1、专题升级训练 导数及其应用(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)1.函数y=f(x)的图象在点x=5处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f(5)等于()A.1B.2C.0D.2.f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的图象最有可能是下图中的()3.当x(0,5)时,函数y=xln x()A.是单调增函数B.是单调减函数C.在上单调递增,在上单调递减D.在上单调递减,在上单调递增4.函数y=xsin x+cos x在下面哪个区间内是增函数()A.B.(,2)C.D.(2,3)5.已知函数f(x)=x3+2bx2+cx+1有两个极值点
2、x1,x2,且x1-2,-1,x21,2,则f(-1)的取值范围是()A.B.C.3,12D.6.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,x-2,2表示的曲线过原点,且在x=1处的切线斜率均为-1,给出以下结论:f(x)的解析式为f(x)=x3-4x,x-2,2;f(x)的极值点有且仅有一个;f(x)的最大值与最小值之和等于0.其中正确的结论有()A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)7.(2013山东烟台模拟,13)由曲线y=3-x2和直线y=2x所围成的面积为.8.函数f(x)=x3-3a2x+a(a0)的极大值是正数,极小值是负数,则a的取值
3、范围是.9.已知函数f(x)的定义域为-1,5,部分对应值如表:x-1045f(x)1221f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示:下列关于f(x)的命题:函数f(x)是周期函数;函数f(x)在0,2上是减函数;如果当x-1,t时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;当1a2时,函数y=f(x)-a有4个零点;函数y=f(x)-a的零点个数可能为0,1,2,3,4个.其中正确命题的序号是.三、解答题(本大题共3小题,共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10.(本小题满分15分)设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点.(1)试确定常数a和
4、b的值;(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.11.(本小题满分15分)已知函数f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,xR,其中tR.(1)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)当t0时,求f(x)的单调区间.12.(本小题满分16分)(2013福建福州模拟,21)已知对任意的实数m,直线x+y+m=0都不与曲线f(x)=x3-3ax(aR)相切.(1)求实数a的取值范围;(2)当x-1,1时,函数y=f(x)的图象上是否存在一点P,使得点P到x轴的距离不小于.试证明你的结论.#1.B解析:由题意知f(5)=-5+8=
5、3,f(5)=-1,故f(5)+f(5)=2.故选B.2.A解析:根据导函数f(x)的图象可知f(x)在(-,-2),(0,+)上单调递减,在(-2,0)上单调递增.故选A.3.D解析:y=ln x+1,令y=0,得x=.在上y0,y=xln x在上单调递减,在上单调递增.故选D.4.C解析:y=xsin x+cos x,y=(xsin x)+(cos x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,当x0,即y0.故函数y=xsin x+cos x在区间内是增函数.故选C.5.C解析:由于f(x)=3x2+4bx+c,据题意方程3x2+4bx+c=0有两个根x1,x2,且x1-2,
6、-1,x21,2,令g(x)=3x2+4bx+c,结合二次函数图象可得只需此即为关于点(b,c)的线性约束条件,作出其对应平面区域,f(-1)=2b-c,问题转化为在上述线性约束条件下确定目标函数f(-1)=2b-c的最值问题,由线性规划易知3f(-1)12,故选C.6.C解析:f(0)=0,c=0.f(x)=3x2+2ax+b,解得a=0,b=-4,f(x)=x3-4x,f(x)=3x2-4.令f(x)=0得x=-2,2,极值点有两个.f(x)为奇函数,f(x)max+f(x)min=0.正确,故选C.7.解析:由得x=1或x=-3,所以曲线y=3-x2和直线y=2x所围成的面积为(3-x2
7、-2x)dx=.8.解析: f(x)=3x2-3a2=3(x+a)(x-a),由f(x)=0得x=a,当-axa时,f(x)a或x0,函数递增.f(-a)=-a3+3a3+a0,且f(a)=a3-3a3+a.9.解析:因为函数f(x)的定义域为-1,5,所以函数f(x)不是周期函数,故错误;当x0,2时,f(x)0,故正确;由f(x)的图象知f(x)的最大值是2,故t的最大值是5,错误;由f(x)的图象知,当x=2时,f(x)有极小值,但f(2)大小不确定,故错误,正确.10.解:(1)f(x)=+2bx+1.由已知解得(2)x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下:x(0,1)1(1,2)
8、2(2,+)f(x)-0+0-f(x)极小值极大值在x=1处,函数f(x)取得极小值.在x=2处,函数f(x)取得极大值ln 2.11.解:(1)当t=1时,f(x)=4x3+3x2-6x,f(0)=0,f(x)=12x2+6x-6,f(0)=-6,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=-6x.(2)f(x)=12x2+6tx-6t2.令f(x)=0,解得x=-t或x=.因为t0,以下分两种情况讨论:若t0,则0,则-t.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,-t)f(x)+-+f(x)所以,f(x)的单调递增区间是(-,-t),;f(x)的单调递减区间是.
9、12.解:(1)f(x)=3x2-3a-3a,+),对任意mR,直线x+y+m=0都不与y=f(x)相切,-1-3a,+),-1-3a,实数a的取值范围是a1;当0a时,f(x)=3x2-3a=3(x+)(x-),列表:x(-,-)-(-)(,+)f(x)+0-0+f(x)极大值2a极小值-2af(x)在(0,)上递减,在(,1)上递增,注意到f(0)=f()=0,且1,x(0,)时,g(x)=-f(x),x(,1)时,g(x)=f(x),g(x)max=maxf(1),-f(),由f(1)=1-3a及0a,解得0a,此时-f()f(1)成立.g(x)max=f(1)=1-3a.由-f()=2a及0a,解得a,此时-f()f(1)成立.g(x)max=-f()=2a.在x-1,1上至少存在一个x0,使得|f(x0)|成立.