1、数学归纳法在证明等式中的应用【例1】是否存在常数a、b、c使得等式。122+232+n(n+1)2=(an2+bn+c)对一切正整数n都成立？证明你的结论.(1)12n n,243424411.?937010abcnnabcaabcbabcc1 2 3假设存在常数、使得等式对一切正整数 都成立，则对等式都成立，即，解得【解析】用数学归纳法证明：122+232+n(n+1)2=(3n2+11n+10).当n=1时，等式自然成立；假设n=k(kN*)时，等式成立，即122+232+k(k+1)2=(3k2+11k+10).那么当n=k+1时，左边=122+232+k(k+1)2+(k+1)(k+2
2、)2,(1)12n n(1)12k k 22(1)(31110)(1)(2)12k kkkkk=(3k+5)(k+2)+(k+1)(k+2)2=k(3k+5)+12(k+2)=(3k2+17k+24)=3(k+1)2+11(k+1)+10=右边.所以当n=k+1时，等式成立.由知，等式122+232+n(n+1)2=(an2+bn+c)对一切正整数n都成立.(1)12k k(1)(2)12kk(1)(2)12kk(1)(2)12kk(1)12n n 用数学归纳法证明等式时，要清楚等式两边的结构，特别是由nk到nk1等式两边发生了怎样的变化，项数增加了多少项，这是正确解答问题的关键【变式练习1】
3、用数学归纳法证明：111111111234212122nnnnn【证明】(1)当n=1时，左边=右边=，命题成立(2)假设n=k时，命题成立，即.那么当n=k+1时，左边12111111234212111122nnnnn111111112342122122111111222122kkkkkkkkk 数学归纳法在证明整除问题中的应用【例2】用数学归纳法证明：1(3x)n(nN*)能够被x2整除 11(3)(2)211(3)21(3)()1221kknxxxnnkxxxxf xf xxk当 时，能够被 整除，所以 时命题成立；假设当 时，命题成立，即 能够被 整除，则可设 ，其中是 的 次【证明】
4、多项式 1*11(3)1(3)(3)1(3)1(2)1(3)(3)(2)(2)(3)(2)(2)1(3)2121(3)(N2)2kknnkxxxxxf xxx xf xxx xf xxx f xxxnx则当 时，能够被 整除综合知，能够被 整除整除问题的证明一般是将nk1时的结论设法用nk时的结论表示，然后应用归纳假设证明nk1时命题成立*(31)7N)921(nnn用数学归纳法证明：能够被【变式练习】整除 *(31)71()11(3 1 1)7 1 2791(31)71(9Z12)9nkf nnnNnfnnkf kkkNf kmm设当 时，能够被 整除，所以 时命题成立；假设当 时，命题成立
5、，即能够被 整除，则可设，【证明】，1*1(1)(34)71 =(31)71 9(23)799(23)79(23)7(23)7Z912(31)71(N92)kkkkkknnkf kkkkmkmkmknn则当 时，=，能够被 整除综合知，能够被 整除数学归纳法在证明不等式中的应用(.3)mxx mmx 111已知 为正整数，用数学归纳法证明：当时，【例】当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立.下面用数学归纳法证明“当x-1，且x0时，(1+x)m1+mx(*)对m2,mN*成立”.(1)当m=2时，左边=12xx2，右边=12x.因为x0，所以x20，即左边右边，不等式(*)成立；【证明】(
6、2)假设当m=k(k2,kN*)时，不等式(*)成立，即(1+x)k1+kx.则当m=k+1时，因为x-1，所以1+x0.又因为x0,k0，所以kx20.于是在不等式(1+x)k 1+kx两边同乘以1+x,得(1+x)(1+x)k(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x，所以(1+x)k+11+(k+1)x.即当m=k+1时，不等式(*)也成立.综上(1)(2)所述，所证不等式成立.【证明】用数学归纳法证明函数中的不等式，首先要弄清楚谁是变量，作为函数，自变量x是变量，但在归纳法的应用中，与自然数有关的量才是数学归纳法要研究的变量；其次在应用归纳假设时，要对不等式作适当
7、的放缩转化，确保向目标前进.若(nN*)，求证：.【变式练习3】1 22 3(1)nan n 2(1)(1)22nn nna当n=1时，a1=,则,即当n=1时，不等式成立.假设n=k时，不等式成立，即.则当n=k+1时，221(1 1)(1 1)2222(1)(1)22kk kka【证明】【解析】1(1)(2)(1)(1)(2)2(1)12(1)(1)1.2kkaakkk kkkk kkkk【解析】12222(1)(2)(1)(1)(2)2(1)3()22(1)1.2kkaakkkkkkkk 又故当n=k+1时，不等式仍成立.综合知不等式对nN*都成立.2(1)(1)22nn nna数学归纳
8、法在数列问题中的应用 11111*2342344(N42)nnnnnnnnnnabababababnaaabbbab在数列、中，且，成等差数列，成等比数列，求，及，由此猜测，的通项公式，并证明【例】你的结论11223344226912162025.(1)(1).1nnnnnnnbaaab babababan nbnn由条件得，由此可得：，猜测：，用数学归纳法证明：当 时，由上可得结【解析】论成立22122112(1)(1).122(1)(1)(1)(2)(2).1(1)(1)kkkkkkkknnnkak kbknkabakk kkkabkbnkan nbn假设当时，结论成立，即，那么当 时，所
9、以当时，结论也成立由，可知，对一切正整数【解析】都成立数学归纳法在解决有关数列问题时发挥着很大的作用数列是关于自然数的命题，由数列的递推关系，可以对结果进行推测和猜想，对猜想的结论进行合理证明，数学归纳法是最佳的工具本题联系等差数列、等比数列，考查了数学归纳法的应用和综合运用数学知识进行归纳、推理、论证的能力 11()24nnnnnnanSSaaa【变式练设正数数列的前 项和为，且，试求数列的习】通项公式 111112122222312333331()011()011()0321.nnaaaaaSaaaaaaSaaaaaaaaann由，且，解得；由，且，解得=-；由，且，解得；猜想数列的通项公
10、式为【解析】111111111111()()21011122kkkkkkkkkkknnkakknkaSSaaaaakkaakknkn 下面用数学归纳法证明：当时，命题显然成立；假设时命题成立，即，则当时，代入，且，解方程得，所以当时，命题也成立由可知，对一切正整数，命题【解析】都成立数学归纳法在几何问题中的应用.().nnf nnn22平面内有 个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点求证：这 个圆把平面分成个【】部分例5当n=1时，一个圆把平面分成两部分，又f(1)=2，命题成立；假设n=k时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分，那么当n=k+1时，
11、第k+1个圆与原来k个圆都相交于两点，且无任意三圆相交于同一点，于是第k+1个圆与前k个圆有2k个交点，因此第k+1个圆被分成2k段弧，每段弧把原区域分成两部分，因此平面区域在原基础上增加了2k块,于是f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2【证明】【证明】即当n=k+1时，命题成立.由知，命题对任意正整数都成立.用数学归纳法证明几何问题，关键是第二步中由k到k+1的变化情况.通过几何说理，来完成算式推理，借助于几何特征和图形的直观性来建立k与k+1的递推关系.()().nnf nf nn平面内有 条直线，其中没有两条平行也没有任何三条相交于同一点，设这 条直线将平面分成
12、的区域为，求与 的关系式，并用数学归【变式练习】纳法证明5 nfnfn1122422237当时，一条直线把平面分成两部分，所以；当时，两条直线把平面分成 个部分，所以；当时，三条直线把平面分成【解析】个部分，所以f(3)=4+3=7；当n=4时，四条直线把平面分成11个部分，所以f(4)=7+4=11.猜想f(n)=f(n-1)+n.当n=2,3,4,n时，得到(n-1)个式子，相加得f(n)=n(n+1)+1.用数学归纳法证明：当n=1时，f(1)=1(1+1)+1=2，结论成立；1212假设n=k时，结论成立，即k条直线把平面分成f(k)=k(k+1)+1个部分，那么当n=k+1时，第k+
13、1条直线与原来k条直线有k个交点，这k个交点把第k+1条直线分成(k+1)段，每一段将原区域分成两部分，因此平面区域在原基础上增加了(k+1)块.于是f(k+1)=f(k)+k+1=k(k+1)+1+(k+1)=(k+1)(k+2)+1.121212即当n=k+1时，结论成立由知，结论对任意正整数都成立.1.一个与自然数有关的命题，若nk(kN*)时，命题成立，可以推出nk1时，该命题也成立现在已知n5时该命题不成立，则当n4时该命题_.根据逆否命题与原命题是等价【解析】的作答2.设f(n)n+f(1)+f(2)+f(n1)，用数学 归 纳 法 证 明“n+f(1)+f(2)+f(n-1)=n
14、f(n)”时，第 一 步 要 证 的 等 式 是_.2+1=22ff11113.12332 11_nnnknk用数学归纳法证明“”时，从 到 ，左边增加了项12223434812knnknk由 到，增加 项；由 到，增加 项；由 到，增加 项，推出从 到 左边增加了【解析】项4.圆内有n条两两相交的弦将圆最多分为f(n)个区域，通过计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，由此猜想f(n)=_.212243741112234(2)2fffff nnnn 计算得，猜想【解析】5.求证：当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除.当n=1时，命题显然成立；假设当n=2k-1(kN*)时命题成立，即
15、x2k-1+y2k-1能被x+y整除.当n=2k+1时，x2k+1+y2k+1=x2x2k-1+x2y2k-1+y2y2k-1-x2y2k-1=x2(x2k-1+y2k-1)-(x+y)(x-y)y2k-1.由归纳假设知，x2k+1+y2k+1能被x+y整除.由知,当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除.【证明】数学归纳法是演绎推理中的完全归纳法，也叫科学归纳法.从观察一些特殊简单的问题入手，根据它们所体现的共同性质，运用不完全归纳法作出一般命题的猜想，然后从理论上证明这种猜想，这一过程称为“归纳猜想证明”过程，它是一个完整的思维过程.数学归纳法将这一过程进行了抽象概括，构建了自己的证明体系
16、.一般地，当要证明一个命题对于不小于某个正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用下面两个步骤来完成：(1)证明当n=n0时，命题成立；(2)假设当n=k(kN*,kn0)时，命题成立，再证明当n=k+1时，命题也成立.这种证明方法就是数学归纳法.数学归纳法是一种适应于与正整数有关的命题的证明方法，它的表述严格而有规范，两个步骤缺一不可，第一步是递推的基础.第二步是递推的依据.第二步中，归纳假 设 起 着“已 知 条 件”的 作 用，在“n=k+1”时，必须要用到归纳假设这个条件否则会犯推理的逻辑错误.第二步的关键是在推证中，一要依据假设，二要符合推证的结论.011211(4)N.(2010)2
17、.112nnnnnnaaaaanaaaanN已知数列的各项都是正数，且满足：江苏省扬中中学调研测试，求，；证明，010021101011131(4)22115(4).283101222212kkaaaaaaanaaaankaa，用数学归纳法证明：当时，所以，命题正确；假设 时证，有明：【解析】，1111111111121111(4)(4)2212()()()21()(4)20,400.11(4)4(2)22211 2N2kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkknkaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaankn则时，而，所以又，所以时命题正确由、知，对一【证明】切析：解1
18、2.nnaa，有选题感悟：数学归纳法主要用于与正整数有关的命题的证明，而数列的定义域是正整数集，所以数学归纳法常与数列综合考查，思路一般是先归纳、猜想，再用数学归纳法证明，这是基本题型2.(2010苏北四市期末卷)用数学归纳法证明不等式：(nN*且n1).21111112nnnn(1)当n=2时，不等式的左边为，故n=2时，不等式成立.(2)假设当n=k(k1,kN*)时不等式成立，即.11113+1234 12 21111112kkkk【证明】那么，当n=k+1时，由k2,得.因为当k2时，k2-k-10成立，2222222222221111111212(1)111112111111(1)(1)(1)121(1)11(1)(1)kkkkkkkkkkkkkkkkkkkk k 故当n=k+1时不等式也成立.根据(1)与(2)可知，当n1,nN*时不等式都成立.选题感悟：本题主要考查数学归纳法在不等式证明中的应用，关键在于清楚不等 式 左 边 的 结 构，特 别 是 由 n=k 到n=k+1时不等式左边项数是怎样变化的.