将例题中的条件“f(x)x2ax3a，x2，2，f(x)0 恒成立”变为“不等式 x22xa230 的解集为 R”求 a 的取值范围解 法一：不等式 x22xa230 的解集为 R，函数 f(x)x22xa23 的图象应在 x 轴上方，44(a23)2 或 a0 的解集为 R，则 a 满足 f(x)mina240，解得 a2 或 a0，得 a2x22x3，即 a2(x1)24，要使该不等式在 R 上恒成立，必须使 a2 大于(
12、x1)24 的最大值，即 a24，故 a2 或 a0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a0 时，b0，c0；当 a0 时，a0，0.2不等式 ax2bxc0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a0 时，b0，c0；当 a0 时，a0，f(x)恒成立af(x)max；(2)若 f(x)有最小值 f(x)min，则 af(x)恒成立a1 的解集为 xf(x)恒成立时，可转化为求解 f(x)的最小值，从而求出m 的范围()答案(1)(2)提示(1)1x11x10 x1x 0 x|0 xf(x)恒成立转化为 mf(x)max，(2)错x4x12 因为5xx41等价于12xx4 0，所以2x1
13、x4 0，等价于（2x1）（x4）0，x40，解得40，对 xR 恒成立，0，即 m22m0，0m0 恒成立，则实数 m 的取值范围是 4某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯 15 元的价格销售，每天能卖出 30 盏；若售价每提高 1 元，日销售量将减少 2 盏为了使这批台灯每天能获得 400 元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？解 设每盏台灯售价 x 元，则 x15，并且日销售收入为 x302(x15)，由题意知，当 x15 时，有 x302(x15)400，解得：15x20.所以为了使这批台灯每天获得 400 元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为 x15，20).点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!