1、(1)三角形解的个数的判定【例1】在ABC中，若a18，b24，A44，则 此 三 角 形 解 的 情 况 为_sinsin44sin4522412 218242sinbAbbbAab 因为，所以，所以此三角形【解析】有两解已知两边a、b和其中一边a的对角A(A为锐角)，解三角形的解的情况：absinA absinA bsinAab ab无解 一解 两解 一解【变式练习1】在ABC中，ax，b2，B45.若ABC有两解，则x的取值范围是 _2(2,2 2)2ABCBCCACDxbxx如图，若有两解，则，即，解得【解析】(2,2 2)判断三角形的形状【例2】已知a、b、c分别是ABC的三个内角A
2、、B、C所对的边若accosB，且bcsinA，试判断ABC的形状222222290.RtsinacbacacabcCaaABCAbcaccABC由余弦定理得，整理得 ，所以 在中，所以 ，所以是等腰直角【解析】三角形判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内
3、角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状此时要注意应用ABC这个结论在这两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解【变式练习2】在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，请判断ABC的形状22222222sin()sin()sincossincossinsincossinsin2sin2cossin2222.2abABabABaABAbABBBAABABABABABABABC【解依题意得，则，即，所以，则有或，即 或 所以为等腰三角形或直角析】三角形正弦定理、余弦定理、面积公式的灵活应用 3sinco
4、s2.1sin233ABCACAAAABCSBC在中，已知，求的值；若的面积 ，求【例】的值 222sincos2sin()24sin()1.450444.42413 2sin32 2.242cos298232 25512.2AAAAAAAASAC ABAABABBCACABAC ABABC 由，得由此及，即，得，故 由 ，得由此及余弦定理得 】，故【解析本题将三角恒等变换、求值与解三角形综合一起考查，这是近几年高考的一种命题趋势，注意综合运用应用正弦定理进行边角互化，利用三角公式进行角的统一，达到化简的目的在解三角形中，利用正、余弦定理进行边角转化是解题的基本方法在三角函数的化简、求值中，常
5、要重视角的统一，函数的统一，降次思想的应用 (2010).4cos5.51sin2sin(2)33si23n sinABCABCabcAbcCACABCSBCa苏锡常镇一模在中，角、的对边分别为、已知，求的值；求的【变式值；若的面积，求练习】的值 2222222cos268183 2.43cos0sin.55sinsin3sin25sin.10213abcbcAcccacAAAacACccACac因为 ，所以 因为，所以因为，所以【解析】227 2cos1sin.103424sin22sincos25525167cos22cos1 21,25257 2sin(2)sin2 coscos2 si
6、n.102caCCCAAAAAACACAC 因为，所以 为锐角，又，所以 22225sin5sin3153sinsinsin.222013sin,221233 5.122053bcBCBCCaSbcAcaa因为 ，所以，所以又因为 所以，所以 测量距离问题【例1】如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC.小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路AD，DC，且拐弯处的转角为120.已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长(精确到1米)22222250030060.2cos601500(300)2500(3
7、00)24900445()114451rCDDACDOCDOCDODCD ODOCrrrrOA设该扇形的半径为 米由题意，得米，米，在中，即 ，解得 米 答：该扇形的半径的长约【解析】为方法：米222222.500300120.2?cos1201500300250030070027020()ACOHACACHCDADCDAACDACCDADCD ADAC连结，作，交于由题意，得米，米，在中，所方以：米法22211cos.21411350cos144900445()cos11445ACADCDCADAC ADRt HAOAHHAOAHOAHAOOA则在中，米，所以米 答：扇形的半径的长约为米三角
8、学源于测量实践，解三角形是三角实际应用的一个重要方面求距离问题一般要注意：(1)选定或创建的三角形要确定；(2)利用正弦定理还是余弦定理要确定112230 2105202012010 24ABAB如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于 处时，乙船位于甲船的北偏西方向的 处【，此时两船相距海变式练习】里当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里问乙船每小时航行多少海里？1211221222112211212122212111211122212.202010 230 2 10 2.60601056045.2cos45220(1
9、0 2)220 10 2220010 2.A BA BA BA AB A AA A BB A BA B BB BA BA BA BA BB B连结依题意知，易知，所以是等边三角形，则在中，由余弦定理得，所以因此，乙【解析】船的速度10 260 30 2(/)2030 2/为海里 小时 答：乙船每小时航行海里 小时测量角度问题【例5】缉私艇发现在北偏东45方向，距离12 nmile的海面上有一走私船正以10 n mile/h的速度沿东偏南15方向逃窜缉私艇的速度为14 n mile/h.若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45的方向去追求追及所需的时间和角的正弦值2221410120
10、.141210240 cos120220sin1205 32820 sin.28145 32sin.14ACxBABxBCxACBxxxxABBC如图，设、分别表示缉私艇、走私船的位置，设经过小时后在 处追上则有，所以，所以 ，则，所以追及所需的时间为 小时，【解析】测量角度问题中，首先应明确方位角的含义在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题38303045.(sin150.26cos150.972 1.1454)ABACA如图，海中小岛 周围海里内有暗礁一船正在向南航行，在 处测得小岛 在船的南偏东，航行海里后，在 处测得小岛 在船的南偏东如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险【？，变式练习】sinsin3030sin30.sin15sin30sin1530sin30sin45sin4540.8.sin1540.838BCACABACACABCdAC 由正弦定理得，即，所以则点 到直线的距离由于，故此船不改变航向也无触礁【解析】的危险