1、20202021学年度第一学期高二期中考试（普实）数 学 试 题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1下列各式正确的是()A(sin a)cos a(a为常数) B(cos x)sin xC(sin x)cos x D(x5)x62. 已知向量a，b是平面内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则“ca0，且cb0”是l的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2) B(0,3) C(1,4) D(2，)4. 若函数f(x)x33x
2、29xa在区间2，1上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为()A5 B7 C10D195.长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，ADAA11，则二面角C1ABC为()A. B. C.D.6已知函数f(x)x22xalnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是()Aa0 Ba0或a0)(1)求函数yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)当a1时，求函数yf(x)的单调区间和极值19. (本小题满分12分)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD2，AB1，BMPD于点M.(1)求证：AMPD；(2)求直线CD与平面ACM所成的
3、角的余弦值. 20(本小题满分12分)已知函数f(x)x2mln x，h(x)x2xa，(1)当a0时，f(x)h(x)在(1，)上恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m2时，若函数k(x)f(x)h(x)在区间1,3上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围21. (本小题满分12分)如图7，四棱锥PABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BAAD，CDAD，CDAD2AB，PA底面ABCD，E是PC的中点. (1)求证：BE平面PAD；(2)若BE平面PCD，求异面直线PD与BC所成角的余弦值；求二面角EBDC的余弦值.22(本小题满分12分)已知函数f(x)，曲线yf(x)在点(1，f(1)
4、处的切线方程为x2y30.(1)求a，b的值；(2)求证：当x0，且x1时，f(x). 20202021学年度第一学期高二期中考试（普实）数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C 2. B 3.D 4.A 5. D 6.C 7. D 8.A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. BC 10.BCD 11. BCD 12. ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13 (2,2) 14. 30 1
5、5 (ln 2,2) 16. 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (本小题满分10分)【解】因为，且0，所以()()21. 又|，|，所以cos，则异面直线BA1与AC所成角的余弦值为. 18(本小题满分12分) 【解】(1)f(0)1，f(x)xa， f(0)0，所以函数yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1. (2)函数的定义域为(1，)，令f(x)0，即0. 解得x0或xa1.当a1时，f(x)，f(x)随x变化的变化情况为x(1,0)0(0，a1)a1(a1，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增可知f(x)的单
6、调减区间是(0，a1)，单调增区间是(1,0)和(a1，)，极大值为f(0)1，极小值为f(a1)aln aa2.19. (本小题满分12分) 【解】(1)证明：PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.ABAD，ADPAA，AB平面PAD.PD平面PAD，ABPD. 又BMPD，ABBMB，PD平面ABM.AM平面ABM，AMPD.(2)如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，M(0,1,1)，于是(1,2,0)，(0,1,1)，(1,0,0).设平面ACM的一个法向量为n(x，y
7、，z)，由n，n可得令z1，得x2，y1，于是n(2，1,1).设直线CD与平面ACM所成的角为，则sin ，cos .故直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为.20(本小题满分12分) 【解】(1)由f(x)h(x)在(1，)上恒成立，得m在(1，)上恒成立，令g(x)，则g(x)，故g(e)0，当x(1，e)时，g(x)0.故g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，)上单调递增，故当xe时，g(x)的最小值为g(e)e. 所以me.(2)由已知可知k(x)x2ln xa，函数k(x)在1,3上恰有两个不同零点，相当于函数(x)x2ln x与直线ya有两个不同的交点，(x)1，故(2)0，所以当x1,2)时，(x)0，所以(x)单调递增所以(1)1，(3)32ln 3，(2)22ln 2，且(1)(3)(2)0，所以22ln 20)，则h(x).所以当x1时，h(x)0，得f(x)；当x(1，)时，h(x). 故当x0，且x1时，f(x).
