1、第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第1课时 一元二次不等式及其解法 学 习 目 标核 心 素 养 1.掌握一元二次不等式的解法(重点)2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点)通过一元二次不等式解法的学习，培养数学运算素养自 主 预 习 探 新 知 1一元二次不等式的概念只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式一个22一元二次不等式的一般形式(1)ax2bxc0(a0).(2)ax2bxc0(a0).(3)ax2bxc0(a0).(4)ax2bxc0(a0).思考：不等式 x2y20 是一元二次不等式吗？提示 此不等式含有两个变量，根据一元二
2、次不等式的定义，可知不是一元二次不等式3一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的 解集思考：类比“方程 x21 的解集是1，1，解集中的每一个元素均可使等式成立”不等式 x21 的解集及其含义是什么？提示 不等式 x21 的解集为x|x1，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立4三个“二次”的关系设 f(x)ax2bxc(a0)，方程 ax2bxc0 的判别式 b24ac 判别式000求方程 f(x)0 的解有两个不等的实数解 x1，x2有两个相等的实数解 x1x2没有实数解 画函数
3、yf(x)的示意图 f(x)0 _解不等式f(x)0或 f(x)0 的步骤得等的集不式解f(x)0 _ x|xx1 或 xx2xx b2aRx|x1xx2 思考：若一元二次不等式 ax2x10 的解集为 R，则实数 a 应满足什么条件？提示 结合二次函数图象可知，若一元二次不等式 ax2x10的解集为 R，则a0，14a0 的解集为 R.C 35x2x202x25x30(x3)(2x1)0 x3 或x12.1不等式 35x2x20 的解集为()Axx3或x12 Bx12x3Cxx3或x12DRD 因为(2)243141280，所以不等式 3x22x10 的解集为 R.2不等式 3x22x10
4、的解集为()Ax1x13Bx13x1CDRx|x5 或 x2x，得 x24x50，因为 x24x50 的两根为1，5，故 x24x50 的解集为x|x53不等式 x22x52x 的解集是 原不等式变形为 3x25x40.因为(5)2434230，所以 3x25x40 无解由函数 y3x25x4 的图象可知，3x25x40 的解集为 合 作 探 究 释 疑 难【例 1】解下列不等式：(1)2x27x30；(2)4x218x814 0；(3)2x23x20，所以方程 2x27x30有两个不等实根 x13，x212.又二次函数 y2x27x3 的图象开口向上，所以原不等式的解集为xx12或x0，因为
5、 942270；(2)x24x40；(3)x22x30.解(1)0，方程 2x23x20 的根是 x112，x22，不等式 2x23x20 的解集为xx2.(2)0，方程 x24x40 的根是 x1x22，不等式 x24x40 的解集为x|x2.(3)原不等式可化为 x22x30，由于 0，方程 x22x30 无解，不等式x22x30 的解集为 R.(4)原不等式可化为 3x25x20，方程 3x25x20 的两根为 x123，x21，不等式3x25x20 的解集为x23x1.【例 2】解关于 x 的不等式 ax2(a1)x10.思路探究：对于二次项的系数 a 是否分 a0，a0 三类进行讨论
6、？当 a0 时，是否还要比较两根的大小？含参数的一元二次不等式的解法解 当 a0 时，原不等式可化为 x1.当 a0 时，原不等式可化为(ax1)(x1)0.当 a0，1a1，x1.当 a0 时，原不等式可化为(x1a)(x1)0.若1a1，则1ax1，即 0a1，则 1x1a.综上所述，当 a0 时，原不等式的解集为xx1；当 a0时，原不等式的解集为x|x1；当 0a1 时，原不等式的解集为x1x1 时，原不等式的解集为x1a x1 解含参数的一元二次不等式时的注意点(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行讨论；(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判
7、别式进行讨论；(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论跟进训练2解关于 x 的不等式：ax222xax(a0).解 原不等式移项得 ax2(a2)x20，化简为(x1)(ax2)0.a0，(x1)x2a 0.当2a0 时，2ax1；当 a2 时，x1；当 a2 时，1x2a.综上所述，当2a0 时，解集为x2ax1；当 a2 时，解集为x|x1；当 a0、y0 时自变量 x 组成的集合，亦即二次函数 yx22x3 的图象在 x 轴上方时点的横坐标 x 的集合x|x3；同理，满足 y0 时 x 的取值集合为x|1x0(a0)或 ax2bxc0)是函数 yax2bxc(a0)的一种特殊
8、情况，它们之间是一种包含关系，也就是当 y0 时，函数 yax2bxc(a0)就转化为方程，当 y0 或 y0 的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？提示 方程 x22x30 的解集为1，3不等式 x22x30 的解集为x|x3，观察发现不等式x22x30 解集的端点值恰好是方程 x22x30 的根3设一元二次不等式 ax2bxc0(a0)和 ax2bxc0)的解集分别为x|xx2，x|x1xx2(x10(a0)和 ax2bxc0)的解集分别为x|xx2，x|x1xx2(x10 的解集为x|2x3，求关于 x 的不等式 cx2bxa0 的解集思路探究：由给定不等式的解集形式
9、确定a0及关于a，b，c的方程组用a表示b，c代入所求不等式 求解cx2bxa0的解集为x|2x3可知，a0，且2和3是方程ax2bxc0的两根，由根与系数的关系可知 ba5，ca6.由a0知c0，bc56，故不等式cx2bxa0，即x256x160，解得x12，所以不等式cx2bxa0的解集为x|2x3可知，a0，且2和3是方程ax2bxc0的两根，所以ax2bxca(x2)(x3)ax25ax6ab5a，c6a，故不等式cx2bxa0，即6ax25axa06ax13 x12 0的解集解 由根与系数的关系知ba5，ca6 且 a0.c0，即 x2bcxac0，即 x256x160.解之得x1
10、2x0的解集为x|2x3变为“关于 x 的不等式 ax2bxc0 的解集是x13x2.求不等式 cx2bxa0 的解集解 法一：由 ax2bxc0 的解集为x13x2 知 a0.又13 2ca0，则 c0.又13，2 为方程 ax2bxc0 的两个根，ba53，ba53.又ca23，b53a，c23a，所求不等式变为23a x253a xa0，即2ax25ax3a0.又a0，2x25x30，所求不等式的解集为x3x12法二：由已知得a0 且13 2ba，13 2ca知c0，设方程cx2bxa0的两根分别为x1，x2，则x1x2bc，x1x2ac，其中ac113 232，bcbaca13 213
11、 2 1131252，x1 1133，x212.不等式 cx2bxa0(c0)的解集为x3x12.已知以 a，b，c 为参数的不等式(如 ax2bxc0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把 b，c 用 a 表示出来并代入所要解的不等式；(3)约去 a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解课 堂 小 结 提 素 养 1解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：化不等式为标准形式：ax2bxc0(a0)或 ax2bxc0(a0)；求方程 ax2b
12、xc0(a0)的根，并画出对应函数 yax2bxc 图象的简图；由图象得出不等式的解集(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解当 m0)，一根(0)，无根(0).(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1x2，x1x2，x1x2.3由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数图象的开口及与x轴的交点坐标1判断正误(1)mx25x0，则一元二次不等式 ax210 无解()(3)若一元二次方程 ax2bxc0 的两根为 x1，x2(x1x2)，则一元二次不等式 ax2bxc0 的解集为x|x1x0 的解集为 R.()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)错误当 m0 时，是一元一
13、次不等式；当 m0 时，是一元二次不等式(2)错误因为 a0，所以不等式 ax210 恒成立，即原不等式的解集为 R.(3)错误当 a0 时，ax2bxc0 的解集为x|x1xx2，否则不成立(4)正确因为(2)2120 的解集为 R.xx1a 因为 a1，所以 a(xa)x1a 0.又 aa，所以 x1a或 xa.2设 a1，则关于 x 的不等式 a(xa)x1a 0 的解集为 14 由已知得，ax2bx20的解为12，13，且a0的解集是x12x2(x1).解(1)原不等式可化为 x27x120，因为方程 x27x120 的两根为 x13，x24，所以原不等式的解集为x|3x4(2)原不等式可以化为 x22x20，因为判别式 4840，方程 x22x20 无实根，而抛物线 yx22x2 的图象开口向上，所以原不等式的解集为 R.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
