1、第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 第2课时 等差数列前n项和的综合应用 学 习 目 标核 心 素 养 1.掌握 an 与 Sn 的关系并会应用(难点)2.掌握等差数列前 n 项和的性质及应用(重点)3.会求等差数列前 n 项和的最值(重点)4.会用裂项相消法求和(易错点)1.通过等差数列前 n 项和 Sn的函数特征的学习，体现了数学建模素养2.借助等差数列前 n 项和 Sn性质的应用及裂项相消法求和，培养数学运算素养自 主 预 习 探 新 知 1Sn 与 an 的关系an（n1），（n2）.2等差数列前 n 项和的性质(1)等差数列an中，其前 n 项和为 Sn，则an中连续的 n 项
2、和构成的数列 Sn，S3nS2n，构成等差数列(2)数列an是等差数列Snan2bn(a，b 为常数).S1SnSn1S2nSnS4nS3n思考：如果an是等差数列，那么 a1a2a10，a11a12a20，a21a22a30 是等差数列吗？提示(a11a12a20)(a1a2a10)(a11a1)(a12a2)(a20a10)100d，类似可得(a21a22a30)(a11a12a20)100d.a1a2a10，a11a12a20，a21a22a30 是等差数列3等差数列前n项和Sn的最值(1)若a10，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最 值(2)若a10，d0
3、，d0，则 是Sn的最小值；若a10，d0，则 是Sn的最大值小大S1S1思考：我们已经知道当公差d0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Snd2n2a1d2 n，类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？提示 由二次函数的性质可以得出：当 a10 时，Sn 先减后增，有最小值；当 a10，d0 时，Sn 先增后减，有最大值；且 n 取最接近对称轴的正整数时，Sn 取到最值B 因为 Snn22n(n1)21，所以当 n 的值为 1 时，Sn 有最小值1.1设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 Snn22n，则()A当 n 的值为 1 时，Sn 有最大值1B当 n
4、的值为 1 时，Sn 有最小值1C当 n 的值为 2 时，Sn 有最大值 0D当 n 的值为 2 时，Sn 有最小值 015 由 S2，S4S2，S6S4 成等差数列得 2(S4S2)S2(S6S4)，解得 S615.2等差数列an中，S24，S49，则 S6 23 或 24 由 an0 即 2n480 得 n24.所有负项的和最小，即 n23 或 24.3已知数列an的通项公式是 an2n48，则 Sn 取得最小值时，n 为 2A a1S1AB，a2S2S1(4A2B)(AB)3AB，da2a12A.4.若等差数列an的前 n 项和为 SnAn2Bn，则该数列的公差为 合 作 探 究 释 疑
5、 难【例 1】(1)等差数列an的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，求数列an的前 3m 项的和 S3m；(2)两个等差数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，已知SnTn7n2n3，求a5b5的值等差数列前 n 项和的性质解(1)在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m 成等差数列30，70，S3m100 成等差数列27030(S3m100)，S3m210.(2)a5b512（a1a9）12（b1b9）9（a1a9）29（b1b9）2S9T979293 6512.等差数列前 n 项和计算的几种思维方法(1)整体思路：利用公式 Snn（a1an）2，设法求出整体
6、a1an，再代入求解(2)待定系数法：利用 Sn 是关于 n 的二次函数，设 SnAn2Bn(A0)，列出方程组求出 A，B 即可，或利用Snn 是关于 n 的一次函数，设Snn anb(a0)进行计算跟进训练1 (1)等 差 数 列 an 中，a2 a7 a12 24，则S13 (2)等差数列an的通项公式是 an2n1，其前 n 项和为 Sn，则数列Snn 的前 10 项和为 (1)104(2)75(1)由 a2a7a1224，得 a78，所以 S13a1a13213a713104.(2)因为 an2n1，所以 a13.所以 Snn（32n1）2n22n，所以Snn n2，所以Snn 是公
7、差为 1，首项为 3 的等差数列，所以前 10 项和为 3101092175.探究问题1将首项为 a12，公差 d3 的等差数列的前 n 项和看作关于 n的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前 n 项和为Sn3n2n，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？等差数列前 n 项和 Sn 的函数特征提示 首项为 2，公差为 3 的等差数列的前 n 项和为 Sn2nn（n1）3232n212n，显然 Sn 是关于 n 的二次型函数且常数项为 0，二次项系数为d2，一次项系数为 a1d2；如果一个数列的前 n 项和为 Sn3n2n，那么当 n1 时，S1a14.当 n2
8、时，anSnSn16n2，则该数列的通项公式为 an6n2，所以该数列为等差数列，事实上对于任何一个等差数列的前 n项和都是关于 n 的二次型函数，且常数项为 0，反之，一个数列的前n 项和具备上述特征，该数列一定是等差数列2已知一个数列an的前 n 项和为 Snn25n，试画出 Sn 关于 n的函数图象你能说明数列an的单调性吗？该数列前 n 项和有最值吗？提示 Snn25nn522254，它的图象是分布在函数 yx25x 的图象上的离散的点，由图象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了an前 n 项为负数由 Sn 的图象可知，Sn 有最小值且当 n2 或 3 时，Sn 最小，最
9、小值为6，即数列an前 2 项或前 3 项和最小【例 2】数列an的前 n 项和 Sn33nn2，(1)求an的通项公式；(2)问an的前多少项和最大；(3)设 bn|an|，求数列bn的前 n 项和 Sn.思路探究：(1)利用 Sn 与 an 的关系求通项，也可由 Sn 的结构特征求 a1，d，从而求出通项(2)利用 Sn 的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解(3)利用 an 判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用 Sn 的函数特征判断项的正负求解解(1)法一：(公式法)当 n2 时，anSnSn1342n，又当 n1 时，a1S1323421 满足 an342
10、n.故an的通项公式为 an342n.法二：(结构特征法)由 Snn233n 知 Sn 是关于 n 的缺常数项的二次型函数，所以an是等差数列，由 Sn 的结构特征知d21，a1d233，解得 a132，d2，所以 an342n.(2)法一：(公式法)令 an0，得 342n0，所以 n17，故数列an的前 17 项大于或等于零又 a170，故数列an的前 16 项或前 17 项的和最大法二：(函数性质法)由 yx233x 的对称轴为 x332.距离332 最近的整数为 16，17.由 Snn233n 的图象可知：当 n17 时，an0，当 n18 时，an0，故数列an的前 16 项或前 1
11、7 项的和最大(3)由(2)知，当 n17 时，an0；当 n18 时，an0，由an2n270，an12（n1）270，得n1312，n1212，又nN*，当 n13 时，Sn 有最大值 169.法三：S9S17，a10a11a170.由等差数列的性质得 a13a140.a10，d0，a140；当 n35 时，an0，d0，则等差数列中所有正项之和最大()(3)在等差数列中，Sn 是其前 n 项和，则有 S2n1(2n1)an.()答案(1)(2)(3)C 由题知 S 偶S 奇5d，d301553.2已知某等差数列共有 10 项，其奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差为()A5
12、B4 C3 D22nn1 Snn（n1）2，1Sn2n（n1）21n 1n1，因此nk11Sk211212131n 1n1 2nn1.3等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 Snn（n1）2，则nk11Sk 4已知数列an的前 n 项和公式为 Snn230n.(1)求数列 an的通项公式 an；(2)求 Sn 的最小值及对应的 n 值解(1)Snn230n，当 n1 时，a1S129.当 n2 时，anSnSn1(n230n)(n1)230(n1)2n31.n1 也适合，an2n31，nN*.(2)法一：Snn230nn15 2225，当 n15 时，Sn 最小，且最小值为 S15225.法二：an2n31，a1a2a1515 时，an0.当 n15 时，Sn 最小，且最小值为 S15225.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
