1、第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解等差数列前 n 项和公式的推导过程(难点)2掌握等差数列前 n 项和公式及其应用(重点)1.通过等差数列前 n 项和的有关计算及 an 与 Sn 关系的应用，培养数学运算素养2借助等差数列前 n 项和的实际应用，培养学生的数学建模及数学运算素养自 主 预 习 探 新 知 1数列的前 n 项和的概念一般地，称 为数列an的前 n 项和，用 Sn 表示，即 Sn a1a2ana1a2an思考：如何用 Sn 和 Sn1 的表达式表示 an?提示 anSnSn1（n2），S1（n1）.2等差数
2、列的前 n 项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数 求和公式Sn_Sn n（a1an）2na1n（n1）2d思考：等差数列an中，若已知 a27，能求出前 3 项和 S3 吗？提示 S33（a1a3）23a221.B S2020a120192d2022019420.1在等差数列an中，已知 a12，d2，则 S20()A230 B420 C450 D540n（n1）2 因为 a11，d1，所以 Snnn（n1）212nn2n2n2n2n（n1）2.2 等 差 数 列 an 中，a1 1，d 1，则 其 前 n 项 和 Sn 24 由 S1010（a1a10）2120.解得 a1a102
3、4.3 在 等 差 数 列 an 中，S10 120，那 么a1 a10 48 设等差数列an的公差为 d，由已知得 4a1432 d20，即 412432 d20，解得 d3，所以 S6612652 334548.4设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a112，S420，则 S6 合 作 探 究 释 疑 难【例 1】在等差数列an中，(1)已知 a156，an32，Sn5，求 n 和 d；(2)已知 a14，S8172，求 a8 和 d.等差数列前 n 项和的有关计算解(1)由题意得，Snn（a1an）2n563225，解得 n15.又 a1556(151)d32，d16.n15，d1
4、6.(2)由已知得 S88（a1a8）28（4a8）2172，解得 a839，又a84(81)d39，d5.a839，d5.等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值等差数列的通项公式和前 n 项和公式中有五个量 a1，d，n，an 和Sn，这五个量可以“知三求二”一般是利用公式列出基本量 a1 和 d的方程组，解出 a1 和 d 便可解决问题解题时注意整体代换的思想(2)结合等差数列的性质解题等差数列的常用性质：若 mnpq(m，n，p，qN*)，则 amanapaq，常与求和公式 Snn（a1an）2结合使用跟进训练1在等差数列an中，(1)已知 a610，S55，求 a8 和 S10；(2
5、)已知 a3a1540，求 S17.解(1)S55a1542 d5，a6a15d10，解得 a15，d3.a8a62d102316，S1010a11092d10(5)59385.(2)S1717（a1a17）217（a3a15）217402340.探究问题1若数列an的前 n 项和为 Sn，则关系式 anSnSn1 的使用条件是什么？提示 使用条件是 n2.an 与 Sn 的关系的应用提示 a2 020a2 021a2 022S2 022S2 019.2若数列an的前n项和为Sn，a2 020a2 021a2 022如何用前n项和Sn表示？3已知数列an的通项公式 an，可利用 Sna1a2a
6、n 求前n 项和 Sn；反之，如果知道了数列an的前 n 项和 Sn，如何求出它的通项公式？提示 对所有数列都有 Sna1a2an1an，Sn1a1a2an1(n2).因此，当 n2 时，有 anSnSn1；当 n1 时，有a1S1.所以 an 与 Sn 的关系为 anS1，n1，SnSn1，n2.当a1也适合an时，则通项公式要统一用一个解析式anf(n)(nN*)来表示【例 2】设 Sn 为数列an的前 n 项和，Sn2n230n.(1)求 a1 及 an；(2)判断这个数列是否是等差数列思路探究：(1)利用 a1S1，求 a1，借助于 anSnSn1(n2)求通项公式但要验证 a1 是否
7、符合条件；(2)利用等差数列的定义进行判断即可解(1)因为 Sn2n230n，所以当 n1 时，a1S121230128，当 n2 时，anSnSn12n230n2(n1)230(n1)4n32.验证当 n1 时上式成立，所以 an4n32.(2)由 an4n32，得 an14(n1)32(n2)，所以 anan14n324(n1)324(常数)，所以数列an是等差数列1(变条件，变结论)将本例的条件“Sn2n230n”改为“log2(Sn1)n1”，其他条件不变，求 an.解 由 log2(Sn1)n1 得 Sn12n1，Sn2n11，当 n2 时 anSnSn12n112n12n.当 n1
8、 时，a1S13.经验证不符合上式an3，n1，2n，n2.2(变条件，变结论)将本例中的条件“Sn2n230n”变为“正数数列bn的前 n 项和 Sn14(bn1)2”，求bn的通项公式解 当 n2 时，bnSnSn1，bn14(bn1)214(bn11)214(b2nb2n12bn2bn1).整理得：b2nb2n12bn2bn10，(bnbn1)(bnbn12)0，bnbn10，bnbn12(n2).bn为等差数列又b114(b11)2，b11，bn1(n1)22n1.已知数列an的前 n 项和公式 Sn，求通项公式 an 的步骤(1)当 n1 时，a1S1.(2)当 n2 时，根据 Sn
9、 写出 Sn1，化简 anSnSn1.(3)如果 a1 也满足当 n2 时，anSnSn1 的通项公式，那么数列an的通项公式为 anSnSn1；如果 a1 不满足当 n2 时，anSnSn1 的通项公式，那么数列an的通项公式要分段表示为 anS1，n1，SnSn1，n2.【例 3】某抗洪指挥部接到预报，24 小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用 20 台同型号翻斗车，平均每辆车工作 24 小时从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔 20 分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集 25 辆，
10、那么在 24 小时内能否构筑成第二道防线？等差数列前 n 项和公式的实际应用思路探究：因为每隔 20 分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明 24小时内可完成第二道防线工程解 从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为 a1，a2，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且 a124，公差 d13.25 辆翻斗车完成的工作量为：a1a2a252524251213 500，而 需 要 完 成 的 工 作 量 为2420 480.500480，在 24 小时内能构筑成第二道防线1本题属于与等差数列前 n 项和有关的应用题，其关键在于
11、构造合适的等差数列2遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型(2)深入分析题意，确定是求通项公式 an，或是求前 n 项和 Sn，还是求项数 n.跟进训练2植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距 10 米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为 米2 000 假设 20 位同学是 1 号到 20 号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第 10
12、 或第 11 号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以 20为首项，20 为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S920982 2010201092202 000(米).课 堂 小 结 提 素 养 1求等差数列前 n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到2等差数列的两个求和公式中，一共涉及 a1，an，Sn，n，d 五个量若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若 mnpq，则 anamapaq(n，m，p，qN*)；若 mn2p，则 anam2ap.3由 Sn 与 an 的关系求 an 主要使用 an
13、S1，n1，SnSn1，n2.1判断正误(1)数列的前 n 项和就是指从数列的第 1 项 a1 起，一直到第 n 项an 所有项的和()(2)anSnSn1(n2)化简后关于 n 与 an 的函数式即为数列an的通项公式()(3)在等差数列an中，当项数 m 为偶数 2n 时，则 S 偶S 奇an1.()答案(1)(2)(3)提示(1)正确由前 n 项和的定义可知正确(2)错误例如数列an中，Snn22.当 n2 时，anSnSn1n2(n1)22n1.又因为 a1S13，所以 a1 不满足 anSnSn12n1，故命题错误(3)错误当项数 m 为偶数 2n 时，则 S 偶S 奇nd.B 由 anSnSn1(n2)得 an12n，当 n1 时，S1a11 符合上式an2n1.2已知数列an的前 n 项和为 Snn2，则()Aan2n1 Ban2n1Can2n1 Dan2n1190 S1919（a1a19）2192a102190.3在一个等差数列中，已知 a1010，则 S19 4已知等差数列an中，a132，d12，Sn15，求 n 及 a12.解 Snn32n（n1）2(12)15，整理得 n27n600，解得 n12 或 n5(舍去)，a1232(121)12 4.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!