1、解几1、【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。【答案】（1）（2）（3）试题解析：解：圆M的标准方程为，所以圆心M(6，7)，半径为5,.（1）由圆心在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，所以，于是圆N的半径为，从而，解得.因此，圆N的标准方程为.(2)因为直线l|OA，所以直线l的斜率为.设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，则圆心M到直线l的距离 因为 而
2、所以，解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.考点：直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算【名师点睛】直线与圆中三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以为主元，揭示在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆位置关系.2、【2016年高考北京理数】（本小题14分）已知椭圆C： （）的离心率为 ，的面积为1
3、.（1）求椭圆C的方程；（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N.求证：为定值.【答案】（1）；（2）详见解析.试题分析：（1）根据离心率为，即，的面积为1，即，椭圆中列方程求解；（2）根据已知条件分别求出，的值，求其乘积为定值.试题解析：（1）由题意得解得.所以椭圆的方程为.令，得.从而.所以.当时，所以.综上，为定值.考点：1.椭圆方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到
4、繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.3、【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中 为原点，为椭圆的离心率.（）求椭圆的方程；（）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.【答案】（）（）【解析】试题分析：（）求椭圆标准方程，只需确定量，由，得，再利用，可解得，（）先化简条件：，即M再OA中垂线上，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H，最后根据，列等量关系解出直线斜率.取值范围解得，或，由题意得，从而.由（）知，
5、设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.设，由方程组消去，解得.在中，即，化简得，即，解得或.所以，直线的斜率的取值范围为.考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围8、在平面直角坐标系中,椭圆的离心率,且点在椭圆上.（1）求椭圆的
6、方程;（2）若点都在椭圆上,且中点在线段（不包括端点）上.求直线的斜率;求面积的最大值.11.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率为为椭圆上异于顶点的一点，点满足（1）若点的坐标为，求椭圆的方程；（2）设过点的一条直线交椭圆于两点，且，直线的斜率之积为，求实数的值12 (本小题满分14分)OxyFPQ（第17题图）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点(2，1)在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：x2y22相切，与椭圆C相交于P，Q两点 若直线l过椭圆C的右焦点F，求OPQ的面积；求证： OPOQ12(本小题满分14分)解：（1）由题
7、意，得，1，解得a26，b23所以椭圆的方程为1 2分（2）解法一 椭圆C的右焦点F(，0)设切线方程为yk(x)，即kxyk0，所以，解得k，所以切线方程为y(x)4分由方程组解得或 所以点P，Q的坐标分别为(，)，(，)，所以PQ 6分因为O到直线PQ的距离为，所以OPQ的面积为 因为椭圆的对称性，当切线方程为y(x)时，OPQ的面积也为综上所述，OPQ的面积为 8分解法二 椭圆C的右焦点F(，0)设切线方程为yk(x)，即kxyk0，所以，解得k，所以切线方程为y(x)4分把切线方程 y(x)代入椭圆C的方程，消去y得5x28x60设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1x2 由
8、椭圆定义可得，PQPFFQ2ae( x1x2)26分因为O到直线PQ的距离为，所以OPQ的面积为 因为椭圆的对称性，当切线方程为y(x)时，所以OPQ的面积为综上所述，OPQ的面积为 8分解法一：(i)若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x或x当x时，P (，)，Q(，)因为0，所以OPOQ当x时，同理可得OPOQ 10分(ii) 若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为ykxm，即kxym0因为直线与圆相切，所以，即m22k22将直线PQ方程代入椭圆方程，得(12k2) x24kmx2m260.设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1x2，x1x212分因为x1x2y1y2x1
9、x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2(1k2)km()m2将m22k22代入上式可得0，所以OPOQ综上所述，OPOQ 14分解法二：设切点T(x0，y0)，则其切线方程为x0xy0y20，且xy2 (i)当y00时，则直线PQ的直线方程为x或x当x时，P (，)，Q(，)因为0，所以OPOQ当x时，同理可得OPOQ 10分(ii) 当y00时，由方程组消去y得(2xy)x28x0x86y0设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1x2，x1x2 12分所以x1x2y1y2x1x2因为xy2，代入上式可得0，所以OPOQ综上所述，OPOQ 14分13（本小题
10、满分16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左，右焦点分别是，右顶点、上顶点分别为，原点到直线的距离等于 （1）若椭圆的离心率等于，求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，且在第二象限，直线交轴于点试判断以为直径的圆与点的位置关系，并说明理由13解：由题意，得点，直线的方程为，即由题设，得，化简，得 2分（1），即由，解得 5分所以，椭圆的方程为 6分（2）点在以为直径的圆上由题设，直线与椭圆相切且的斜率存在，设直线的方程为：，由，得，（*） 8分则，化简，得，所以， ，点在第二象限， 10分把代入方程（*） ，得，解得，从而，所以 11分从而直线的方程为：，令，得，所以点
11、12分从而， 13分从而， 又， 15分所以点在以为直径的圆上 16分16.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，长轴长为4，过椭圆的左顶点作直线，分别交椭圆和圆于相异两点.（1）若直线的斜率为，求的值；（2）若，求实数的取值范围.16.（1）由条件，解得所以椭圆的方程为，圆的方程为（方法一）直线的方程为，由得：解得，所以所以，又因为原点到直线的距离所以，所以（方法二）由得，所以 所以;（2）（方法一）若，则设直线，由得，即，所以，得所以，即，同理由题意：，所以.17. (本小题满分14分)在平面直角坐标系中，已知圆经过椭圆的焦点.（1）求椭圆的标准方程；lTPOyxQ第17题图（2）
12、设直线交椭圆于两点，为弦的中点，记直线的斜率分别为，当时，求的值.17解：（1）因，所以椭圆的焦点在轴上，又圆经过椭圆的焦点，所以椭圆的半焦距， 3分所以，即，所以椭圆的方程为. 6分（2）方法一：设，联立，消去，得，所以，又，所以，所以， 10分则. 14分方法二：设， 则，两式作差，得，又，又，在直线上，又在直线上，由可得，. 10分以下同方法一.19、如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到左准线的距离为（1）求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆的左顶点，为椭圆上位于轴上方的点，直线交轴于点，过点作的垂线，交轴于点（）当直线的斜率为时，求的外接圆的方程；（）设直线交椭圆于另一
13、点，求的面积的最大值19（1）由题意，得 解得 则，所以椭圆的标准方程为 4分（2）由题可设直线的方程为，则，所以直线的方程为，则(i)当直线的斜率为，即时，因为，所以圆心为，半径为，所以的外接圆的方程为8分(ii)联立 消去并整理得，解得或，所以，10分直线的方程为，同理可得，所以，关于原点对称，即过原点所以的面积，14分当且仅当，即时，取“”所以的面积的最大值为16分20、已知椭圆的离心率为，且过点（1）求椭圆的方程；（2）设点在椭圆上，且与轴平行，过点作两条直线分别交椭圆于两点，若直线平分，求证：直线的斜率是定值，并求出这个定值21.已知椭圆，动直线l与椭圆B,C两点（B在第一象限）.（
14、1）若点B的坐标为，求面积的最大值；（2）设，且，求当面积最大时，直线l的方程.OPQxy22（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值；22. 解：（1）由题意得：，2分解得：，所以椭圆的标准方程为；4分（2）由题意知OP的斜率存在，当OP的斜率为0时，所以=1，6分当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为，由得：，解得：，所以，所以，9分因为，所以直线OQ的方程为，由得：，所以，12分所以=，综上，可知=1.14分11.【2016全国大联考4（课标卷）】已
15、知、分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆上一点，线段的中点为，（O为坐标原点）的周长为3，过右焦点与轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点，. ()求椭圆的标准方程；()过作直线交椭圆于两点，以为邻边作平行四边形，求四边形面积的取值范围. ()设，显然直线的斜率不能为0，故设直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，7分=，9分设，则，=()，设=，=0，在1，+）上是增函数，所以，0=，0=12， 11分四边形面积的取值范围是(0,12. 12分13.如图，在平面直角坐标系中，已知，是椭圆上不同的三点，在第三象限，线段的中点在直线上（第18题）（1）求椭圆的标准方程；（2）求点C的坐标；（3）设动点在椭圆
16、上（异于点，）且直线PB，PC分别交直线OA于，两点，证明为定值并求出该定值解：（1）由已知，得解得2分所以椭圆的标准方程为3分（2）设点，则中点为由已知，求得直线的方程为，从而又点在椭圆上，由，解得（舍），从而5分所以点的坐标为6分（3）设，三点共线，整理，得8分三点共线，整理，得10分点在椭圆上，从而14分所以15分为定值，定值为 16分已知椭圆的右准线，离心率，是椭圆上的两动点，动点满足，（其中为常数）（1）求椭圆标准方程；（2）当且直线与斜率均存在时，求的最小值；第18题yxFO（3）若是线段的中点，且，问是否存在常数和平面内两定点，使得动点满足，若存在,求出的值和定点，;若不存在，请
17、说明理由解：（I）由题设可知：又，椭圆标准方程为5分（2）设则由得由得当且仅当时取等号10分（3）kOAkOB4x1x29y1y2011分设P(x，y)，则由得(x，y)(x1，y1) (x2，y2)(x1x2，y1y2)，即xx1x2，yy1y2. 因为点A、B在椭圆4x29y236上，所以xy36，4x9y36，故4x29y24(xx2x1x2)9(yy2y1y2)(4x9y)(4x9y)2(4x1x29y1y2)3636+2(4x1x29y1y2)所以4x29y23636. 即，所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为，则由椭圆的定义得18，,16分（第三问若给出判断无证明给1分）Z
18、.变题：在平面直角坐标系中，设椭圆的离心率的值为，焦点到准线的距离为1(1) 求椭圆的方程；(2) 设为直线上一点，为椭圆上的一点，且满足，为定值，求实数的值解：(1) 因为， ，所以，椭圆的方程为(2) 由题意知的斜率存在当的斜率为0时， 所以当的斜率不为0时，设直线方程为由得，解得，所以，所以因为，所以直线方程为由得，所以所以因为为定值，所以，又因为，所以当时，由上述讨论可知解法二：设，因为，所以因为，所以，因为为定值，所以，又因为，所以拓展：在平面直角坐标系中，已知椭圆设为直线上一点，为椭圆上的一点，且满足，为定值，则11. (2016届南京盐城二检18本小题满分16分)在平面直角坐标系
19、xOy中，点C在椭圆M：1(ab0)上若点A(a，0)，B(0，)，且 （1）求椭圆M的离心率； （2）设椭圆M的焦距为4，P，Q是椭圆M上不同的两点，线段PQ的垂直平分线为直线l，且直线l不与y轴重合若点P(3，0)，直线l过点(0，)，求直线l的方程； 若直线l过点(0，1) ，且与x轴的交点为D，求D点横坐标的取值范围18(本小题满分16分)解：（1）设C (x0，y0)，则(a，)，(x0，y0)因为，所以(a，)(x0，y0)(x0，y0)， 得 2分代入椭圆方程得a2b2因为a2b2c2，所以e 4分（2）因为c2，所以a29，b25，所以椭圆的方程为1， 设Q (x0，y0)，则
20、1 6分因为点P(3，0)，所以PQ中点为(，)， 因为直线l过点(0，)，直线l不与y轴重合，所以x03，所以1， 8分化简得x029y02y0 将代入化简得y02y00，解得y00（舍），或y0将y0代入得x0，所以Q为(，)， 所以PQ斜率为1或，直线l的斜率为1或，所以直线l的方程为yx或yx 10分设PQ：ykx+m，则直线l的方程为：yx1，所以xDk将直线PQ的方程代入椭圆的方程，消去y得(59k2)x218kmx9m2450，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，中点为N，xN，代入直线PQ的方程得yN，12分代入直线l的方程得9k24m5 又因为(18km)24(59k2)
21、(9m245)0， 化得m29k250 14分将代入上式得m24m0，解得0m4，所以k，且k0，所以xDk(，0)(0，)综上所述，点D横坐标的取值范围为(，0)(0，)16分17.（2016届苏北四市上学期调研19. 本小题满分16分）如图，椭圆的上、下顶点分别为，右焦点为点在椭圆上，且（1） 若点坐标为求椭圆的方程；（2） 延长交椭圆于点，若直线的斜率是直线的斜率的2倍，求椭圆的离心率；第19题图（3） 求证：存在椭圆，使直线平分线段19（1）因为点，所以，又因为AFOP， 所以，所以， 2分又点在椭圆上，所以，解之得故椭圆方程为4分（2）由题意，直线AF的方程为，与椭圆方程联立消去，得
22、， 解得或，所以点的坐标为，7分所以直线的斜率为，由题意得，所以，9分所以椭圆的离心率10分（3）因为线段OP垂直AF，则直线OP的方程为，与直线AF的方程联立，解得两直线交点的坐标()因为线段OP被直线AF平分，所以P点坐标为()，12分由点P在椭圆上，得，又,设，得(*)14分令，所以函数单调增，又，所以，在区间上有解，即(*)式方程有解，故存在椭圆，使线段OP被直线AF垂直平分16分2.已知椭圆的离心率为，一个交点到相应的准线的距离为3，圆N的方程为为半焦距）直线与椭圆M和圆N均只有一个公共点，分别设为A、B.（1）求椭圆方程和直线方程；（2）试在圆N上求一点P，使。3.如图，已知椭圆O
23、：y21的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y2上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M（1）当直线PM过椭圆的右焦点F时，求FBM的面积； （2）记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值； 求的取值范围解：（1）由题意，焦点，当直线PM过椭圆的右焦点F时，则直线PM的方程为，即， 联立，解得或（舍），即 2分连BF，则直线BF：，即，而， 4分故 5分（2）解法一：设，且，则直线PM的斜率为，则直线PM的方程为， 联立化简得，解得， 8分 所以， 所以为定值 10分 由知，所以， 13分令，故，因为在上单调递增，所以，即的取值范围
24、为16分解法二：设点，则直线PM的方程为，令，得. 7分所以，所以（定值）. 10分由知，所以 = 13分令，则，因为在上单调递减，所以，即的取值范围为 16分4.如图，已知椭圆（）的左、右焦点为、，是椭圆上一点，在上，且满足（），为坐标原点.（1）若椭圆方程为，且，求点的横坐标；（2）若，求椭圆离心率的取值范围.解：（1） 直线的方程为：，直线的方程为： 4分由解得： 点的横坐标为 6分（2）设 ， 即 9分联立方程得：，消去得：解得：或 12分 解得：综上，椭圆离心率的取值范围为 15分 5.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点.（
25、1）求椭圆的方程;（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由;（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值.解：（1）因为左顶点为，所以，又，所以.2分又因为，所以椭圆C的标准方程为. 4分（2）直线的方程为，由消元得，.化简得，所以，. 6分当时，所以.因为点为的中点，所以的坐标为，则.8分直线的方程为，令，得点坐标为，假设存在定点，使得，则，即恒成立，所以恒成立，所以即因此定点的坐标为. 10分（3）因为，所以的方程可设为，由得点的横坐标为，12分由，得 14分，当且仅当即时取等号，所以当时，的最小值为 16分8.如图,在平面直角坐标系中，
26、椭圆的离心率为，直线与轴交于点，与椭圆交于、两点. 当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时， 弦的长为.第18题（1）求椭圆的方程；（2）若点的坐标为，点在第一象限且横坐标为，连结点与原点的直线交椭圆于另一点，求的面积；（3）是否存在点，使得为定值？若存在，请指出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由.解：（1）由，设，则，所以椭圆的方程为，因直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点，即，代入椭圆方程，解得，于是，即，所以椭圆的方程为5分（2）将代入，解得，因点在第一象限，从而，由点的坐标为，所以，直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，解得，又过原点，于是，所以直线的方程为，所以点到直线的距离，10分（
27、3）假设存在点，使得为定值，设，当直线与轴重合时，有，当直线与轴垂直时，由，解得，所以若存在点，此时，为定值2. 12分根据对称性，只需考虑直线过点，设，又设直线的方程为，与椭圆联立方程组，化简得，所以，又，所以，将上述关系代入，化简可得.综上所述，存在点，使得为定值216分10.在平面直角坐标系中，已知椭圆C：，的离心率为，且经过点，过椭圆的左顶点A作直线lx轴，点M为直线l上的动点（点M与点A在不重合），点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P（1） 求椭圆C的方程；（2） 求证：APOM；（3） 试问是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由11.如图，在平面直角坐标系中，椭
28、圆的左顶点为，与轴平行的直线与椭圆交于、两点，过、两点且分别与直线、垂直的直线相交于点已知椭圆的离心率为，右焦点到右准线的距离为 （1）求椭圆的标准方程； （2）证明点在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；（3）求面积的最大值解：（1）由题意得，解得，所以，所以椭圆的标准方程为4分（2） 设，显然直线的斜率都存在，设为， 则，所以直线的方程为：，消去得，化简得，故点在定直线上运动10分（3）由（2）得点的纵坐标为，又，所以，则，所以点到直线的距离 为， 将代入得，所以面积，当且仅当，即时等号成立，故时，面积的最大值为 16分12.如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为
29、，且是边长为的等边三角形.求椭圆的方程；过右焦点的直线与椭圆交于两点，记，的面积分别为.若，求直线的斜率.13.在平面直角坐标系xOy中，已知点 ，C， D分别为线段OA， OB上的动点，且满足AC=BD.（1）若AC=4，求直线CD的方程;（2）证明：OCD的外接圆恒过定点(异于原点O).解析：(1) 因为，所以，1分又因为，所以，所以，3分由，得， 4分所以直线的斜率， 5分所以直线的方程为，即6分（2)设，则7分则，因为，所以，所以点的坐标为 8分又设的外接圆的方程为，则有10分解之得,所以的外接圆的方程为，12分整理得，令，所以（舍）或所以的外接圆恒过定点为14分14.如图，在平面直角
30、坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点若直线斜率为时，（1）求椭圆的标准方程；（2）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论解：（1）设， 直线斜率为时，分，椭圆的标准方程为 分（）以为直径的圆过定点设，则，且，即，直线方程为： ， ，直线方程为： ， 分以为直径的圆为即， 12分，令，解得，以为直径的圆过定点 16分M A P FOx y 17.如图，在平面直角坐标系中，椭圆C：（）的左焦点为，右顶点为A，动点M 为右准线上一点（异于右准线与轴的交点），设线段交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为，点M的横
31、坐标为（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线PA的斜率为，直线MA的斜率为，求的取值范围解：（1）由已知，得，19.如图，圆O与离心率为的椭圆T：（）相切于点M。求椭圆T与圆O的方程；过点M引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）.P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为、，求的最大值；若，求与的方程.解: (1)由题意知: 解得可知:椭圆的方程为与圆的方程4分(2)设因为,则因为 所以,7分因为 所以当时取得最大值为，此时点9分(3)设的方程为,由解得；由解得11分把中的置换成可得，12分所以，由得解得15分所以的方程为，的方程为或的方程为，的方程为16分2
32、0.已知圆过点,且与圆:关于直线对称.(1)求圆的方程；(2)设为圆上的一个动点,求的最小值；(3)过点作两条相异直线分别与圆相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行?请说明理由.解:(1)设圆心,则,解得 (3分)则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为(5分)(2)设,则,且 (7分)=,所以的最小值为(可由线性规划或三角代换求得)(10分)(3)由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,由,得 (11分) 因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得 (13分) 同理,所以= 所以,直线和一定平行 (16分)23.椭圆C： 两个焦点为，点P在椭圆C上
33、，且,，.(1)求椭圆C的方程.(2)以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个;若不存在，请说明理由.解：(1) ，又，,所求椭圆C的方程为.(2)假设能构成等腰直角三角形ABC，其中，由题意可知，直角边不可能垂直或平行于轴，故可设边所在直线的方程为， ,则边所在直线的方程为.由得,故，用代替上式中的，得,由即即故存在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形.25.已知左焦点为F(1，0)的椭圆过点E(1，)过点P(1，1)分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点（1）求椭圆的标准方程；（2
34、）若P为线段AB的中点，求k1；（3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标解：依题设c=1，且右焦点(1，0)所以，2a=，b2=a2c2=2，故所求的椭圆的标准方程为 4分(2)设A(，)，B(，)，则，得 所以，k1= 9分(3)依题设，k1k2设M(,)，直线AB的方程为y1=k1(x1)，即y=k1x+(1k1)，亦即y=k1x+k2，代入椭圆方程并化简得 于是， 11分同理，当k1k20时，直线MN的斜率k=13分直线MN的方程为，即 ，亦即 此时直线过定点 15分当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点综上，直线MN恒过定点，且坐标为 16分26.已知椭圆的
35、中心在原点，长轴在x轴上，右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为. 不过A点的动直线交椭圆于P,Q两点（1）求椭圆的标准方程；（2）证明P,Q两点的横坐标的平方和为定值；（3）过点 A,P,Q的动圆记为圆C，动圆C过不同于A的定点，请求出该定点坐标.解：（1）设椭圆的标准方程为.由题意得.2分, , 2分 椭圆的标准方程为.4分（2）证明：设点将带入椭圆，化简得：,6分 , P,Q两点的横坐标的平方和为定值4.7分（3）(法一)设圆的一般方程为:,则圆心为（）,PQ中点M(), PQ的垂直平分线的方程为:, 8分圆心（）满足，所以,9分圆过定点(2,0)，所以,10分圆过, 则 两式相加
36、得： ,11分, .12分因为动直线与椭圆C交与P,Q（均不与A点重合）所以，由解得: 13分代入圆的方程为：,整理得：,14分所以：15分 解得：或(舍). 所以圆过定点(0,1).16分(法二) 设圆的一般方程为:,将代入的圆的方程:.8分方程与方程为同解方程., 11分圆过定点(2,0)，所以 , 12分 因为动直线与椭圆C交与P,Q（均不与A点重合）所以.解得: ,13分 (以下相同)27.如图，在平面直角坐标系中，已知圆，圆（1） 若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2） 设动圆同时平分圆的周长、圆的周长.证明：动圆圆心在一条定直线上运动；动圆是否经过定点？若经过，求出定点
37、的坐标；若不经过，请说明理由. .解：思路一：设圆：（）， 易得圆：， 圆：， 由得，将代入得， 由得，将代入得， 代入得，整理得， 由得或 所以定点的坐标为， 思路二（几何方法）：利用定点M在直线C1C2上，C1C2的中点为N，动圆圆心C满足CC12+12=r2= CN2+CM2，则CM2= CN2 CC12+1= C1N2+1=9，进而得出结论30.在平面直角坐标系xoy中，已知定点A（-4，0），B（4，0），动点P与A、B连线的斜率之积为.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C，半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得弦长为。 求圆M的方程；当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由。解：（1）设，则直线的斜率分别为2分由题意知，即所以动点的轨迹方程是 4分（说明：没有范围扣1分）（2）（）由题意所以线段的垂直平分线方程为 6分设，则圆的方程为圆心到轴的距离，由，得所以圆的方程为 10分（）假设存在定直线与动圆均相切当定直线的斜率不存在时，不合题意,设直线：则对任意恒成立 12分由得所以，解得或所以存在两条直线和与动圆均相切 16分（说明：少一条直线扣1分）
