1、第4节直线、平面平行的判定及其性质考试要求1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.知 识 梳 理1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面没有公共点，则称直线l与平面平行.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a，b，aba性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a，a，bab2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫
2、做平行平面.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a，b，abP，a，b性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面，aa如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，a，bab3.与垂直相关的平行的判定(1)a，bab.(2)a，a.常用结论与易错提醒1.平行关系的转化2.平面与平面平行的六个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)两条直线被三个平行平面所截，
3、截得的对应线段成比例.(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行.(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.()(2)若直线a平面，P，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()解析(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误.(2)若a，
4、P，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误.(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误.答案(1)(2)(3)(4)2.(2018浙江卷)已知平面，直线m，n满足m，n，则“mn”是“m”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析若m，n，mn，由线面平行的判定定理知m.若m，m，n，不一定推出mn，直线m与n可能异面，故“mn”是“m”的充分不必要条件.故选A.答案A3.下列命题中正确的是()A.若a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面B.若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直
5、线平行C.若直线a，b和平面满足a，b，那么abD.若直线a，b和平面满足ab，a，b，则b解析根据线面平行的判定与性质定理知，选D.答案D4.(必修2P56练习2改编)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为_.解析连接BD，设BDACO，连接EO，在BDD1中，O为BD的中点，E为DD1的中点，所以EO为BDD1的中位线，则BD1EO，而BD1平面ACE，EO平面ACE，所以BD1平面ACE.答案平行5.用一个截面去截正三棱柱ABCA1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于E，F，G，H四点，已知A1AA1C1，则截面的形状可以是
6、_(把你认为可能的结果都填上).解析由题意知，当截面平行于侧棱时所得截面为矩形，当截面与侧棱不平行时，所得的截面是梯形.答案矩形或梯形6.设，为三个不同的平面，a，b为直线.(1)若，则与的关系是_；(2)若a，b，ab，则与的关系是_.解析(1)由，.(2)a，abb，又b，从而.答案(1)平行(2)平行考点一线面、面面平行的相关命题的真假判断【例1】 (1)(2019全国卷)设，为两个平面，则的充要条件是()A.内有无数条直线与平行B.内有两条相交直线与平行C.，平行于同一条直线D.，垂直于同一平面(2)(一题多解)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中
7、点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()解析(1)若，则内有无数条直线与平行，当无数条直线互相平行时，与可能相交；若，平行于同一条直线，则与可以平行也可以相交；若，垂直于同一个平面，则与可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是的充要条件.根据两平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立.因此B中条件是的充要条件.(2)法一对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为ABCD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQCD，所以ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB平面MNQ.因此A
8、项不正确. 图(1)图(2)法二对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQAB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行.A项不正确.答案(1)B(2)A规律方法(1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.【训练1】 (1)(2020杭州质检)已知
9、三个不同的平面，和直线m，n，若m，n，则“”是“mn”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn；若，m，则m；若n，mn，m，则m；若m，n，mn，则.其中是真命题的是_(填上正确命题的序号).解析(1)可知当“”时有“mn”，反之，不一定成立，则“”是“mn”的充分不必要条件，故选A.(2)mn或m，n异面，故错误；易知正确；m或m，故错误；或与相交，故错误.答案(1)A(2)考点二直线与平面平行的判定与性质 多维探究角度1直线与平面平行的判定【例21】 如图，四棱
10、锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点.(1)证明：MN平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积.(1)证明由已知得AMAD2.如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綉AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)解因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.如图，取BC的中点E，连接AE.由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距离为，故SBCM42.
11、所以四面体NBCM的体积VNBCMSBCM.角度2直线与平面平行性质定理的应用【例22】 如图，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.(1)证明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积.(1)证明因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可证EFBC，因此GHEF.(2)解如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC
12、，BD都在底面ABCD内，所以PO底面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFHGK，PO平面PBD.所以POGK，且GK底面ABCD，又EF平面ABCD，从而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高.由AB8，EB2及EKAD，得EBABKBDB14，从而KBDBOB，即K为OB的中点.再由POGK得GKPO，即G是PB的中点，且GHBC4.由已知可得OB4，PO6，所以GK3.故四边形GEFH的面积SGK318.规律方法(1)判断或证明线面平行的常用方法有：利用反证法(线面平行的定义)；利用线面平行的判定定理(a，b，aba)
13、；利用面面平行的性质定理(，aa)；利用面面平行的性质(，a，aa).(2)利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.【训练2】 在四棱锥PABCD中，ADBC，ABBCAD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.(1)求证：AP平面BEF；(2)求证：GH平面PAD.证明(1)连接EC，ADBC，BCAD，E为AD的中点，BC綉AE，四边形ABCE是平行四边形，O为AC的中点，又F是PC的中点，FOAP，又FO平面BEF，AP平面BEF，AP平面BEF.(2)
14、连接FH，OH，F，H分别是PC，CD的中点，FHPD，又PD平面PAD，FH平面PAD，FH平面PAD.又O是BE的中点，H是CD的中点，OHAD，又AD平面PAD，OH平面PAD，OH平面PAD.又FHOHH，平面OHF平面PAD.又GH平面OHF，GH平面PAD.考点三面面平行的判定与性质 变式迁移【例3】 (经典母题)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，则GHB1C1.又B1C1BC
15、，GHBC，B，C，H，G四点共面.(2)E，F分别为AB，AC的中点，EFBC，EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，A1G綉EB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.又A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.【变式迁移1】 如图，在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD平面A1B1BA.证明如图所示，连接A1B.D为BC1的中点，H为A1C1的中点，HDA1B，又HD平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，HD平面A1B1BA.【变式迁移2】 在本例中
16、，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D平面AB1D1”，试求的值.解连接A1B交AB1于O，连接OD1.由平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BC1DBC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O，所以BC1D1O，则1.又由题设，1，即1.规律方法(1)判定面面平行的主要方法利用面面平行的判定定理.线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).(2)面面平行的性质定理两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面.若一平面与两平行平面相交，则交线平行.提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要
17、说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行.【训练3】 在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EFDB.(1)已知ABBC，AEEC.求证：ACFB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH平面ABC.证明(1)因为EFDB，所以EF与DB确定平面BDEF，如图，连接DE.因为AEEC，D为AC的中点，图所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDED，所以AC平面BDEF.因为FB平面BDEF，所以ACFB.(2)如图，设FC的中点为I，连接GI，HI.图在CEF中，因为G是CE的中点，所以GIEF.又EFDB，所以GIDB.在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC.又HIGI
18、I，所以平面GHI平面ABC，因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.基础巩固题组一、选择题1.设m，n是不同的直线，是不同的平面，且m，n，则“”是“m且n”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析若m，n，则m且n；反之若m，n，m且n，则与相交或平行，即“”是“m且n”的充分不必要条件.答案A2.如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()A.异面B.平行C.相交 D.以上均有可能解析在三棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1，AB平面ABC，A1B1平面ABC，A1B1平面ABC，
19、过A1B1的平面与平面ABC交于DE.DEA1B1，DEAB.答案B3.有下列命题：若直线l平行于平面内的无数条直线，则直线l；若直线a在平面外，则a；若直线ab，b，则a；若直线ab，b，则a平行于平面内的无数条直线.其中真命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4解析命题l可以在平面内，不正确；命题直线a与平面可以是相交关系，不正确；命题a可以在平面内，不正确；命题正确.答案A4.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形的序号是()A. B. C. D.解析中，易知NPAA，MNAB，又MNNPN.平面MNP平面AAB，
20、可得出AB平面MNP(如图).中，NPAB，NP平面MNP，AB平面MNP，能得出AB平面MNP.在中不能判定AB平面MNP.答案B5.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是()A.若m，n，则mn B.若m，n，则mnC.若m，mn，则n D.若m，mn，则n解析若m，n，则m，n平行、相交或异面，A错；若m，n，则mn，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m，mn，则n或n，C错；若m，mn，则n与可能相交，可能平行，也可能n，D错.答案B6.在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中错误的是()A.ACBDB.AC截面PQMNC.ACBD
21、D.异面直线PM与BD所成的角为45解析因为截面PQMN是正方形，所以MNQP，又PQ平面ABC，MN平面ABC，则MN平面ABC，由线面平行的性质知MNAC，又MN平面PQMN，AC平面PQMN，则AC截面PQMN，同理可得MQBD，又MNQM，则ACBD，故A，B正确.又因为BDMQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45，故D正确.答案C二、填空题7.在四面体ABCD中，M，N分别是ACD，BCD的重心，则MN与平面ABD的位置关系是_；与平面ABC的位置关系是_.解析如图，取CD的中点E.连接AE，BE，由于M，N分别是ACD，BCD的重心，所以AE，BE分别过
22、M，N，则EMMA12，ENBN12，即EMMAENBN，所以MNAB.因为AB平面ABD，MN平面ABD，AB平面ABC，MN平面ABC，所以MN平面ABD，MN平面ABC.答案平行平行8.如图，四棱锥PABCD的底面是一直角梯形，ABCD，BAAD，CD2AB，PA底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为_.解析取PD的中点F，连接EF，AF，在PCD中，EF綉CD.又ABCD且CD2AB，EF綉AB，四边形ABEF是平行四边形，EBAF.又EB平面PAD，AF平面PAD，BE平面PAD.答案平行9.设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n
23、，则mn；若，m，则m；若n，mn，则m，且m；若，则.其中真命题的个数为_.解析若m，n，则m，n可能平行或异面，错误；若，则，又m，则m，正确；若n，mn，则m或m或m或m，错误；若，则，可能平行或相交，错误，则真命题个数为1.答案110.如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件_时，就有MN平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析连接HN，FH，FN，则FHDD1，HNBD，易知平面FHN平面B1BDD1，只需MF
24、H，则MN平面FHN，MN平面B1BDD1.答案点M在线段FH上(或点M与点H重合)三、解答题11.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论.解(1)点F，G，H的位置如图所示.(2)平面BEG平面ACH，证明如下：因为ABCDEFGH为正方体，所以BCFG，BCFG，又FGEH，FGEH，所以BCEH，BCEH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BECH.又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH.同理BG平面ACH.又BEBGB，所以平面
25、BEG平面ACH.12.如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ADBC，AD2BC，M为边AD的中点，求证：C1M平面A1ABB1.证明在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，有B1C1BC且B1C1BC，又M为边AD的中点，所以BCAM，即B1C1AM，又AD2BC，所以BCAM，即B1C1AM，所以四边形B1C1MA为平行四边形，则C1MB1A，又B1A平面AA1B1B，C1M平面AA1B1B，所以C1M平面AA1B1B.能力提升题组13.给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面，的三个命题：若l与m为异面直线，l，m，则；若，l，m，则lm；若l，m，n，l，则
26、mn.其中真命题的个数为()A.3 B.2 C.1 D.0解析中当与不平行时，也可能存在符合题意的l，m；中l与m也可能异面；中ln，同理，lm，则mn，正确.答案C14.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过EF的平面与棱BB1，DD1分别交于点G，H.设BGx，x0，1.四边形EGFH一定是菱形；AC平面EGFH；四边形EGFH的面积Sf(x)在区间0，1上具有单调性；四棱锥AEGFH的体积为定值.以上结论正确的个数是()A.4 B.3 C.2 D.1解析由正方体的性质易得D1HBGx，则四边形A1D1HE、四边形ABGE、四边形CBGF、四
27、边形C1D1HF为四个全等的直角梯形，则HEEGGFFH，即四边形EGFH为菱形，正确；因为ACEF，EF平面EGFH，AC平面EGFH，所以AC平面EGFH，正确；在线段DD1上取DMx，则易得HMG为直角三角形，且HM12x，则GH，则菱形EGFH的面积Sf(x)EFGH，易得其在上单调递减，在上单调递增，在0，1上不具有单调性，错误；V四棱锥AEGFHV三棱锥AEFHV三棱锥AEGFV三棱锥FAEHV三棱锥FAEG1111，为定值，正确.综上所述，正确结论的个数是3，故选B.答案B15.如图所示，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B平面B1CD，则
28、A1DDC1的值为_.解析设BC1B1CO，连接OD.A1B平面B1CD且平面A1BC1平面B1CDOD，A1BOD，四边形BCC1B1是菱形，O为BC1的中点，D为A1C1的中点，则A1DDC11.答案116.已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面：若m，m，则；若m，m，则；若m，n，则mn；若m，n，则mn.则以上命题错误的是_(填序号).解析若m，m，则，可能平行或相交，错误；若m，m，则，错误；若m，n，则mn，错误； 若m，n，则mn，正确.答案17.(2020无锡调研)如图，ABCD是菱形，DE平面ABCD，AFDE，DE2AF.(1)求证：AC平面BDE；(2)求证：AC
29、平面BEF.证明(1)因为DE平面ABCD，AC平面ABCD，所以DEAC.因为ABCD是菱形，所以ACBD，因为DEBDD，BD平面BDE，DE平面BDE，所以AC平面BDE.(2)如图，设ACBDO，取BE中点G，连接FG，OG，所以，OGDE且OGDE.因为AFDE，DE2AF，所以AFOG且AFOG，从而四边形AFGO是平行四边形，FGAO.因为FG平面BEF，AO平面BEF，所以AO平面BEF，即AC平面BEF.18.如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB2AD，ADA1B1，BAD60.(1)证明：AA1BD；(2)证明：CC1平面A1BD.证明(1)因为D1D平面ABCD，且BD平面ABCD，所以D1DBD.又AB2AD，BAD60，在ABD中，由余弦定理，得BDAD，所以AD2BD2AB2，即ADBD.又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1.又AA1平面ADD1A1，所以AA1BD.(2)如图，连接AC，A1C1.设ACBDE，连接EA1.因为四边形ABCD为平行四边形，所以ECAC.由棱台定义及AB2AD2A1B1知，A1C1EC且A1C1EC，所以四边形A1ECC1为平行四边形，因此CC1EA1.又EA1平面A1BD，CC1平面A1BD，所以CC1平面A1BD.