1、大二轮理2大二轮 数学 理 第三编 考前冲刺攻略 第三步 应试技能专训3大二轮 数学 理三、压轴题专练4大二轮 数学 理(一)1.如图，F 是椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点，A，B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为12，点 C 在 x 轴上，BCBF，B，C，F 三点确定的圆 M 恰好与直线 x 3y30相切5大二轮 数学 理(1)求椭圆的方程；(2)过 F 作一条与两坐标轴都不垂直的直线 l 交椭圆于P，Q 两点，在 x 轴上是否存在点 N，使得 NF 恰好为PNQ的内角平分线，若存在，求出点 N 的坐标，若不存在，请说明理由解(1)由题意可知 F(c,0)，e12，b 3c，即 B
2、(0，3c)，6大二轮 数学 理kBF3c0c 3，又BCBF，kBC 33，C(3c,0)，圆 M 的圆心坐标为(c,0)，半径为 2c，由直线 x 3y30 与圆 M 相切可得|c3|1 322c，c1.椭圆的方程为x24y231.7大二轮 数学 理(2)假设存在满足条件的点 N(x0,0)由题意可设直线 l 的方程为 yk(x1)(k0)，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，NF 为PNQ 的内角平分线，kNPkNQ，即y1x1x0y2x2x0，kx11x1x0 kx21x2x0(x11)(x2x0)(x21)(x1x0)x0 x1x22x1x2x1x22.8大二轮 数学 理又 yk
3、x1x24y231，3x24k2(x1)212.(34k2)x28k2x4k2120.x1x2 8k234k2，x1x24k21234k2.x0 8k234k28k22434k22 8k234k24，存在满足条件的点 N，点 N 的坐标为(4,0)9大二轮 数学 理2.设函数 f(x)12x2mln x，g(x)x2(m1)x.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 m0 时，讨论函数 f(x)与 g(x)图象的交点个数解(1)函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)x2mx，当 m0 时，f(x)0，所以函数 f(x)的单调递增区间是(0，)，无单调递减区间当 m0 时，f(x)x m
4、x mx，10大二轮 数学 理当 0 x m时，f(x)m时，f(x)0，函数 f(x)单调递增综上：当 m0 时，函数 f(x)的单调递增区间是(0，)，无单调递减区间；当 m0 时，函数 f(x)的单调递增区间是(m，)，单调递减区间是(0，m)11大二轮 数学 理(2)令 F(x)f(x)g(x)12x2(m1)xmln x，x0，问题等价于求函数 F(x)的零点个数，当 m0 时，F(x)12x2x，x0，有唯一零点；当 m0 时，F(x)x1xmx，当 m1 时，F(x)0，函数 F(x)为减函数，注意到F(1)320，F(4)ln 41 时，0 xm 时，F(x)0；1x0，所以函
5、数 F(x)在(0,1)和(m，)上单调递减，在(1，m)上单调递增，注意到 F(1)m120，F(2m2)mln(2m2)0，所以 F(x)有唯一零点当 0m1 时，0 x1 时，F(x)0；mx0，所以函数 F(x)在(0，m)和(1，)上单调递减，在(m,1)上单调递增，易得 ln m0，而 F(2m2)mln(2m2)0，d|cos 3sin3|22sin6 3217大二轮 数学 理2sin6 32.d 的最小值为 12 22，d 的最大值为 525 22.22 d5 22，即 d 的取值范围为22，5 22.18大二轮 数学 理(2)|2xa|2a6，|2xa|62a，2a62xa6
6、2a，32a3x3a2，不等式 f(x)6 的解集为x|6x4，32a363a24，解得 a2.19大二轮 数学 理由得 f(x)|2x2|4.|2x2|4(k21)x5，化简整理得|2x2|1(k21)x，20大二轮 数学 理令 g(x)|2x2|12x3，x1，2x1，x2或 k211，k 的取值范围是k|k 3或 kb0)椭圆的一个顶点恰好在抛物线 x28y 的准线 y2上，23大二轮 数学 理b2，解得 b2.又ca 32，a2b2c2，a4，c2 3.可得椭圆 C 的标准方程为x216y241.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，APQBPQ，则 PA，PB 的斜率互为相反
7、数，可设直线 PA 的斜率为 k，则 PB 的斜率为k，直线 PA 的方程为：y 3k(x2)，24大二轮 数学 理联立y 3kx2x24y216，化为(14k2)x28k(32k)x4(32k)2160，x128k2k 314k2.同理可得：x228k2k 314k28k2k 314k2，x1x216k2414k2，x1x216 3k14k2，25大二轮 数学 理kABy1y2x1x2kx1x24kx1x2 36.直线 AB 的斜率为定值 36.26大二轮 数学 理22016河南六市一联已知函数 f(x)aln xx，g(x)x2(1a)x(2a)ln x，其中 aR.(1)若 g(x)在其
8、定义域内为增函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数 F(x)f(x)g(x)的图象交 x 轴于 A，B 两点，AB 中点的横坐标为 x0，问：函数 F(x)的图象在点(x0，F(x0)处的切线能否平行于 x 轴？解(1)g(x)2x(1a)2ax2x21ax2ax，27大二轮 数学 理g(x)的定义域为x|x0，且 g(x)在其定义域内为增函数，g(x)0 在 x0 时恒成立，则 2x2(1a)x(2a)0 在 x0 时恒成立，a52x1 1x1 在 x0 时恒成立而当 x0 时，2(x1)1x13，a2，)28大二轮 数学 理(2)设 F(x)的图象在(x0，F(x0)处的切线平行于 x
9、轴，F(x)2ln xx2ax，F(x)2x2xa，不妨设 A(m,0)，B(n,0)，0m0(t(0,1)，函数 h(t)ln t2t1t1 在(0,1)上单调递增，因此h(t)h(1)0，31大二轮 数学 理也就是 ln mn2mn1mn1，此式与矛盾F(x)的图象在点(x0，F(x0)处的切线不能平行于 x 轴32大二轮 数学 理3选做题(1)选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x4t2y4t(t为参数)，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为(4cos3sin)m0(其中 m 为常数)若直线 l 与曲线 C
10、恰好有一个公共点，求实数 m 的值；若 m4，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长33大二轮 数学 理(2)选修 45：不等式选讲已知定义在 R 上的连续函数 f(x)满足 f(0)f(1)若 f(x)ax2x，解不等式|f(x)|ax34；若任意 x1，x20,1，且 x1x2 时，有|f(x1)f(x2)|x1x2|，求证：|f(x1)f(x2)|12.解(1)直线 l 的极坐标方程可化为直角坐标方程：4x3ym0，34大二轮 数学 理曲线 C 的参数方程可化为普通方程：y24x，由4x3ym0y24x，可得 y23ym0，因为直线 l 和曲线 C 恰好有一个公共点，所以 94m0，所以 m
11、94.当 m4 时，直线 l：4x3y40 恰好过抛物线的焦点 F(1,0)，由4x3y40y24x，可得 4x217x40，35大二轮 数学 理设直线 l 与抛物线 C 的两个交点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2174，故直线 l 被抛物线 C 所截得的弦长为|AB|x1x22174 2254.(2)f(0)f(1)，即 a10，即 a1，所以不等式化为|x2x|x34.a当 x0 时，不等式化为 x2xx34，36大二轮 数学 理所以 32 x0；b当 0 x1 时，不等式化为x2xx34，所以0 x1 时，不等式化为 x2xx34，所以 x.综上所述，不等式的解集
12、为x 32 xx1，则当 x2x112时，|f(x1)f(x2)|12时，则 x112，且 1x212，那么|f(x1)f(x2)|f(x1)f(0)f(1)f(x2)|f(x1)f(0)|f(1)f(x2)|x101x21(x2x1)12.38大二轮 数学 理(三)1.2016郑州质检已知点 M(1,0)，N(1,0)，曲线 E 上任意一点到点 M 的距离均是到点 N 距离的 3倍(1)求曲线 E 的方程；(2)已知 m0，设直线 l1：xmy10 交曲线 E 于 A，C 两点，直线 l2：mxym0 交曲线 E 于 B，D 两点，C，D 两点均在 x 轴下方当 CD 的斜率为1 时，求线段
13、 AB的长39大二轮 数学 理解(1)设曲线 E 上任意一点的坐标为(x，y)，由题意可得，x12y2 3x12y2，整理得 x2y24x10，即(x2)2y23.(2)由题知 l1l2，且两条直线均恒过点 N(1,0)，设曲线E 的圆心为 E，则 E(2,0)，线段 CD 的中点为 P，则直线 EP：yx2，设直线 CD：yxt，由yx2yxt，解得点 Pt22，t22，40大二轮 数学 理由圆的几何性质，知|NP|12|CD|ED|2|EP|2，而|NP|2t22 1 2t222，|ED|23，|EP|2|2t|22，解之得 t0 或 t3，又 C，D 两点均在 x 轴下方，所以直线 CD
14、：y x.由x2y24x10yx，解 得x1 22y 22 1或x1 22y 22 1.41大二轮 数学 理不失一般性，可设 C1 22，22 1，D1 22，22 1，AC：yu(x1)，由x2y24x10，yux1，消 y 得：(u21)x22(u22)xu210，方程的两根之积为 1，所以点 A 的横坐标 xA2 2，42大二轮 数学 理又点 C1 22，22 1 在直线 l1：xmy10 上，解得 m 21，直线 l1：y(21)(x1)，所以 A(2 2，1)，同理可得 B(2 2，1)，所以线段 AB 的长为 2 2.43大二轮 数学 理22016唐山统考已知函数f(x)ln xa
15、x1xax1a2xx0)(1)若 a1，证明：yf(x)在 R 上单调递减；(2)当 a1 时，讨论 f(x)零点的个数解(1)证明：当 x1 时，f(x)1x10，f(x)在1，)上单调递减，f(x)f(1)0；当 x1 时，f(x)ex110.44大二轮 数学 理所以 yf(x)在 R 上单调递减(2)若 xa，则 f(x)1xa1aa1)，所以此时 f(x)单调递减，令 g(a)f(a)ln aa21，则 g(a)1a2a0，所以 f(a)g(a)g(1)0，(另解：f(a)ln aa21ln aa10，事实上，令 h(a)ln aa1，h(a)1a10，h(a)h(1)0)45大二轮
16、数学 理即 f(x)f(a)0，故 f(x)在a，)上无零点当 x2 时，f(x)0，f(x)单调递增，又 f(0)e10，f12a 0，所以此时 f(x)在12a，0 上有一个零点当 a2 时，f(x)ex1，此时 f(x)在(，2)上没有零点46大二轮 数学 理当 1a2 时，令 f(x0)0，解得 x0ln(2a)110，所以此时 f(x)没有零点综上，当 12 时，f(x)有一个零点47大二轮 数学 理3选做题(1)选修 44：坐标系与参数方程已知直线 l 的参数方程为x12t，y1 32 t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为 2 2sin4，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两
17、点，与 y 轴交于点 P.48大二轮 数学 理求曲线 C 的直角坐标方程；求 1|PA|1|PB|的值(2)选修 45：不等式选讲已知实数 m，n 满足：关于 x 的不等式|x2mxn|3x26x9|的解集为 R.求 m，n 的值；若 a，b，cR，且 abcmn，求证：a b c 3.49大二轮 数学 理t1t21t1t21，1|PA|1|PB|1|t1|1|t2|t1t2|t1t2|t1t224t1t2 1241 5.(2)由于解集为 R，那么 x3，x1 都满足不等式，即有|93mn|0|1mn|0，50大二轮 数学 理即93mn01mn0，解得 m2，n3，经验证当 m2，n3 时，不
18、等式的解集是 R.证明：abc1，ab2 ab，bc2 bc，ca2 ca，(a b c)2abc2 ab2 bc2 ca3(abc)3，故 a b c 3(当且仅当 abc13时取等号)51大二轮 数学 理(四)1.2016石家庄模拟已知抛物线 C：y22px(p0)过点M(m,2)，其焦点为 F，且|MF|2.(1)求抛物线 C 的方程；(2)设 E 为 y 轴上异于原点的任意一点，过点 E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线 C 和圆 F：(x1)2y21相切，切点分别为 A，B，求证：直线 AB 过定点解(1)抛物线 C 的准线方程为 xp2，52大二轮 数学 理|MF|mp22，又
19、42pm，即 42p2p2，p24p40，p2，抛物线 C 的方程为 y24x.(2)证明：设点 E(0，t)(t0)，由已知切线不为 y 轴，设EA：ykxt，联立ykxty24x，消去 y，可得 k2x2(2kt4)xt20，53大二轮 数学 理直线 EA 与抛物线 C 相切，(2kt4)24k2t20，即 kt1，代入 可得1t2x22xt20，xt2，即 A(t2,2t)设切点 B(x0，y0)，则由几何性质可以判断点 O，B 关于直线 EF：ytxt 对称，则y0 x0t0011y02tx02t，解得x0 2t2t21y0 2tt21，54大二轮 数学 理即 B2t2t21，2tt2
20、1.解法一：直线 AB 的斜率为 kAB 2tt21(t1)，直线 AB 的方程为 y 2tt21(xt2)2t，整理得 y 2tt21(x1)，直线 AB 恒过定点 F(1,0)，55大二轮 数学 理当 t1 时，A(1，2)，B(1，1)，此时直线 AB 为 x1，过点 F(1,0)综上，直线 AB 恒过定点 F(1,0)解法二：直线 AF 的斜率为 kAF 2tt21(t1)，直线 BF 的斜率为 kBF2tt2102t2t211 2tt21(t1)，kAFkBF，即 A，B，F 三点共线56大二轮 数学 理当 t1 时，A(1，2)，B(1，1)，此时 A，B，F 三点共线直线 AB
21、过定点 F(1,0)57大二轮 数学 理22016贵州测试设 nN*，函数 f(x)ln xxn，函数 g(x)exxn(x0)(1)当 n1 时，求函数 yf(x)的零点个数；(2)若函数 yf(x)与函数 yg(x)的图象分别位于直线 y1 的两侧，求 n 的取值集合 A；(3)对于nA，x1，x2(0，)，求|f(x1)g(x2)|的最小值58大二轮 数学 理解(1)当 n1 时，f(x)ln xx，f(x)1ln xx2(x0)由 f(x)0 得 0 xe；由 f(x)e.所以函数 f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，因为 f(e)1e0，f1e e0 恒成立，59大
22、二轮 数学 理所以函数 f(x)在(e，)上不存在零点综上得函数 f(x)在(0，)上存在唯一一个零点(2)对函数 f(x)ln xxn 求导，得 f(x)1nln xxn1(x0)，由 f(x)0，得 0 xe1n；由 f(x)e1n；.所以函数 f(x)在(0，e1n；)上单调递增，在(e1n；，)上单调递减，60大二轮 数学 理则当 xe1n；时，函数 f(x)有最大值 f(x)maxf(e1n；)1ne.对函数 g(x)exxn(x0)求导，得 g(x)xnexxn1(x0)，由 g(x)0，得 xn；由 g(x)0，得 0 xn.所以函数 g(x)在(0，n)上单调递减，在(n，)上
23、单调递增，61大二轮 数学 理则当 xn 时，函数 g(x)有最小值 g(x)ming(n)enn.因为nN*，函数 f(x)的最大值 f(e1n)1ne0)在直线 y1 的上方，所以 g(x)ming(n)enn1，解得 n0，所以|f(x1)g(x2)|的最小值为e24 12ee324e.63大二轮 数学 理3选做题(1)选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为x 2sin4ysin21(为参数)，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 24sin3.64大二轮 数学 理求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2
24、的直角坐标方程；求曲线 C1 上的点与曲线 C2上的点的距离的最小值(2)选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)|xa|x2a|.当 a1 时，求不等式 f(x)2 的解集；若对任意 xR，不等式 f(x)a23a3 恒成立，求a 的取值范围解(1)x22sin42(sincos)2sin21y，65大二轮 数学 理所以 C1 的普通方程为 yx2.将 2x2y2，siny 代入 C2的方程得 x2y24y3，所以 C2 的直角坐标方程为 x2y24y30.将 x2y24y30 变形为 x2(y2)21，它的圆心为 C(0,2)设 P(x0，y0)为 C1 上任意一点，则 y0 x20，从而
25、|PC|2(x00)2(y02)2x20(x202)2x403x204x2032274，66大二轮 数学 理所以当 x2032时，|PC|min 72，故曲线C1上的点与曲线C2上的点的距离的最小值为 721.(2)当 a1 时，f(x)|x1|x2|.当 x1 时，f(x)1x2x32x，此时由 f(x)2得 x12；当 12 无解；67大二轮 数学 理当 x2 时，f(x)x1x22x3，此时由 f(x)2 得x52.综上可得不等式 f(x)2 的解集为，12 52，.因为 f(x)|xa|x2a|(xa)(x2a)|a|，故f(x)取得最小值|a|，因此原不等式等价于|a|a23a3.68大二轮 数学 理当 a0 时，有 aa23a3，即 a24a30，解得 2 7a2 7，此时有 0a2 7.当 a0 时，有aa23a3，即 a22a30，解得1a3，此时有1a0.综上可知 a 的取值范围是1,2 7
