1、河南省驻马店市2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题 理（含解析）本试题卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试题卷上答题无效.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写（涂）在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题上作答，答案无效.3.考试结束，监考教师将答题卡收回.第卷（选择题共60分）一、选择题：本大题
2、共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的代号为A、B、C、D的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式计算即可得解.【详解】.故选：C.【点睛】本题考查三角函数诱导公式的应用，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于常考题.2. 数据的信息除了通过各种统计图表来加以整理和表达之外，还可以通过一些统计量来表述，平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差这些统计量反映了数据的集中趋势或离散程度，下列表述不正确的是（ ）A. 平均数、中位数、众数刻画了一组数据的集中趋势B. 平均数、中位数、众数一定出现在原数据中
3、C. 极差、方差、标准差刻画了一组数据的离散程度D. 平均数、中位数、众数、极差、标准差单位与原数据单位保持一致【答案】B【解析】【分析】根据平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的概念依次判断选项即可得到答案.【详解】由题知：众数一定出现在原始数据中，而平均数，中位数不一定在原始数据中，所以B表述不正确.故选：B【点睛】本题主要考查平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的概念理解，属于简单题.3. 已知，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求得、的值，然后利用两角和的正弦公式可求得的值.【详解】，因此，.故选：C.【点睛】本题考查利用
4、两角和的正弦公式求值，同时也考查了同角三角函数平方关系的应用，考查计算能力，属于基础题.4. “互联网+”时代，全民阅读的内涵已然多元化，倡导读书成为一种生活方式.某校为了解高中学生的阅读情况，从该校1800名高一学生中，采用分层抽样方法抽取一个容量为200的样本进行调查，其中女生有88人.则该校高一男生共有（ ）A. 1098人B. 1008人C. 1000人D. 918人【答案】B【解析】【分析】先计算出男生的抽样比，再乘以总体容量即可得该校高一男生人数.【详解】依题意200个样本中，男生有20088=112人，所以男生的抽样比为，所以该校高一男生共有人.故选：B.【点睛】本题考查了分层抽
5、样，属于基础题.5. 洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，确定总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数之比即为所求概率.【详解】由题意，阳数为：，阴数为，从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，共有种不同的结果；这两个数之和等于11的有：，共4种不同的结果，因此，所求概率为.故选：C.【点睛】本题主要考查
6、求古典概型的概率，熟记概率计算公式即可，属于基础题型.6. 执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】列举出前四次循环，可知，该算法循环是以为周期的周期循环，利用周期性可得出输出的的值.【详解】第一次循环，成立，；第二次循环，成立，；第三次循环，成立，；第四次循环，成立，；由上可知，该算法循环是周期循环，且周期为，依次类推，执行最后一次循环，成立，且，此时，不成立，跳出循环体，输出的值为.故选：D.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，推导出循环的周期性是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.7. 在中，是边上的一点，是上的一点，且满足和，连接
7、并延长交于，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先过做，交于，根据向量加法的几何意义得到为的中点，从而得到为的中点，再利用相似三角形的性质即可得到答案.【详解】如图所示，过做，交于.因为，所以为的中点.因为，所以为的中点，因为，所以.因为，所以，即.又因为，所以，故.故选：C【点睛】本题主要考查了向量加法运行的几何意义，同时考查了相似三角形的性质，属于中档题.8. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两名同学在10次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲得分的中位数为76分，乙得分的平均数是75分，则下列结论正确的是（ ）A. B. 甲数据中，乙数据中C. 甲数据中
8、，乙数据中D. 乙同学成绩较为稳定【答案】C【解析】【分析】由甲得分的中位数为76分，乙得分的平均数是75分，结合茎叶图中的数据求出的值即可判断.【详解】解：因为甲得分的中位数为76分，所以第5个数和第6个数76的平均数为76，所以，因为乙得分的平均数是75分，所以，解得，所以C正确，B错误，甲得分的平均数为，所以A错误因为甲的数据比较集中，所以甲的方差较小，成绩较稳定，所以D错误，故选：C【点睛】此题考查了茎叶图，中位数，平均数，方差等知识，属于基础题.9. 有以下变换方式：先向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的倍；先向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍；先将
9、每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度；先将每个点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度.其中能将函数的图像变为函数的图像的是（ ）A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】A【解析】分析】由题意利用函数的图象变换规律，得出结论【详解】解：先将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，再将每个点的横坐标缩短为原来的倍，可得 的图象，故满足条件将函数图象先向左平移个单位长度，可得 的图象；再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，可得的图象，故不满足条件将函数的图象先将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，可得函数的图象；再向左平移个单位长度，可得函数的图象，故不满足条件将函数的图象先将每
10、个点的橫坐标缩短为原来的倍，可得函数的图象；再向右平移个单位长度，可得 的图象，故满足条件，故选：【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，属于中档题10. 意大利“美术三杰”（文艺复兴后三杰）之一的达芬奇的经典之作一蒙娜丽莎举世闻名画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷，某数学兼艺术爱好者对蒙娜丽莎的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据:，根据测量得到的结果推算:将蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】取，设，可得，进而得出结论【详解】解：
11、取，设，则，设蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为，则，故选：B【点睛】本题主要考查直角三角形的边角关系、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11. 已知，是关于的方程的两个根，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先利用韦达定理得到，根据同角三角函数关系得到，再利用立方和公式计算即可.【详解】由题知：，是关于的方程的两个根，所以，解得或.因为，.所以，即，解得：，（舍去）.故选：A【点睛】本题主要考查同角三角函数关系，同时考查了韦达定理和立方和公式，属于简单题.12. 已知，若，则最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【
12、分析】首先根据题意建立空间直角坐标系，设，.根据得到点在以为圆心，的圆上，根据得到，再求最大值即可.【详解】因为，所以，即.建立空间直角坐标系，设，.，因为，所以，即，所以点在以为圆心，的圆上.因为，所以.故选：C【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，同时考查了向量的坐标运算，属于难题.第卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，且，则在上的投影是_.【答案】【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标运算可列出关于的方程，解之得的值，再由平面向量数量积的定义可知，在上的投影为，代入数据进行运算即可得解【详解】解：因为向量，且，所以，所以解得所以所以
13、在上的投影为故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查学生的运算能力，属于基础题14. 已知扇形的圆心角为，周长为4.那么当其面积取得最大值时，的值是_.【答案】2【解析】【分析】设扇形所在圆的半径为，根据题意，得到，由扇形面积公式，以及基本不等式，即可求出结果.【详解】设扇形所在圆的半径为，由题意，所以，因此扇形面积为：，当且仅当，即时，取得最大值.故答案为：.【点睛】本题主要考查求扇形面积的最值，熟记扇形面积公式以及基本不等式即可，属于常考题型.15. 小明家的晚报在下午5：306：30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午6：007：00之间的任何一个时间随
14、机地开始晚餐，那么晚报在晚餐开始之前被送到的概率是_.【答案】【解析】【分析】根据题意，设晚报被送到的时间为下午时，小明家晚餐开始的时间为下午时，得到，记件表示：“晚报在晚餐之前被送到”，对应，分别求出对应的面积，面积比即为所求概率.【详解】设晚报被送到的时间为下午时，小明家晚餐开始的时间为下午时，由题意可得：，其表示的区域是边长为的正方形区域，面积为；又事件“晚报在晚餐之前被送到”即为：，设事件表示：“晚报在晚餐之前被送到”，如图中阴影部分所示，由得，由得，所以阴影部分的面积为：，则.故答案为：.【点睛】本题主要考查几何概型的问题，熟记与面积有关的几何概型的概率计算公式即可，属于常考题型.1
15、6. 水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发.市疾控中心为了调查某校高年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取5个班级，每个班抽取的人数互不相同，若把每个班级抽取的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，则样本数据中的最小值是_.【答案】4【解析】【分析】首先设个班抽取的人数由小到大分别为，根据题意得到，再求数据中的最小值即可.【详解】设个班抽取的人数由小到大分别为，由题知：，即.若时，则，则四个数为：或，此时一定有相同的数，与已知矛盾.若时，则，则四个数为：， 此时为，符合题意.故答案为：【点睛】本题主要考查方差的定义，熟记定义为解题的关键，属于中档题.三、解答题：
16、本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知直线的一个方向向量为，；直线的方向向量为.（1）求的值；（2）若两直线、的夹角为，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据直线的方程可取直线的一个方向向量为，由结合平面向量共线的坐标表示可求得实数的值；（2）根据直线的方程可取直线的一个方向向量为，由结合平面向量数量积的坐标运算可求得实数的值.【详解】（1）依题可取的一个方向向量为，；（2）取一个方向向量为，则由得：，又，解得.【点睛】本题考查直线的方向向量，同时也考查了利用平面向量共线以及平面向量的夹角求参数，考查计算能力，属于基础题.18. 化简
17、求值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦、余弦、正切公式计算可得；（2）利用同角三角函数的基本关系及诱导公式以及两角和的正弦公式计算可得；【详解】解：（1）（2）.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及三角恒等变换公式的应用，属于中档题.19. 这次新冠肺炎疫情，是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.中华民族历史上经历过很多磨难，但从来没有被压垮过，而是愈挫愈勇，不断在磨难中成长，从磨难中奋起.在这次疫情中，全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智，某市某校学生也运用数学知识展开了对这
18、次疫情的研究，一名同学在疫情初期数据统计中发现，从2020年2月1日至2月7日期间，日期和全国累计报告确诊病例数量（单位：万人）之间的关系如下表：日期1234567确诊病例数量（万人）1.41.72.02.42.83.13.5（1）根据表中的数据，与哪一个适宜作为确诊病例数量关于日期的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；（精确到0.01）（3）预测2月16日全国累计报告确诊病例数.参考数据如下表：1.9216.977.535.17表中，.参考公式：对于一组数据，其回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.【答案】（1）适
19、宜作为确诊病例数量关于日期的回归方程类型；（2）；（3）6.6万人.【解析】【分析】（1）直接由表格中的数据可知适宜作为确诊病例数量关于日期的回归方程类型；（2）由表格中的数据求得与的值，则关于的线性回归方程可求；（3）在（2）中求得的线性回归方程中，取求得值即可【详解】解：（1）根据表中的数据：适宜作为确诊病例数量关于日期的回归方程类型；（2）由已知数据得：，所以，关于的回归方程为：；（3）把代入回归方程得：，所以预测2月16日全国累计报告确诊病例数为6.6万人.【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，属于中档题20. 已知函数的部分图像如图所示.（1）求的解析式及对称中心坐标；（
20、2）先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，最后将图像向上平移1个单位后得到的图像，求函数在上的单调增区间和最值.【答案】（1）；对称中心坐标为：，；（2）增区间是：；最大值：，最小值：.【解析】【分析】（1）首先根据图象得到函数的最大值和最小值，求出值，根据周期得到，把代入解析式得到，从而得到，再求对称中心即可.（2）首先根据图象变换得到，再求单调区间和最值即可.【详解】（1）由图知：，解得， 所以，把点代入得：，即，又因，所以，即；令，解得，故所求对称中心坐标为：，.（2）的图像纵坐标缩短到原来的倍，得到，再向右平移个单位，得到，再将图像向上平移1个单位，得到由，解得,因为，所以
21、增区间为.因为，当时，有最大值，当时，有最小值.【点睛】本题第一问考查了三角函数图象，第二问考查了三角函数的变换，同时考查了单调区间和最值，属于中档题.21. 党的十九大报告指出，要以创新理念提升农业发展新动力，引领经济发展走向更高形态.为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）若将购买金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数；（2）从（1）中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加山村旅游项目，请列出
22、所有的基本事件，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率；（3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案，方案一：每满80元可立减8元；方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折.若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案更优惠.【答案】（1）2；（2）；（3）应该选择方案二更优惠.【解析】【分析】（1）由题意可求出金额在“水果达人”的人数30人和消费金额在“水果达人”的人数20人，然后利用分层抽样的比求出5人中消费金额不低于100元的人数为人；（2）由（1）可知抽取的5人中消费金额在
23、的有3人，分别记为，消费金额在的有2人，记为，即可列出所有的基本事件共有10种，其中满足条件的有7种，从而可求出概率；（3）由题意可得该游客要购买110元水果，分别计算两种方案所需支付金额，即可得解.【详解】解：（1）由图可知，消费金额在“水果达人”的人数为：人，消费金额在“水果达人”的人数为：人，分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，这5人中消费金额不低于100元的人数为：人；（2）由（1）得，消费金额在的3个“水果达人”记为，消费金额在的2个“水果达人”记为，所有基本事件有：，共种，2人中至少有1人购买金额不低于100元的有种，所求概率为.（3）依题可知该游客要购买110元的水果，
24、若选择方案一，则需支付元，若选择方案二，则需支付元，所以应该选择方案二更优惠.【点睛】此题考查了频率分布直方图，古典概型，函数等基础知识，考查了数据分析能力，运算求解能力，考查了化归与转化思想，属于中档题.22. 已知向量，且函数的两条对称轴之间的最小距离为.（1）若方程恰好在有两个不同实根，求实数的取值范围及的值.（2）设函数，且，求实数，的值.【答案】（1），或；（2）或.【解析】【分析】先把，代入中化简，再两条对称轴之间的最小距离为，可知函数的半个周期为，从而可求出的值，（1）根据正弦函数的图像性质，判断函数在上的单调性，再求出最大值、最小值和端点处的函数值，从而得解；（2）易知，再分两类：和，并结合一次函数的单调性，列出关于和的方程求解即可.【详解】解：依题.又因为两条对称轴之间的最小距离为，所以由得：，；（1）当时， ，由，得，由，得，由，得所以在上递增，在上递减，在上递增，当时，取得最大值，当时，取得最小值，且，所以，或；（2）易知，当时：在上递增，满足：，解得：，当时：在上递减，满足：，解得：，综上所述：或.【点睛】此题考查了平面向量数量积的运算、三角函数与三角恒等变换的综合应用，熟练掌握正弦函数的图像与性质是解题的关键，考查运算能力，属于中档题.