1、数学试卷注意事项:1本试卷由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间为120分钟. 2. 答题前，请您务必将自己的学校、姓名、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方.3. 答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.参考公式： 圆柱的体积公式：=Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高.圆锥的体积公式：=Sh，其中S是圆锥的底面积，h为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1. 已知集合，则 2. 已知复数(为虚数单位)，则 3. 一组数据共40个，分
2、为6组，第1组到第4组的频数分别为10，5，7，6，第5组的频率为0.1，则第6组的频数为 4. 阅读下列程序，输出的结果为 5. 某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 6. 已知函数，则的值域是 7. 已知函数的定义域为，集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 8. 已知实数、满足，则的最大值为 9. 在中，若，则 10. 若直线与函数的图象恰有一个公共点，则实数的取值范围为 11. 已知函数，对于等差数列满足：，是其前项和，则 12. 在中，已知，点为三角形的外心，则 13. 圆，点，若点为线段上的任意点，在圆上均存在两
3、点、，使得，则半径的取值范围 14. 已知正实数满足，则的最大值为 二、解答题：本大题共6小题,满分90分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.15（本小题满分14分） 在平面直角坐标系中，以轴为始边，作两个角，它们终边分别经过点，其中，且.（1）求的值；（2）求的值16（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为矩形，ABBP，M为AC的中点，N为PD上一点.（1）若MN平面ABP，求证：N为PD的中点；（2）若平面ABP平面APC，求证：PC平面ABP.17. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0) 的焦距为2，过右焦点F的直线交椭
4、圆于两点，当与轴垂直时，长为 （1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上存在一点P，使得，求直线的斜率.AFxB（第17题图）18. （本小题满分16分） 某工厂要生产体积为定值V的漏斗，现选择半径为R的圆形马口铁皮，截取如图所示的扇形，焊制成漏斗（1）若漏斗的半径为R，求圆形铁皮的半径R；（2）这张圆形铁皮的半径R至少是多少？19.（本小题满分16分）已知函数， 。（1）若两个实数满足，且，求的取值范围；（2）证明：当时，存在，使得对任意的，恒有；（3）已知，证明：存在，使得.20（本小题满分16分）设三个各项均为正整数的无穷数列，.记数列，的前项和分别为，若对任意的，都有，且，则称数列为可拆分
5、数列.（1） 若，且数列，均是公比不为1的等比数列，求证：数列为可拆分数列；（2） 若且数列，均是公差不为0的等差数列，求所有满足条件的数列，的通项公式；（3） 若数列，均是公比不为1的等比数列，且， 求证：数列为可拆分数列.数学附加题21【选做题】在A，B，C，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲 如图，O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为O上一点，AEAC，DE交AB于点F，求证：PDFPOC.B选修42：矩阵与变换已知矩阵M，求矩阵M的特征值及其相应的特征向量C选修44
6、：坐标系与参数方程已知直线l的极坐标方程为sin()3，曲线C的参数方程为设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值D选修45：不等式选讲设a、b、c、d都是正数，且x，y. 求证：xy.【必做题】第22题、第23题每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分） 如图，在四棱锥中，已知SD底面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，, E为棱SB上的一点，且DESC.S （）求的值； （）求直线EC与平面ADE所成角.ECDAB23（本小题满分10分）已知实数数列满足：，.证明：当时，是单调减数列.答案一、填空题（每小
7、题5分）题号答案考查知识内容方法与技能1集合的运算运算与概念2复数的运算，复数的概念运算与概念38频率分布表计算与概念422伪代码运算5古典概型枚举与计算6三角函数的单调性和值域运算7函数的性质、逻辑数形结合84线性规划数形结合与运算9三角恒等变换变形、转化10函数与方程转化、计算、数形结合114034函数的性质和等差数列的性质运算1214向量的数量积运算13圆的综合数形结合、运算14齐次化思想、基本不等式求最值化归、换元、运算二、解答题：本大题共6小题，共计90分15.解：（1）由得： 4分所以： 7分（2）由，则故 10分因此 14分【说明】本题是原创题，考查任意角三角函数的定义；考查和角
8、公式；考查学生的字母符号处理能力、运算能力、书写表达能力.16. （1）连接BD，由四边形为矩形得：M为和的中点，MN平面ABP，MN平面BPD，平面BPD平面ABPBP，MNBP，4分M为AC的中点，N为PD的中点. 6分（2）在ABP中，过点B作BEAP于E，平面ABP平面APC，平面ABP平面APCAP，BE平面ABP，BEAPBE平面APC， 9分又PC平面APC，BEPC.ABCD为矩形， ABBC，又ABBP，BCBPB，BC，BP 平面BPC，AB平面BPC， 12分ABPC又BEPC， AB平面ABP，BE平面ABP，ABBEB， PC平面ABP 14分 【说明】本题是源于课本
9、，考查线面平行的性质、线面垂直的判定、面面垂直的判定；考查空间想象能力和识图能力，考查规范化书写表达能力.17. 解：(1)由题意可知， 当与轴垂直时， 2分因为所以， 故椭圆的标准方程是：. 4分(2)设直线的斜率为，则直线的方程：，设点,，.由可得 6分则，. （*）因，则，代入椭圆方程有，又，化简得，即， 10分将（*）代入得，即.故直线的斜率为. 14分【说明】本题原创题. 主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、直线与椭圆等基础知识，考查分析问题及运算求解能力.18.解：(1)漏斗高hR， 2分 则体积V(R)2h，所以R2 6分(2) 设漏斗底面半径为r(r0)，Vr2，R，
10、 9分令f(r)r2(r0)，则f(r)2r所以f(r)在(0，)上单调减，(，)单调增， 12分所以当r时，R取最小值为. 15分答：这张圆形铁皮的半径R至少为. 16分【说明】第二问用三元基本不等式也给相应分数.本题是改编题.考查几何中的最值、函数中的最值的求法；考查函数思想；考查阅读理解能力、数学建模的能力、运算能力和叙述表达能力.19. 解：(1)由，且得. 1分故有, 2分易知函数在上单调递减， 而时；时，所以，的取值范围是 4分（2） 令 ， 则有， 5分当 时，故 在 上单调递增，故任意正实数 均满足题意. 7分当 时，令 ，得 取，对任意 ，有 ，从而 在 上单调递增，所以 ，
11、即 9分综上，当 时，总存在 ，使得对任意 ，恒有 10分（3）记， 要证 存在，使得，即证 函数在上存在零点 因在上单调递减，故只需证且，即证 12分下证：当时，式成立记，由，可得在上单调增，上单调减， 13分由，得，从而有且，即有且，化简得 15分又，故有成立 16分【说明】本题原创，考查用导数研究函数的单调性，函数与方程等基础知识,考查了分类讨论、划归思想；考查运算变形能力.20.解：（1）由令.则.所以, 对任意的，都有，且 3分（2）设数列，的公差分别为由得对任意的都成立.所以，即 5分由，得，则.由，得对任意的成立.则且即且由数列，各项均为正整数，则均为正整数当时，由，得不符；所以
12、 7分由，得或或或所以或或或 . 9分 （3）设下面证明：当为无理数时，为无理数，与矛盾.故为有理数，设为正整数，且互素）. 11分此时.则对任意的，均为的约数，则，即，故，所以 14分 所以令则，各项均为正整数. 因为,所以则所以,数列为可拆分数列. 16分 【说明】本题是改编题，此题为新定义题，考查阅读理解能力；考查一般与特殊思想、转化与化归思想；考查运算能力；考查分析探究推理能力. 21【选做题】在A，B，C，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲证明： AEAC，CDEAOC， 3分
13、又CDEPPFD，AOCPOCP，从而PFDOCP. 8分 在PDF与POC中，PP，PFDOCP，故PDFPOC. 10分 B选修42：矩阵与变换解：矩阵M的特征多项式为f()232， 2分 令f()0，解得11，22.(4分)将11代入二元一次方程组 解得x0，6分 所以矩阵M属于特征值1的一个特征向量为； 8分 同理，矩阵M属于特征值2的一个特征向量为. 10分 C选修44：坐标系与参数方程解：由sin()3，得(sincos)3， yx6，即xy60. 3分 由得x2y24， 6分 圆心到直线l的距离d3. 8分 P到直线l的距离的最大值为dr5. 10分 D选修45：不等式选讲证明：
14、 (a2b2)(c2d2)(acbd)2(adbc)20， (a2b2)(c2d2)(acbd)2.又a、b、c、d均为正数， acbd0，同理adbc0， 6分 得：(a2b2)(c2d2)(acbd)(adbc)0， ，即xy. 10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）解：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为， 1分（），令，则，因DESC，则，即，故.所以. 5分（）由（）知， ，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得为平面的法向量， 7分于是,. 9分所以直线与平面所成角为. 10分23（本小题满分10分）证明：当时，有. 2分下面有数学归纳法证明：（）（1）当时，； 4分（2）假设时，结论成立，即； 那么，.故由（1）（2）知，. 8分因此，当， 即当时，是单调减数列. 10分版权所有：高考资源网()