1、6.1 平面向量及其线性运算 6.1.1 向量的概念 第六章 平面向量初步 学习目标 1.通过位移、速度和力这些物理量的分析，了解向量的实际背景.2.理解向量、相等向量、共线向量、零向量的概念及向量的表示.3.理解向量的几何意义.重点：向量的有关概念及向量的几何表示.难点：对向量的概念及平行向量的理解.知识梳理 一、位移与向量 1.位移 如何正确理解位移？位移是由方向和距离唯一确定的，只要方向相同，距离相等，就说两位移相等，位移只与质点的起点和终点的位置有关，与其实际运动的路线无关.我们知道，位移是既有大小，又有方向的量.一般地，像位移这样既有大小，又有方向的量称为向量(也称为矢量).向量的大
2、小也称为向量的模（或长度）.而把那些只有大小，没有方向的量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等，称为标量.2.向量的概念 提示：看一个量是否为向量，就要看它是否同时具备了大小和方向两个要素.数量是一个代数量，只有大小没有方向，可用正数、负数、零表示，可以比较大小；向量（矢量）既有大小又有方向，不能比较大小.向量与数量有什么区别？3.向量的表示 我们知道，位移可以用带箭头的线段（即有向线段）来直观地表示.类似地，我们也用有向线段来直观地表示向量，其中有向线段的长度表示向量的大小，有向线段箭头所指的方向表示向量的方向.而且，通常将有向线段不带箭头的端点称为向量的始点（或起点），带箭头的端点称为
3、向量的终点.有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向.有向线段与向量的区别与联系（1）区别：向量只有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、大小和方向三个要素.在空间中，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的.（2）联系：有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段.每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数条有向线段.4.零向量与单位向量模不为0的向量通常称为非零向量.【注意】零向量、单位向量都是只限制长度，不确定方向，零向量的方向是任意的，两个单位向量的方向不一定相同.二、向量的相等与平行 1.相等向量【提示】当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取.同向且等长的有
4、向线段都表示同一向量，或者说向量可以在平面内平行移动，这样可以为研究问题带来很大方便.2.共线（平行）向量平行向量与平行直线的关系 平行向量和平行直线是有区别的，平行直线不包括重合的情况，而平行向量是可以重合的.换句话说，向量平行，向量所在直线不一定平行，还有可能是同一条直线.思考：向量平行具有传递性吗？由于零向量与任意向量平行，所以向量的平行不具有传递性.一、向量的概念 常考题型 例1 给出下列说法：（1）零向量没有方向；（2）若|a|b|，则ab；（3）单位向量都相等；（4）向量就是有向线段；（5）若四边形ABCD是平行四边形，则 ABCD，BC DA.其中，错误说法的个数是 .【解析】（
5、1）该说法不正确，零向量不是没有方向，只是方向不确定；（2）该说法不正确，|a|b|只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同；（3）该说法不正确，单位向量只是模为单位长度1，而对方向没要求；（4）该说法不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；（5）该说法不正确，如图所示，显然有 AB-CD，BC-DA.综上，错误说法的个数是5.【答案】5理解概念的本质1.向量和数量数量：只有大小，没有方向，可以比较大小；向量：具有两要素方向和长度，大小是代数特征，方向是几何特征，因为方向不能比较大小，所以向量不能像实数那样比较大小.2.零向量：零向量的核心是长度是0，方向没有限制；规定
6、零向量与任一向量共线.3.单位向量：方向没有限制，但长度都是一个单位长度.4.共线向量：方向相同或相反，长度没有限制.5.相等向量：方向相同且长度相等.训练题1.已知以下物理量：位移；路程；功；速率；密度；加速度；力；角度.其中不是向量的是 .2.2019广东东莞检测下列说法中错误的是（）A.零向量与任一向量平行B.方向相反的两个非零向量不一定共线C.零向量的长度为0D.方向相反的两个非零向量必不相等B3.2019北京海淀区高一检测下列说法正确的是（）A.向量 ABuuur与 CDuuur是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上 B.向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反 C.向量 ABu
7、uur与向量 BAuur是两平行向量 D.单位向量都相等 4.下列说法正确的是（）A.两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同B.长度相等的向量叫做相等向量C.共线向量是在一条直线上的向量D.向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反CA二、相等向量与共线向量 1.相等向量 例2 如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的向量中.（1）找出与向量 EFuuur相等的向量；（2）找出与向量 DFuuur共线的向量.【解题提示】（1）由于EF是ABC的中位线，且D为AB的中点，结合向量相等的概念得到与向量 EFuuur相等的向量；（2）由D
8、F是ABC的中位线，且E为BC的中点，结合向量相等的概念得到与向量 DFuuur共线的向量.【解】（1）E，F分别为BC，AC的中点，EF/BA，且EF 12 BA，又D是BA的中点，EFuuur BDuuur DAuuur，与向量 EFuuur相等的向量是 BDuuur，DAuuur.（2）D，F分别为BA，AC的中点，DF/BC，且DF 12 BC，又E是BC的中点，DFuuur BEuuur ECuuur，与向量 DFuuur共线的向量是 BEuuur，ECuuur，CEuuur，EBuur，BCuuur，CBuur，FDuuur.寻找相等向量的方法先找与表示已知向量的有向线段长度相等的
9、向量，再确定哪些是同向共线.【注意】（1）零向量与零向量相等.（2）任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关，所以向量是自由向量，只有大小和方向两个要素.物理中的力有三个要素，在数学中不考虑起点（力的作用点）.训练题1.如图所示，已知,ABCDAOBEACFBACGDACDH 点O是ABCD 对角线的交点，且OAa，ODb，ADc.（1）写出图中与a相等的向量；（2）写出图中与b相等的向量；（3）写出图中与c相等的向量.【解】（1）在AOBE中，BEOAa；在ABCD中，COOAa，所以a BECO.（2）在ABCD中，BOODb；在AOBE中，EA BOb，所
10、以b EA BO.（3）在ABCD中，BC ADc；在ACGD中，CG ADc，所以c BCCG.训练题2.2019湖南长沙雅礼中学高一月考如图2-1-4，ABC和ABC是在各边的 13处相交的两个全等的等边三角形，设ABC的边长为a，图中列出了长度均为 3a的若干个向量，则（1）与向量GHuuur相等的向量有 ；（2）与向量GHuuur共线，且模相等的向量 有 ；（3）与向量 EAuur共线，且模相等的向量 有 .图2-1-4LB，HCEC，LE，LB，GB，HCEF，FB，HA，HK，KB 2.共线向量 例3 如图所示，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在
11、图中所示的向量中：（1）写出与 AO共线的向量；（2）写出与 AO模相等的向量.【解】（1）与 AO共线的向量为：CO，BF，DE.（2）与 AO模相等的向量为：BO，CO，DO，BF，CF，DE，AE.【方法技巧】寻找共线向量的方法先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.如何区分相等向量与共线向量（1）相等向量必须满足长度相等且方向相同，缺一不可，在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等.（2）平行向量的方向相同或相反，与几何中的平行不同，两个平行向量的位置关系既可以是在同一条直
12、线上，也可以是在平行直线上.（3）共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量.例4 在下列说法中，正确的是 .（填序号）两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同；模为0的向量与任意非零向量平行；向量就是有向线段；两个有公共终点的向量一定是共线向量.【解析】错误，因为向量的方向和长度未知，所以向量的终点也未必相同；正确，模为0的向量是零向量，而零向量与任意向量平行；错误，有向线段是向量的几何表示；错误，这两个向量的起点没有确定，故无法判断它们是否共线.故正确的是.【答案】训练题1.2019湖北荆州中学高一月考下列结论正确的是 .（填序号）若a，b都是单位向量，则
13、ab；物理学中作用力与反作用力是一对共线向量；方向为南偏西60的向量与北偏东60的向量是共线向量；直角坐标平面上的x轴，y轴都是向量.2.如图6-1-5，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点.（1）写出图中所示向量与向量 DE 长度相等的向量；（2）分别写出图中所示向量与向量 DE，FD共线的向量.解：（1）与DE 长度相等的向量是EF，FD，AF，FC，BD，DA，CE，EB.（2）与 DE 共线的向量是 AC，AF，FC；与 FD共线的向量是CE，EB，CB.三、向量的模 例5 如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，若|AB|3，则向量 EC的模等于 .【解析】在平行四边形
14、ABCD和ABDE中，因为 AB ED，AB DC，所以 ED DC，所以E，D，C三点共线，所以|EC|ED|+|DC|2|AB|6，即向量 EC的模等于6.【答案】6 训练题 1.下列说法正确的是（）A.若|a|b|，则a b B.若|a|b|，则ab C.若ab，则ab D.若ab，则a与b不是共线向量 2.在平面内，已知点O固定，且|OA|2，则A点构成的图形是（）A.一个点 B.一条直线 C.一个圆 D.不能确定 CC3.如图所示，已知边长为6的等边三角形ABC，E，F分别为边BC的三等分点，求向量 AE和 AF 的模.解：E，F分别为边BC的三等分点，BC6，BE2.取D为边BC的
15、中点，连接AD，如图所示，则ADBC，在RtADC中，AD223 3ACCD.又DE1，AE222 7ADED.同理得AF2 7，|AE|AF|2 7.四 向量在平面几何中的应用 例6 在四边形ABCD中，ABuuur DCuuur，且|ABuuur|ACuuur|，tan D3，判断四边形ABCD的形状.【解题提示】画出图形，如图所示，ABuuur和 DCuuur是相等向量，说明AB DC，则可以判定四边形ABCD是平行四边形，再根据给出的正切值可以求出角D为60，进而判断出四边形ABCD是菱形.【解】因为在四边形ABCD中，ABuuur DCuuur，所以AB DC，所以四边形ABCD是平
16、行四边形.因为tan D3，所以BD60，又|ABuuur|ACuuur|，所以ABC是等边三角形.所以|ABuuur|BCuuur|，所以四边形ABCD是菱形.利用向量关系证明或判断线段平行或相等的方法（1）利用向量相等，可以用来证明线段的相等或直线与直线平行，但证直线与直线平行时需说明两向量所在的直线无公共点.（2）用向量平行或共线证明（判断）直线平行，但证明直线平行时，除说明向量平行或共线外还需说明向量所在的两直线无公共点.训练题如图所示，已知四边形 ABCD 中，M，N 分别是 BC，AD 的中点，又 ABuuur DCuuur.求证：CN MA.解：由 AB DC 可知ABDC且AB
17、DC，所以四边形ABCD是平行四边形，所以ADBC，ADBC，从而 AD BC.又M，N分别是BC，AD的中点，于是 AN MC，所以ANMC且ANMC，所以四边形AMCN是平行四边形，从而CNMA且CNMA，即CN MA.小结 一 向量的相关概念 1.数学中如何定义向量？在数学中，把既有大小，又有方向的量统称为向量.2.怎样表示向量？（1）几何表示：向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.（2）字母表示：向量可以用表示有向线段起点与终点的字母表示，且表示起点的字母在前，表示终点的字母在后，如 ABuuur，BCuuur等.向量还可以用黑体小写字母表示，如用a，b，c，来表示，书写用 ar，br，来表示.3.向量有哪些相关概念？（1）向量的模：向量 ABuuur（或）的大小，叫做向量 ABuuur（或）的模（或长度），记作|ABuuur|（或|）.（2）零向量：始点和终点相同的向量（即长度为零的向量），记作.（3）单位向量：模等于1的向量.（4）相等向量：大小相等且方向相同的向量.向量 与 相等，记作.（5）平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量，记作 .规定零向量与任一向量平行（共线）.