1、四川省南充市白塔中学2019-2020学年高二数学下学期第三次月考试题 理（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分.）1.在复平面上，复数的对应点所在象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【详解】试题分析：因为，在复平面内对应的点为，该点在第三象限，故选C.考点：1.复数的四则运算；2.复数的几何意义.2.下列求导运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则对给出的四种运算逐一验证，即可得到正确答案.详解：，不正确； ，正确；,不正确；，不正确，故选B.点睛：本题主要考查基本初等函
2、数的导数公式、导数的运算法以及简单的复合函数求导法则，属于基础题.3.已知随机变量X服从二项分布.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由随机变量X服从二项分布B（n，p），结合期望及方差的公式运算即可得解【详解】由随机变量X服从二项分布B(n,p).又E(X)=2, ，所以np=2，np(1p)= ，解得：p=，故选：C.【点睛】本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，运用二项分布的期望及方差的公式运算即可求解，属于基础题.4.函数的单调减区间为（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出函数的导函数，利用导数求函数的单调递减区间即可【详解】解：因
3、为，所以函数的定义域为，所，令，解得故函数的单调递减区间为故选：B【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题5.甲、乙二人进行围棋比赛，采取“三局两胜制”，已知甲每局取胜的概率为，则甲获胜的概率为 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先确定事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，再利用独立重复试验的概率公式和概率加法公式可求出所求事件的概率【详解】事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，若甲三局赢两局，则第三局必须是甲赢，前面两局甲赢一局，所求概率为，若前两局都是甲赢，所求概率为，因此，甲获胜的概率为，故选C【点睛】本题考查独立重复事件
4、的概率，考查概率的加法公式，解题时要弄清楚事件所包含的基本情况，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中等题6.某医院计划从3名医生，9名护士中选派5人参加湖北新冠肺炎疫情狙击战，要求选派的5人中至少要有2名医生，则不同的选派方法有（ ）A. 495种B. 288种C. 252种D. 126种【答案】B【解析】【分析】题意分两种情况，选派2名医生，3名护士，选派3名医生，2名护士，分别计算，再根据分类加法计算原理计算可得；【详解】解：依题意分两种情况，选派2名医生，3名护士，则有（种）；选派3名医生，2名护士，则有（种）；按照分类加法计算原理可知，一共有（种）.故选：B【点睛】本题考查简单的组合
5、问题，分类加法计算原理，属于中档题.7.若的展开式中的各项系数的和为1，则该展开式中的常数项为（ ）A. 672B. -672C. 5376D. -5376【答案】A【解析】【分析】先根据的展开式中的各项系数的和为1，求解，然后利用通项公式可得常数项.【详解】因为的展开式中的各项系数的和为1，所以，即；的通项公式为，令得，所以展开式中的常数项为.【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的常数项，利用通项公式是求解特定项的关键，侧重考查数学运算的核心素养.8.已知变量，之间的线性回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（ ）681012632A. 可以预测，当时，B. C
6、. 变量，之间呈负相关关系D. 该回归直线必过点【答案】D【解析】【分析】将代入回归直线方程，即可判断A选项；算出的平均数，根据样本点中心一定在回归直线上，判断BD选项；根据回归直线的斜率判断C选项.【详解】对于A选项，当时，A选项正确；对于B选项，将点（，）的坐标代入回归直线方程得解得，B选项正确；对于C选项，由于回归直线方程的斜率为负，则变量，之间呈负相关关系，选项正确；对于D选项，由B选项可知，回归直线必过点，D选项不正确故选D【点睛】本题主要考查了由回归直线方程求参数等，属于基础题.9.二面角为60，A、B是棱上的两点，、分别在半平面内，且，则的长为（ ）A. B. C. D. 【答案
7、】D【解析】【分析】由已知条件和空间向量加法可得，再根据向量模和数量积的关系可得 ，由此能求出的长【详解】因为二面角为60，A、B是棱上的两点，、分别在半平面内，所以，又所以.所以的长为.故选：D【点睛】本题考查空间线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用10.函数的图象大致是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据解析式求得导函数，并求得极值点，由极值点个数可排除AD；再由时，恒为正，排除C即可得解.【详解】函数，则，令，解得的两个极值点为，故排除AD，且当时，恒为正，排除C，即只有B选项符合要求，故选：B.【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数图像
8、，导函数与函数图像的关系应用，属于基础题.11.已知双曲线（，），以点（）为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则可根据圆心到渐近线距离为列出方程，求解离心率【详解】不妨设双曲线的一条渐近线与圆交于，因为，所以圆心到的距离为：，即，因为，所以解得故选A【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题对于离心率求解问题，关键是建立关于的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题
9、目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.12.已知函数，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，将不等式化为，再由函数的单调得到，求解即可得出结果.【详解】因为函数，所以，因此函数为奇函数，所以化为，又在上恒成立，因此函数恒为增函数，所以，即，解得.故选:B【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用、以及单调性的应用，熟记函数奇偶性的概念以及利用导数研究函数的单调性的方法即可，属于常考题型.二.填空题（每小题5分，共20分.）13.已知平面的一个法向量，且，则直线与平面所成的角为_【答案
10、】【解析】【分析】设直线与平面所成的角为， 由，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】解：设直线与平面所成的角为，则，直线与平面所成的角为故答案为：【点睛】本题考查了空间向量法求线面角，熟记公式是解题的关键，属于基础题.14.= .【答案】【解析】令=y0，则（y0），表示的是上半圆在第一象限的部分的面积，其值等于，所以=+=.考点：定积分.15.已知随机变量服从正态分布N（3，2），且P（2）0.85，则P（34）_【答案】0.35【解析】【分析】由已知求得，再由正态分布曲线的对称性求得P（23），则答案可求【详解】解：随机变量服从正态分布N（3，2），3，P（2）0.85，P（23）0.8
11、50.50.35，则P（34）P（23）0.35.故答案为：0.35【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布曲线的对称性，属于基础题16.已知展开式中第二项、第三项、第四项的二项式系数成等差数列，将展开式中所有项重新排列，则有理项不相邻的概率为_【答案】【解析】【分析】由二项式系数成等差数列求出，写出展开式通项公式得出有理项的项数，求出有理项不相邻的排法数，再求出所有项排列的方法数，然后可计算出概率【详解】由题意，由且为正整数，故解得，当为整数时，该项为有理项，这样的为1，4，7，共3项，展开式共8项，全排列有种，有理项不相邻的排列数有，所以所求概率为故答案为：【点睛
12、】本题考查二项式定理，考查古典概型，首先要掌握二项式系数的概念，确定的值，确定展开式中的项数，然后要掌握二项式展开式的通项公式，确定其中有理项的项数，第三还要掌握插空法求不相邻问题的排列数第四要掌握古典概型概率计算公式，本题属于中档题三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设两人射击是否击中目标相互没有影响，每人每次射击是否击中目标相互也没有影响.（1）求甲、乙两人各射击一次均击中目标的概率；（2）若乙在射击中出现连续次未击中目标则会被终止射击，求乙恰好射击次后被终止射击的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析
13、】（1）利用独立事件的概率乘法公式可计算出事件“甲、乙两人各射击一次均击中目标”的概率；（2）由题意可知，乙在第、次未击中目标，第次击中目标，第次可以击中目标，也可以未击中目标，利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）记“甲、乙在一次射击中击中目标”的事件分别为、，由题知，、相互独立，因此，甲、乙两人各射击一次均击中目标概率为：；（2）记“乙恰好射击次后被终止射击”事件为，由题意可知，乙在第、次未击中目标，第次击中目标，第次可以击中目标，也可以未击中目标，.【点睛】本题考查利用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题.18.白塔中学为了解校园爱国卫生
14、系列活动的成效，对全校学生进行了一次卫生意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下：等级不合格合格得分频数624（1）求统计表、直方图中的a，b，c的值；（2）用分层抽样的方法，从等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为，求的数学期望.【答案】（1）18；12；0.015；（2）12.【解析】【分析】（1）根据得分在的频率为：，求出样本容量，然后可求出的值，进一步得到的值，然后在频率分布直方图中利用公式可
15、求得的值.（2）“不合格”的学生人数为，“合格”的学生人数为.由题意可得的所有可能取值为0，5，10，15，20,然后分别求出其概率，得到分布列，求出其数学期望.【详解】解：（1）由题意知，得分在的频率为：所以样本容量为，.（2）“不合格”的学生人数为，“合格”的学生人数为.由题意可得的所有可能取值为0，5，10，15，20.，.05101520的分布列为：.【点睛】本题考查完善频率分布直方图中的数据，考查分层抽样，考查离散型随机变量的数学期望，属于中档题.19.已知函数.（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；（2）设函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).
16、【解析】试题分析：(1)由函数的解析式可得在上单调递增，则的取值范围是；(2)原问题等价于存在，使不等式成立.构造新函数，结合函数的性质可得实数的取值范围为.试题解析：（1）由得，在上单调递增，的取值范围是.（2）存在，使不等式成立，存在，使不等式成立.令，从而，在上单调递增， .实数的取值范围为.20.已知长方形中，现将长方形沿对角线折起，使，得到一个四面体，如图所示. （1）试问：在折叠的过程中，异面直线与能否垂直？若能垂直，求出相应的的值；若不垂直，请说明理由；（2）当四面体体积最大时，求二面角的余弦值.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）若ABCD，得AB面ACD，由于AB
17、AC.,所以AB2a2BC,解得a2=1，成立;（2）四面体ABCD体积最大时面ABD面BCD，以A为原点，在平面ACD中过O作BD垂线为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角ACDB的余弦值【详解】(1)若ABCD，因为ABAD，ADCDD，所以AB面ACDABAC. 由于AB=1, AD=BC= ,AC=,由于ABAC.,所以AB2a2BC,所以12a2()2a1, 所以在折叠的过程中，异面直线AB与CD可以垂直,此时的值为1 (2)要使四面体ABCD体积最大，因为BCD面积为定值，所以只需三棱锥ABCD的高最大即可，此时面ABD面BCD. 过A作AOBD
18、于O，则AO面BCD，以O为原点建立空间直角坐标系 (如图)，则易知,显然，面BCD的法向量为 , 设面ACD的法向量为(x，y，z),因为所以，令y，得(1，2)， 故二面角ACDB的余弦值即为.【点睛】传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角.21.已知点，点P为平面上的动点，过点P作直线l：的垂线，垂足为Q，且求动点P的轨迹C的方程；设点P的轨迹C与x轴交于点M，点A，B是轨迹C上异于点
19、M的不同的两点，且满足，求的取值范围【答案】；【解析】分析】设,则,根据代入整理即可得P点的轨迹方程；表示出MA方程并与轨迹C联立,可得A的坐标,设出直线AB的方程并与C联立,利用根于系数关系得到的坐标,进而得到,并用换元思想及二次函数最值可求出范围【详解】因为，设,则,所以,因为, 所以,整理得,所以点P的轨迹C的方程为根据题意知,设MA：,联立,解得,所以点,设AB：,联立,消去x得,设,则,因为,所以,则,所以,设,则,令,对称轴为,所以y在上单调递增,所以当时,y取最小值,即取最小值,所以最小值,则最小值为,所以取值范围是【点睛】本题考查动点轨迹方程,考查抛物线与直线的位置关系的应用,
20、考查利用二次函数求最值,考查运算能力与数形结合思想22.已知函数与的图象在它们的交点处具有相同的切线.（1）求的解析式；（2）若函数有两个极值点，且，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求得两个函数的导数，由公切线的斜率相同可得的方程；将切点代入两个函数，可得的方程；联立两个方程即可求得的值，进而得的解析式；（2）将的解析式代入并求得，由极值点定义可知，是方程的两个不等实根，由韦达定理表示出，结合可得.代入中化简，分离参数并构造函数，求得并令求得极值点，由极值点两侧符号判断单调性，并求得最小值，代入端点值求得最大值，即可求得的取值范围.【详解】（1）根据题意，函数与可知，两图象在点处有相同的切线，所以两个函数切线的斜率相等，即，化简得，将代入两个函数可得，综合上述两式可解得，所以.（2）函数，定义域为，因为，为函数的两个极值点，所以，是方程的两个不等实根，由根与系数的关系知，又已知，所以，将式代入得，令，令，解得，当时，在单调递减；当时，在单调递增；所以，即的取值范围是.【点睛】本题考查了导数的计算及几何意义，根据公切线求参数值，由导数研究函数的极值点、单调性与最值，构造函数法的综合应用，属于难题.