1、大二轮理2大二轮 数学 理适考素能特训3大二轮 数学 理一、选择题12015陕西质检(一)已知直线 l：xym0 经过抛物线 C：y22px(p0)的焦点，l 与 C 交于 A、B 两点若|AB|6，则 p 的值为()A.12B.32C1 D24大二轮 数学 理解析 因为直线 l 过抛物线的焦点，所以 mp2.联立xyp20y22px得，x23pxp24 0.设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则 x1x23p，故|AB|x1x2p4p6，p32，故选 B.5大二轮 数学 理22016沈阳质检已知 P 是双曲线x23y21 上任意一点，过点 P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A
2、，B，则PAPB的值是()A38B.316C 38D不能确定6大二轮 数学 理解析 令点 P(x0，y0)，因为该双曲线的渐近线分别是 x3y0，x3y0，所以可取|PA|x03y0131，|PB|x03y0131，又 cosAPBcosAOBcos2AOxcos312，所以PAPB|PA|PB|cosAPBx203y204312 3412 38，选 A.7大二轮 数学 理32016南昌三模已知抛物线 y22px(p0)与双曲线x2a2y2b21(a0，b0)有相同的焦点 F，点 A 是两曲线的一个交点，且 AFx 轴，则双曲线的离心率为()A.22 B.51C.31 D.218大二轮 数学
3、理解析 本题考查抛物线的性质、双曲线的离心率由题意得点 F 的坐标为p2，0，又因为 AFx 轴，所以点 A的横坐标为p2，因为点 A 为抛物线与双曲线的交点，不妨设点 A 位于第一象限，则 yA 2pxAp，即点 A 的坐标为p2，p，又因为点 F 为双曲线与抛物线的相同的焦点，所以cp2，则点 A 的坐标为(c,2c)，代入双曲线的方程得c2a24c2b21，结合 c2a2b2，化简得 c46a2c2a40，解得双曲线的离心率 eca 21，故选 D.9大二轮 数学 理42016黄冈质检在以 O 为中心，F1，F2 为焦点的椭圆上存在一点 M，满足|MF1|2|MO|2|MF2|，则该椭圆
4、的离心率为()A.22B.33C.63D.2410大二轮 数学 理解析 延长 MO 与椭圆交于 N，因为 MN 与 F1F2互相平分，则四边形 NMF1F2 为平行四边形，则|MN|2|F1F2|2|MF1|2|MF2|2|NF1|2|NF2|2，又|MF1|MF2|2|MF2|MF2|3|MF2|2a，故|NF1|MF2|23a，|NF2|MF1|43a，|F1F2|2c，所以43a 223a 223a 223a 243a 2(2c)2，即c2a223，故 e 63.11大二轮 数学 理52016重庆测试若以 F1(3,0)，F2(3,0)为焦点的双曲线与直线 yx1 有公共点，则该双曲线的
5、离心率的最小值为()A.62B.3 55C.32D.312大二轮 数学 理解析 由题意知 c3，e3a，a 越大 e 越小，而双曲线为x2m y29m1，把直线 yx1 代入化简整理得(92m)x22mx10mm20，由 0 得 m5，于是 a 5，e3a3 55，故选 B.13大二轮 数学 理62016金版原创在平面直角坐标系 xOy 中，以椭圆x2a2y2b21(ab0)上一点 A 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的一个焦点，与 y 轴相交于 B，C 两点，若ABC 是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是()A.6 22，512B.6 22，1C.512，1D.0，51214大二轮 数学
6、 理解析 本题考查椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系利用直线与圆的位置关系建立椭圆基本量的关系求解离心率由题意可得，圆心 Ac，b2a，rb2a，由三角形 ABC是锐角三角形得BACrcos45，即 c 22 r.又依题意 cb2a，即 22 cb2a0，c2aca20，e2e10，解得 6 22e0)，即x2 y241，则有 425，解得 5，所以所求双曲线的标准方程为x25y2201.17大二轮 数学 理8设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为30的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为_94解析 易知直线 AB 的方程为 y 33 x34，与
7、 y23x联立并消去 x，得 4y212 3y90.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y23 3，y1y294.SOAB12|OF|y1y2|1234 y1y224y1y238 27994.18大二轮 数学 理92015山东莱芜一模已知圆 G：x2y22 2x2y0 经过椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点及上顶点过椭圆外一点 M(m,0)(ma)，倾斜角为23 的直线 l 交椭圆于 C，D两点，若点 N(3,0)在以线段 CD 为直径的圆 E 的外部，则 m的取值范围是_72，2 30319大二轮 数学 理解析 圆 G：x2y22 2x2y0 与 x 轴，y 轴交点为(2
8、2，0)和(0,2)，c2 2，b2，a2b2c212，椭圆方程为x212y241，设直线 l 的方程为 y 3(xm)(m2 3)，由y 3xm，x212y241得 10 x218mx9m2120.20大二轮 数学 理由 324m240(9m212)0，可得2 303m2 303，2 3m0.化简得 2m29m70，解得 m72.m 的取值范围是72，2 303.22大二轮 数学 理三、解答题102016贵阳质检设点 F1(c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：x2a2y21(a1)的左、右焦点，P 为椭圆 C 上任意一点，且PF1 PF2 的最小值为 0.23大二轮 数学 理(1)求椭圆
9、C 的方程；(2)如图，动直线 l：ykxm 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，作 F1Ml，F2Nl 分别交直线 l 于 M，N 两点，求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值解(1)设 P(x，y)，则PF1(cx，y)，PF2(cx，y)，PF1 PF2 x2y2c2a21a2 x21c2，xa，a，由题意得，1c20，c1，则 a22，椭圆 C 的方程为x22y21.24大二轮 数学 理(2)将直线 l 的方程 l：ykxm 代入椭圆 C 的方程x22y21 中，得(2k21)x24kmx2m220，由直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点知 16k2m24(2k21)(2m22)0
10、，化简得 m22k21.设 d1|F1M|km|k21，d2|F2N|km|k21.25大二轮 数学 理当 k0 时，设直线 l 的倾斜角为，则|d1d2|MN|tan|，|MN|1|k|d1d2|，S12 1|k|d1d2|(d1d2)2|m|k21 4|m|m214|m|1|m|，m22k21，当 k0 时，|m|1，|m|1|m|2，即S0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)和 B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|92.(1)求抛物线 C 的方程；(2)若抛物线 C 的准线为 l，焦点为 F，点 P 为直线 m：xy20 上的动点，且点 P 的横坐标为 a，
11、试讨论当 a 取不同的值时，圆心在抛物线 C 上，与直线 l 相切，且过点 P的圆的个数28大二轮 数学 理解(1)直线 AB 的方程是 y2 2xp2，代入 y22px，得 4x25pxp20，所以 x1x25p4，由抛物线的定义得|AB|x1x2p9p4 92，p2，抛物线 C 的方程是 y24x.29大二轮 数学 理(2)解法一：由题意知 l：x1，F(1,0)所求圆的圆心在抛物线上，且与直线 l 相切，则圆过焦点 F，又圆过点 P，圆心在线段 PF 的中垂线上，设 P(a,2a)，则线段 PF 中点的坐标为a12，2a2，当 a1，a2时，kPF2aa1，线段 PF 的中垂线方程为y
12、a1a2 xa12 2a2，化 简 得 y a1a2 x 2a24a32a230大二轮 数学 理圆的个数即中垂线与抛物线的交点的个数，将 xy24代入得a14a2y2y2a24a32a20，判 别 式 1 4a14a2 2a24a32a2 1 a12a24a32a222a222a36a27a32a222a34a2a52a22a12a26a52a22，31大二轮 数学 理当 a1 时，交点有 1 个，圆有 1 个；当 a1 且 a1，a2 时，交点有 2 个，圆有 2 个而当 a2 时，易验证有 2 个交点，圆有 2 个；当 a1 时，易知交点有 1 个，圆有 1 个综上所述：当 a1，且 a1
13、 时，圆有 2 个32大二轮 数学 理解法二：设圆心 Q(x0，y0)(y204x0)，P(a,2a)，由于准线 l：x1，故若存在圆 Q 满足条件，则 r|PQ|x0a2y0a22，且 r|x01|，(x0a)2(y0a2)2(x01)2，即 a2y202(a2)y0(a2)2(22a)x01(22a)y2041，整理得(1a)y20(4a8)y04a28a60(*)，当 a1 时，(*)式即4y020，有 1 个解33大二轮 数学 理当 a1 时，(*)式中(4a8)24(1a)(4a28a6)16a332a28a408(a1)(2a26a5)，2a26a52a322120，当 a1 时，
14、0，(*)式有 2 个解；当 a1 时，0，(*)式有 1 个解；当 a1 时，0，(*)式无解综上，当 a1，且 a1 时，圆有 2 个34大二轮 数学 理122016山西太原二模已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 xy 60 相切(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知点 P(4,0)，A，B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点，连接 PB 交椭圆 C 于另一点 E，直线 AE与 x 轴相交于点 Q，过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M，N 两点，求OM ON 的取值范围35大二轮 数学 理解(1)eca12，a
15、2b2c2，ba1122 32.据另一个题设条件得：br61212 3.a2，椭圆 C 的方程为x24y231.36大二轮 数学 理(2)设 B(x1，y1)，E(x2，y2)，据题意 A(x1，y1)，且 y10.设直线 PB 的方程为 xmy4，把它代入x24y231 并整理得(3m24)y224my360，y1，y2 是该方程的两根，y1y2 24m3m24，y1y2363m24.(*)直线 AE 的方程为 yy1y1y2x1x2(xx1)，令 y0 得点 Q 的横坐标37大二轮 数学 理xQx1y2x2y1y1y2.x1my14，x2my24，xQmy14y2my24y1y1y22my
16、1y24y1y2y1y2将(*)式代入得 xQ1.当直线 MN 与 x 轴不重合时，设直线 MN 的方程为 xny1，并设 M(x3，y3)，N(x4，y4)38大二轮 数学 理把 xny1 代入 3x24y212 整理得(3n24)y26ny90，y3，y4 是该方程的两根，y3y46n3n24，y3y493n24.(*)OM ON x3x4y3y4(ny31)(ny41)y3y4(1n2)y3y4n(y3y4)1，39大二轮 数学 理把(*)代入并整理得OM ON 12n253n24.12n253n24 4113n2454，4，OM ON 4，54.当直线 MN 与 x 轴重合时，OM ON 22cos1804.综上所述，OM ON 的取值范围是4，54.