1、10.5直线、平面垂直的判定及其性质典例精析题型一面面垂直的判定与性质【例1】 平面平面，A，B，AB与平面、所成的角分别为和，求AB与，的交线l所成的角的大小.【解析】过A、B分别作AAl，BBl，垂足分别为A、B，则AA，BB.连接AB，AB，则ABA，BAB.设AB1，则AA，AB，BB，所以AB.过B作BCl且BC，连接AC、AC，则ABC为AB与l所成的角，因为ABBC，且BBAB，所以ABBC为矩形，所以ACBC.又因为AABC，AAACA，所以BC平面AAC，所以ACBC.在RtACB中，cosABC，所以ABC，即AB与l所成的角为.【点拨】此题关键是根据面面垂直的性质，构造直
2、角三角形.【变式训练1】如图一所示，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD内的射影是O.求证：平面O1DC平面ABCD.【证明】要证明平面O1DC与平面ABCD垂直，考虑到图中已知平面ABCD的垂线A1O，因而设法在平面O1DC中找出A1O的平行线.如图二所示，连接AC，BD，A1C1，则O为AC、BD的交点，O1为A1C1、B1D1的交点.由棱柱的性质知：A1O1OC，且A1O1OC，所以四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1OO1C.又A1O平面ABCD，所以O1C平面ABCD，又O1C平面O1DC，所以平面O1DC平面AB
3、CD.题型二线面垂直的判定与性质【例2】 RtABC所在平面外一点S满足SASBSC，D为斜边AC的中点.(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.【证明】(1)设E是AB的中点.因为D是AC的中点.所以DEBC，又BCAB，所以DEAB.因为SASB，所以SEAB，又SEDEE，所以AB平面SDE，而SD平面SDE，所以ABSD，又SASC，D为AC的中点，所以SDAC.而ABACA，所以SD平面ABC.(2)若ABBC，则BDAC.又由(1)知，SD平面ABC，所以SDBD，而SDACD，所以BD平面SAC.【点拨】证明直线与平面垂直，关键在于证明直线与平面内的两
4、相交直线垂直.【变式训练2】如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在上底面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.ABC内部【解析】选A.题型三折叠问题【例3】 在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为P，且使平面PBD平面BCD，如图所示：(1)求证：平面PBC平面PDC；(2)在折叠前的四边形ABCD中，作AEBD于E，过E作EFBC于F，求折叠后的图形中PFE的正切值.【解析】(1)折叠前，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BAD90，所以ABD为等腰直
5、角三角形.又因为BCD45，所以BDC90.折叠后，因为平面PBD平面BCD，CDBD，所以CD平面PBD，又因为PB平面PBD，所以CDPB.又因为PBPD，PDCDD，所以PB平面PDC，又PB平面PBC，故平面PBC平面PDC.(2)AEBD，EFBC，折叠后的这些位置关系不变，所以PEBD，又平面PBD平面BCD，所以PE平面BCD，所以PEEF，设ABADa，则BDa，所以PEaBE，在RtBEF中，EFBEsin 45aa.在RtPFE中，tanPFE.【点拨】翻折与展开是一个问题的两个方面，不论是翻折还是展开，均要注意平面图形与立体图形各个对应元素的相对变化，元素间的大小与位置关
6、系.一般而言，在翻折过程中， 处在同一个半平面内的元素是不变的，弄清这一点是解决这类问题的关键.【变式训练3】如图，平行四边形ABCD中，DAB60，AB2，AD4.将CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.(1)求证：ABDE；(2)求三棱锥EABD的侧面积.【解析】(1)证明：在ABD中，因为AB2，AD4，DAB60，所以BD2.所以AB2BD2AD2，所以ABBD.又因为平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABDBD，AB平面ABD，所以AB平面EBD.因为DE平面EBD，所以ABDE.(2)由(1)知ABBD.因为CDAB，所以CDBD. 从而DEBD.在RtDBE中，因为DB2，DEDCAB2，所以SBDEDBDE2.又因为AB平面EBD，BE平面EBD，所以ABBE.因为BEBCAD4，所以SABEABBE4.因为DEBD，平面EBD平面ABD，所以ED平面ABD，而AD平面ABD，所以EDAD，所以SADEADDE4.综上，三棱锥E-ABD的侧面积S=8+2.总结提高垂直关系是空间元素间的重要位置关系之一，是立体几何中的重点，也是历年来高考考查的点.解此类题的关键是三种垂直关系的相互转化.